變形體虛位移原理

變形體虛位移原理第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-1彈性力學(xué)的基本方程及其矩陣表示為研究線彈性體的解答，首先需要建立微元體的平衡條件、幾何條件、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、邊界應(yīng)滿足的條件等，這些統(tǒng)稱為彈性力學(xué)的基本方程。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，在彈性力學(xué)中假設(shè)所研究的變形物體是連續(xù)、均勻和各向同性的（除專門說明外）。從數(shù)學(xué)上說，也即體內(nèi)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等都是光滑、連續(xù)的函數(shù)第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-1-1平衡（運(yùn)動）微分方程某二維彈性體中取出的一個(gè)面積為的內(nèi)部微元體，如下圖所示（a）位置變化示意（b）微元體邊界合力示意圖2-1平面微元體受力示意BDAC偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)記法微分標(biāo)記法（）表示某物理量第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月在圖2-1aAB邊上的合力有如下近似（曲線面積近似等于梯形面積）計(jì)算基于這一思想，在略去高階小量后即可得到圖2-1b所示的微元體受力圖，因而此圖受力從數(shù)學(xué)上講是精確的。微元體受力如圖2-1b所示，有和方程，即可得到二維問題的平衡微分方程（2-1）再由，可以得到切應(yīng)力互等定理結(jié)論，即。第4頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月在此基礎(chǔ)可以得到以下結(jié)論：1、如果微元體不平衡，根據(jù)大朗貝爾原理，加上慣性力（例如方向?yàn)椋┰倭校ㄋ矔r(shí)）動平衡方程，則可得式中為材料密度，和分別為坐標(biāo)、方向的位移分量。這就是二維問題的運(yùn)動微分方程。由式（2-2）可見，式（2-1）是慣性力為零時(shí)的特例。2、對于三維問題，運(yùn)動方程為（2-2）（2-3）第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-1-2小變形的幾何方程（位移—應(yīng)變關(guān)系）圖2-2為二維彈性體中沿坐標(biāo)方向所取兩正交微段及位移示意。和材料力學(xué)一樣可引入如下線應(yīng)變定義：某坐標(biāo)方向線應(yīng)變=微段變形后長度-微段原長微段原長CBAC,B,A,圖2-2微段變形示意圖如2-2中微段AB在小應(yīng)變條件下變形后的A,B,的長度為：略去高階小量后可得第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可得，同理，不難理解。即在定義：正交微段角度的改變量=切應(yīng)變則由圖2-2在小變形下（小角度正切近似等于角度）可得上述所定義的應(yīng)變?yōu)楣こ虘?yīng)變，方程（2-4）稱為幾何方程。對于三維問題，對應(yīng)工程應(yīng)變的幾何方程為（2-4a）（2-4b）（2-5）第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-1-3邊界條件（邊界處平衡和協(xié)調(diào)條件）物體的邊界可能有的如下情況：僅給定應(yīng)力的表面僅給定位移的表面某些方向給定應(yīng)力、另一些方向給定位移的混合邊界條對于以位移進(jìn)行求解的問題，可以將也視作。物理量給定的條件稱為邊界條件。第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1、應(yīng)力邊界條件從邊界部分取微元體如圖2-3所示，微元體邊界上的應(yīng)力、表面力均已用合力表示。與建立平衡方程一樣，注意：、、間的關(guān)系為式中，為邊界外法線的方向余弦。（2-6）應(yīng)力邊界條件表面上圖2-3邊界微元體受力示意圖三維問題的應(yīng)力邊界條件（2-7）式中，，為邊界外法線的方向余弦。第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2、位移邊界條件當(dāng)邊界上位移為給定值，時(shí)，由位移協(xié)調(diào)，位移邊界條件可表示為表面上三維問題的位移邊界條件（2-8a）（2-8b）第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-1-4線彈性體的物理方程（本構(gòu)關(guān)系）

對于各同性二維彈性體有圖2-4所示的兩種情況。圖2-4a表示荷載作用平行于板中面且沿厚度均勻分布，板厚遠(yuǎn)小于平面內(nèi)方向的尺寸，也即，，這類問題稱為平面應(yīng)力問題。這時(shí)2-4a荷載作用于板的中面第11頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖2-4b是一水壩示意，其特點(diǎn)是長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于平面內(nèi)兩個(gè)方向的尺寸且沿長度荷載作用相同，這時(shí)可以取單位長度壩體進(jìn)行分析，這類問題稱為平面應(yīng)變問題。此時(shí)2-4b荷載沿長度不變，取單位厚度分析第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月兩類問題的共同特點(diǎn)是：物理量（位移、應(yīng)變、應(yīng)力）只是坐標(biāo)的，函數(shù)。線彈性材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系稱線彈性本構(gòu)方程，由材料力學(xué)中的中廣義胡克定律可得：對平面應(yīng)力問題為（2-9）式中：，分別為彈性模量和泊松比。從式（2-9）解出應(yīng)力則可得（2-10）第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月對平面應(yīng)變問題為可證明在（2-10）中對，作如下變換（2-11）就可得到（2-11）。（2-12）第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-1-5物理量的矩陣表示為了以后推導(dǎo)方便、書寫簡潔，對二維問題一些物理量和符號用矩陣表示如下：應(yīng)力矩陣應(yīng)變矩陣位移矩陣體積力矩陣表面力矩陣；已知位移矩陣彈性矩陣，矩陣元素取決于問題類型和材料特性。第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月方向余弦矩陣微分算子矩陣1、自己推導(dǎo)三維問題物理量和符號用矩陣表示方法。2、自己推導(dǎo)彈性矩陣中的D值。？第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月利用所引入的矩陣符號，由矩陣運(yùn)算可以證明彈性力學(xué)基本方程可寫作如下矩陣方程：2-1-6彈性力學(xué)基本方程的矩陣表示平衡方程幾何方程本構(gòu)方程應(yīng)力邊界條件位移邊界條件（2-13）（2-14）（2-17）（2-16）（2-15）第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-2變形體虛位移原理2-2-1彈性力學(xué)平面問題外力總虛功內(nèi)部微元體上外力總虛功（1）微元體受力分析和上節(jié)平衡分析一樣略去高階小量，微元體受力如圖2-5所示。（2）微元體受力點(diǎn)的虛位移和幾何分析相仿，在設(shè)A點(diǎn)（稱為基點(diǎn)）坐標(biāo)，其虛位移為，又連續(xù)函數(shù)在A點(diǎn)的泰勒級數(shù)展開可知，對應(yīng)圖2-5合力作用點(diǎn)的虛功位移分別為：圖2-5內(nèi)部微元體受力圖O點(diǎn)：1點(diǎn)：2點(diǎn)：3點(diǎn)：4點(diǎn)：第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）微元體外力的總虛功有了上述準(zhǔn)備，力乘以對應(yīng)虛位移求代數(shù)和，即可得到總虛功。4點(diǎn)O點(diǎn)1點(diǎn)2點(diǎn)3點(diǎn)對上式進(jìn)行整理并舍去高階無窮小量可等（2-18）第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月式子中第一項(xiàng)是微元體上外力在隨基點(diǎn)剛體平移時(shí)的總虛功，第二項(xiàng)則為外力在微元體變形虛位移上所做的總虛功。如果分別記作和，則（2-19c）（2-19b）（2-19a）第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界微元體上外力總虛功圖2-6邊界微元體受力圖邊界微元體的受力圖如2-6所示，以A為基點(diǎn)，按泰勒級數(shù)展開的概念，可寫出圖中O，1，2，3點(diǎn)的虛位移。由此，可寫出微元體上外力的總虛功為：1點(diǎn)3點(diǎn)O點(diǎn)2點(diǎn)引入邊界外法線方向余弦，，且略去高階小量并整理后可得（2-20）第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月虛位移時(shí)變形體上外力所做的功顯然，將內(nèi)部和邊界微元體的外力功積分起來就可以得到變形的外力總虛功（2-21）（2-22）引用上節(jié)的矩陣表達(dá)式，式（2-21）可改寫為第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-2-2變形體虛位移原理表述和證明變形體虛功原理的回顧在結(jié)構(gòu)力學(xué)里曾討論過變形體虛功原理，給出了桿系問題的虛功方程，推導(dǎo)了位移計(jì)算公式，證明了線彈性體的互等定理。變形體虛功原理適用于一切結(jié)構(gòu)（一維桿系。二維板、三維塊體）、適用于任何力學(xué)行為的材料（線性和非線性），是變形體力學(xué)的普遍原理。變形體虛功原理要求力系平衡，要求虛位移協(xié)調(diào)，是在“平衡、協(xié)調(diào)”前提下功德恒等關(guān)系，他是一個(gè)必要性的命題。變形體虛位移原理的表述：受給定外力的變形體處于平衡狀態(tài)的充分、必要條件是，對一切虛位移，外力所做總虛功恒等于變形體所接受的總虛變形功。即恒有如下虛功方程成立（2-23）上述命題即為變形體虛位移原理。對于二維問題式（2-23）的矩陣表達(dá)式為（2-24）第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月變形體虛功原理必要性證明當(dāng)變形體處于平衡狀態(tài)時(shí)，虛功方程（2-23）或（2-24）恒成立證明：因?yàn)樽冃误w平衡、平衡方程、應(yīng)力邊界條件成立。也即考慮上述條件后，由式（2-22）可得由于虛位移必須滿足約束條件，在給定位移的表面上，因此（2-22）可改寫成式（b）的后兩個(gè)積分利用高斯公式式中：、為區(qū)域邊界外法線的方向余弦，即可證明式(c)積分等于零，這一關(guān)系稱為格林公式。式（b）利用格林公式后，即可得（c）（b）（a）第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月由式（a）和式（b）即可證明得式（2-24）虛功方程成立。必要性證畢。（d）變形體虛功原理充分性證明充分性證明：當(dāng)對于一切虛位移虛功方程成立時(shí)，變形體一定平衡。這里需要強(qiáng)調(diào)的是：對一切虛位移包含兩方面含義，其一是虛位移具有任意性，其二是虛位移具有獨(dú)立性。證明：因?yàn)椴还茏冃误w是否平衡，外力總虛功都按式（2-21）或式（2-22）計(jì)算?，F(xiàn)在假設(shè)變形體不平衡，則微元體存在加速度，利用達(dá)朗貝爾原理可知瞬時(shí)慣性力集度為式中：為材料的密度。由于慣性力作用于體內(nèi)每一點(diǎn)，因此可看成是一種體積力。當(dāng)根據(jù)達(dá)朗貝爾原理在變形體上假想地加上這種體積力后，體系在每一瞬時(shí)都應(yīng)該是平的。因此，對每瞬時(shí)都能利用必要性命題的結(jié)論。由此可得由命題的已知條件，又有對一切虛位移式（2-24）恒成立，因此兩式相減可得第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月將矩陣方程展開，則由于上式對一切虛位移都成立，而、具有任意性、獨(dú)立性，因此必須也就是說，當(dāng)對一切虛位移虛功方程都成立的話，如果變形體不平衡，則其加速度必等于零。實(shí)質(zhì)上等于說變形體不可能不平衡，至此原理充分性證畢。第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-3最小勢能原理及里茲法預(yù)備知識泛函如果對于某一類函數(shù)y(x)中的每一個(gè)函數(shù)y(x)，變量

有一個(gè)值和它對應(yīng)，則變量稱為依賴于函數(shù)y(x)的泛函。記為變分法就是研究泛函的極大值和極小值的方法。如圖在xy平面內(nèi)連接A、B兩點(diǎn)的任一曲線的長度為因此，長度L就是函數(shù)y(x)的泛函。只要積分的上下限保持不變，變分的運(yùn)算與定積分的運(yùn)算可以交換次序。一般泛函定義泛函的變分第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月泛函的極值問題——變分問題如果泛函在的鄰近任意一根曲線上的值都不大于或都不小于即則稱泛函在曲線達(dá)到極大值或極小值，而必要的極值條件為例第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-3-1最小勢能原理虛位移原理虛功方程為以位移為自變函數(shù)，則用幾何方程可求得應(yīng)變、由本構(gòu)方程求得應(yīng)力，因此應(yīng)力是位移的函數(shù)。在考慮到虛應(yīng)變和虛位移滿足幾何方程，上述虛功方程可改寫成：對線彈性物體來說，因此又由于外力是給定的，他和虛位移無關(guān)。將虛位移看成是位移的變分，虛功方程可改寫為：（a）第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月引入以下定義：

定義1外力從位移狀態(tài)退回到無位移的初始狀態(tài)時(shí)所作的功，稱為外力勢能，記作（或或）。即：

定義2應(yīng)變能和外力勢能的和稱為總勢能，記作（或或）。即：（2-26）（2-25）則式（a）成為（2-27）由虛位移原理可知，位移狀態(tài)為真實(shí)位移狀態(tài)的充分、必要條件是，對應(yīng)位移的勢能一階變分為零。這就是最小勢能原理。第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-3-2最小勢能原理與位移法

在結(jié)構(gòu)力學(xué)已學(xué)習(xí)過位移法，當(dāng)時(shí)是在力法解超靜定單跨梁得到“形常數(shù)”、“載常數(shù)”的基礎(chǔ)上，建立了通過“一拆——拆成單桿集合”“一合——合回去平衡”求解結(jié)構(gòu)位移的位移法方程。本小節(jié)從勢能原理角度導(dǎo)出位移法方程，并舉例說明求解方法。

由最小勢能原理導(dǎo)出位移法方程以圖2-7結(jié)構(gòu)為例，說明位移法方程的建立。設(shè)節(jié)點(diǎn)位移如圖為、、，可將結(jié)構(gòu)看成由節(jié)點(diǎn)分割成3個(gè)單元。每一單元的位移可適當(dāng)選取函數(shù)由單元桿端的位移表示出來。因此，結(jié)構(gòu)的位移可通過以、、為線性組合參數(shù)得到。設(shè)自動滿足位移協(xié)調(diào)條件（支座約束、結(jié)點(diǎn)連接條件）的單元位移場為（i=1，2，3），

第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月圖2-7示意圖忽略軸向變形和剪切變形，則由桿件應(yīng)變能公式（2-28）顯然對單位求和，可以得到結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能。由于單元位移是結(jié)點(diǎn)位移、、的線性表達(dá)式，因此從式（2-28）可知，總應(yīng)變能一定是結(jié)點(diǎn)位移、、的二次型（2-29）對線彈性結(jié)構(gòu)，根據(jù)能量守恒，應(yīng)變能等于外力功，因此

(a)這里應(yīng)該是和對應(yīng)、作用在結(jié)點(diǎn)的等效廣義力。對比式（2-29）和（a）可知

(b)第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月類似的分析，從外力勢能定義可知，（或）必然是的線性表達(dá)式，

（2-30）式中：的物理意義是荷載引起的方向固端廣義力總和。今后同樣可直接從這一物理意義來求，從而建立外力總勢能表達(dá)式。有了式（2-29）和（2-30），立即可得結(jié)構(gòu)總勢能為（2-31）第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月令總勢能對位移的變分等于零，也即偏導(dǎo)數(shù)，可得（2-32）可見這一結(jié)果與結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法方程完全相同。第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

能量法求解舉例

【例題2-1】用最小勢能原理求解圖2-28a所示結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移，各桿EI等于常數(shù)。圖2-28（1）結(jié)構(gòu)只有圖2-28b所示一個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角，以它為參數(shù)。

（2）根據(jù)剛度系數(shù)的物理意義和形常數(shù)，可得

（3）計(jì)算應(yīng)變能，由式（2-25）可得

（4）按的物理意義和載常熟可得（5）寫總勢能表達(dá)式，可得（6）由極值條件可求得第35頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2-3-3里茲法此法的基本思路（也即求解步驟）是：選定滿足給定位移邊界條件的、獨(dú)立的一些函數(shù)作為“基函數(shù)”（或稱為試函數(shù)）。以基函數(shù)的線性組合作為待確定的近似位移場，組合系數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。當(dāng)用最小勢能原理時(shí)，由建立的位移場將總勢能表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)。由總勢能取駐值（對廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)為零），對線彈性問題建立求解廣義坐標(biāo)的線性代數(shù)方程組。將求得的廣義坐標(biāo)代回位移場，一般得到問題的位移近似解答，進(jìn)一步可由位移求得其他物理量。用虛位移原理求解時(shí)，前兩步是一樣的。用廣義坐標(biāo)的變分作組合系數(shù)，以同樣的基函數(shù)建立虛位移場，用幾何方程求虛應(yīng)變（桿系問題時(shí)為虛變形）。由基函數(shù)線性組合的位移場求應(yīng)變、應(yīng)力（對桿系問題求內(nèi)力）。令虛功方程對一切廣義坐標(biāo)變分都成立，對線彈性問題建立求解廣義坐標(biāo)的線性代數(shù)方程組。將求得的廣義坐標(biāo)代回位移場，一般得到問題的位移近似解答，進(jìn)一步可求得其他物理量。第36頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

用虛位移原理求解

【例題2-2】試用里茲法求圖2-9所示梁的位移和固定端彎矩。（當(dāng)然對本例題所示懸臂梁也可用