第二章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)part1

1.求解二階常系數(shù)線性微分方程

齊次方程

非齊次方程2.周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開3.傅式積分法和拉氏變換法預(yù)備知識(shí)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1單自由度振動(dòng)系統(tǒng)2.2單自由度振系的自由振動(dòng)2.3單自由度振系的強(qiáng)迫振動(dòng)2.1單自由度振動(dòng)系統(tǒng)2.1.1概述2.1.2剛度2.1.3質(zhì)量2.1.4阻尼鼓勵(lì)2.1.6振動(dòng)微分方程2.1.1概述自由度的概念振動(dòng)系統(tǒng)的自由度(degree–of–freedom)：指在振動(dòng)過(guò)程中任何瞬時(shí)都能完全確定系統(tǒng)在空間的幾何位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的自由度確實(shí)定常常是相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題。這不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特性，還要根據(jù)所研究的振動(dòng)問(wèn)題的性質(zhì)、要求的精確度、以及振動(dòng)的實(shí)際情況來(lái)確定。2.1.1概述常見的幾種單自由度振動(dòng)系統(tǒng)根據(jù)不同的振動(dòng)形式，獨(dú)立坐標(biāo)可以選取線位移或角位移來(lái)表示。2.1.1概述剛度：k質(zhì)量：m阻尼：c鼓勵(lì)：F0sint振動(dòng)微分方程2.1.2剛度剛度：使系統(tǒng)的某點(diǎn)沿指定方向產(chǎn)生單位位移〔線位移或角位移〕時(shí)，在該點(diǎn)同一方向上要施加的力〔力矩〕，就稱為系統(tǒng)在該點(diǎn)沿指定方向的剛度。剛度計(jì)算公式線剛度角剛度式中，F(xiàn)和M為廣義力。2.1.2剛度剛度算例A-截面面積E-抗壓彈性模量J-截面對(duì)中性軸的慣矩G-剪切彈性模量Jp-截面極慣矩D截面處拉壓剛度B截面處彎曲剛度C截面處扭轉(zhuǎn)剛度2.1.2剛度組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度〔EquivalentStiffness)〔a〕并聯(lián)彈簧系統(tǒng)〔b〕串聯(lián)彈簧系統(tǒng)2.1.2剛度a.并聯(lián)彈簧的等效剛度b.串聯(lián)彈簧的等效剛度2.1.2剛度組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度〔EquivalentStiffness)簡(jiǎn)圖說(shuō)明等效剛度ke等效剛度

串聯(lián)彈簧

并聯(lián)彈簧

混聯(lián)彈簧2.1.2剛度例題：求以下圖1和2兩系統(tǒng)的等效剛度。2.1.2剛度能量法求等效剛度〔EquivalentStiffness)當(dāng)實(shí)際系統(tǒng)比較復(fù)雜時(shí)，根據(jù)定義直接求等效剛度較困難，而按實(shí)際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的彈簧的彈性勢(shì)能與等效系統(tǒng)彈簧勢(shì)能相等原那么來(lái)求等效剛度那么相對(duì)容易。2.1.2剛度例題：將圖示系統(tǒng)簡(jiǎn)化為A點(diǎn)處的單質(zhì)量振系，求系統(tǒng)的等效剛度。2.1.2剛度解：因?yàn)樗?.1.2剛度例題：兩軸平行、速比為i的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)。軸I的剛度為k1，轉(zhuǎn)角為1；軸II的剛度為k2，轉(zhuǎn)角為2；定義速比

，求軸I向軸II轉(zhuǎn)化的單軸振系的等效剛度。解：求等效剛度時(shí)，先夾住盤1和2不動(dòng)，齒輪２轉(zhuǎn)角為2，那么軸I通過(guò)齒輪1將扭轉(zhuǎn)1，而且1=i2，此時(shí)2.1.3質(zhì)量同等效剛度一樣，假設(shè)實(shí)際系統(tǒng)較復(fù)雜〔一般為分布質(zhì)量系統(tǒng)〕，那么可以用能量法來(lái)確定等效質(zhì)量〔EffectiveMass)。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的質(zhì)量的動(dòng)能與等效質(zhì)量動(dòng)能相等的原那么來(lái)求等效質(zhì)量，即：2.1.3質(zhì)量例題：假設(shè)如下圖彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)。求一個(gè)與之等效的單自由度振系的等效質(zhì)量me。解：彈簧在距固定端ξ處的微元dξ的位移和速度分別為和。那么彈簧的振動(dòng)動(dòng)能質(zhì)量塊的動(dòng)能2.1.3質(zhì)量系統(tǒng)總動(dòng)能等效系統(tǒng)的動(dòng)能因?yàn)樗?.1.3質(zhì)量例題：兩軸平行、速比為i的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)。軸I的剛度為k1，轉(zhuǎn)角為1；軸II的剛度為k2，轉(zhuǎn)角為2；定義速比

，求軸I向軸II轉(zhuǎn)化的單軸振系的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。等效系統(tǒng)的動(dòng)能為：解：軸I向軸II轉(zhuǎn)化的動(dòng)能為：因?yàn)樗?.1.4阻尼阻尼：振系中阻力有各種來(lái)源，例如兩物體之間的干摩擦力，有潤(rùn)滑劑的兩個(gè)面之間的摩擦力，氣體或液體等介質(zhì)的阻力，電磁阻力，以及由于材料的粘彈性產(chǎn)生的內(nèi)部阻力等等。在振動(dòng)中這些阻力統(tǒng)稱為阻尼(Damping)。2.1.4阻尼1.粘性阻尼〔ViscousDamping)物體在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤(rùn)滑外表滑動(dòng)時(shí)，受到粘性阻尼的作用。在各種阻尼中，只有粘性阻尼是線性阻尼，它與速度成正比，即，c代表粘性阻尼系數(shù)。粘性阻尼比較簡(jiǎn)單常見，易于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。應(yīng)用粘性阻尼分析振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，可使求解大為簡(jiǎn)化，因而通常均假設(shè)系統(tǒng)的阻尼為粘性阻尼。2.庫(kù)侖阻尼〔CoulombDamping)物體在枯燥外表滑動(dòng)時(shí)受到庫(kù)侖阻尼的作用。3.流體阻尼〔FluidDamping)物體在粘性較小的流體中高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到流體阻尼的作用。4.結(jié)構(gòu)阻尼〔StructureDamping)由于材料本身內(nèi)摩擦造成的阻尼，稱為結(jié)構(gòu)阻尼。當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼為粘性阻尼以外的其它類型時(shí)，由于它們是非線性的，因而處理起來(lái)就不那么容易。為方便起見，在工程實(shí)踐中往往根據(jù)在振動(dòng)一周中實(shí)際阻尼所消耗的能量等于粘性阻尼所耗散的能量的關(guān)系，把其它類型阻尼折算成等效粘性阻尼。2.1.4阻尼阻尼元件同樣有串聯(lián)和并聯(lián)等組合形式?！瞐〕并聯(lián)阻尼系統(tǒng)〔b〕串聯(lián)阻尼系統(tǒng)2.1.4阻尼a.并聯(lián)阻尼系統(tǒng)b.串聯(lián)阻尼系統(tǒng)2.1.4阻尼2.1.4阻尼能量法求等效阻尼〔EquivalentDamping〕：按實(shí)際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的阻尼的耗散能量與等效阻尼的耗散能量相等原那么來(lái)求等效阻尼。2.1.4阻尼例題：求圖示系統(tǒng)的等效阻尼。解：2.1.4阻尼確定干摩擦阻尼、流體阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)方法考慮得系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)粘性阻尼力為：粘性阻尼在振動(dòng)的一周期內(nèi)所作的功為：當(dāng)系統(tǒng)的阻尼是非線性阻尼時(shí)，可用等效阻尼系數(shù)ce來(lái)代替它。非線性阻尼所做的功2.1.4阻尼例題：試求高速流體阻尼的等效粘性阻尼系數(shù)。解：當(dāng)物體以較大速度在粘性較小的流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，阻尼與速度平方成正比，稱為流體阻尼。它是一種非線性的阻尼，可表示為：其中，為比例常數(shù)，根據(jù)介質(zhì)的物理特性而定。流體阻尼在一周期內(nèi)作的功為：高速流體的等效粘性阻尼2.1.5鼓勵(lì)外界激勵(lì)（Excitation）簡(jiǎn)諧激勵(lì)一般周期激勵(lì)非周期激勵(lì)隨機(jī)激勵(lì)2.1.6振動(dòng)微分方程1.牛頓第二定律〔或達(dá)朗貝爾原理〕a.建立力學(xué)模型b.取隔離體c.進(jìn)行受力分析d.應(yīng)用牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理建立微分方程2.1.6振動(dòng)微分方程振動(dòng)系統(tǒng)的隔離體受力分析2.1.6振動(dòng)微分方程從上例可以看出，假設(shè)重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置上，方程中就不會(huì)出現(xiàn)重力項(xiàng)。另外，還有三點(diǎn)需注意：a.假設(shè)f(t)=0，運(yùn)動(dòng)方程為齊次微分方程，那么系統(tǒng)做自由振動(dòng)；b.假設(shè)f(t)是正弦或余弦函數(shù)，那么系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧激振力的強(qiáng)迫振動(dòng)。c.假設(shè)系統(tǒng)阻尼c等于零，系統(tǒng)做無(wú)阻尼受迫振動(dòng)，方程可寫為：2.1.6振動(dòng)微分方程單擺在角位移很小的時(shí)候，單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在微擺動(dòng)時(shí)2.1.6振動(dòng)微分方程例題：圓盤扭振，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，Kt為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置，求圓盤扭振的運(yùn)動(dòng)方程。2.1.6振動(dòng)微分方程由上述幾例可看出，除了選擇的坐標(biāo)不同之外，角振動(dòng)與直線振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，那么彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的。2.1.6振動(dòng)微分方程例題:在圖所示的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)中，在兩彈簧連接處作用一鼓勵(lì)力。試求該系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。2.1.6振動(dòng)微分方程2.能量法當(dāng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)作自由振動(dòng)而忽略阻尼不計(jì)時(shí)，它就沒有能量損失。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中任一瞬時(shí)機(jī)械能應(yīng)保持不變。即動(dòng)能〔KineticEnergy〕與勢(shì)能〔PotentialEnergy〕之和勢(shì)能應(yīng)包括彈性勢(shì)能(ElasticPotentialEnergy)和重力勢(shì)能〔GravitationalPotentialEnergy〕。一般取靜平衡位置時(shí)的總勢(shì)能為零，此時(shí)動(dòng)能為最大；而動(dòng)能為零時(shí)勢(shì)能最大。2.1.6振動(dòng)微分方程圖示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化的討論取靜平衡位置重力勢(shì)能為A靜平衡位置彈性勢(shì)能為靜平衡位置總勢(shì)能為質(zhì)量離開靜平衡位置x時(shí)，總勢(shì)能為2.1.6振動(dòng)微分方程質(zhì)量離開靜平衡位置x時(shí)，相對(duì)于平衡位置的勢(shì)能為結(jié)論：假設(shè)以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，令該位置的勢(shì)能為零，那么質(zhì)量離開靜平衡位置x時(shí)的總勢(shì)能為：所以，以后考慮類似問(wèn)題時(shí)，不需要考慮重力勢(shì)能。系統(tǒng)在靜平衡位置勢(shì)能為零而動(dòng)能最大，動(dòng)能為零時(shí)，勢(shì)能最大，且有例題：半徑為r，重量為mg的圓柱體在半徑為R的圓柱面內(nèi)滾動(dòng)而