基本不等式題型大全

基本不等式題型大全

本文介紹了幾個(gè)重要的不等式，包括基本不等式、三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式、平均不等式和冪平均不等式等。在使用基本不等式求最值時(shí)，需要注意滿(mǎn)足“一正、二定、三相等”的條件。此外，還介紹了二維和三維形式的柯西不等式等著名不等式。在使用這些不等式時(shí)，需要注意等號(hào)成立的條件。具體來(lái)說(shuō)，基本不等式包括兩個(gè)公式，即a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）和a+b≥2√(ab)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）。三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式是a+b+c/3≥(abc)^(1/3)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）。平均不等式包括調(diào)和平均≤幾何平均≤算術(shù)平均≤平方平均，其中調(diào)和平均是2/(1/a+1/b)，幾何平均是√(ab)，算術(shù)平均是(a+b)/2，平方平均是√((a^2+b^2)/2)。冪平均不等式是(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p)≥(a1^q+a2^q+...+an^q)^(1/q)，其中p>q>0，且當(dāng)a1=a2=...=an時(shí)取等號(hào)?？挛鞑坏仁绞?a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，其中a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn是實(shí)數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=...=anbn時(shí)，等號(hào)成立。二維形式的柯西不等式是(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)≥(x1x2+y1y2)^2，三維形式的柯西不等式是(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2。一、配、湊、拆的技巧1.函數(shù)f(x)=x+x/(x>0)值域?yàn)閇2,+∞)；函數(shù)f(x)=x+x/(x∈R)值域?yàn)?-∞,+∞)；函數(shù)f(x)=x+1/(x+1/2)的值域?yàn)閇5/2,+∞)。2.若x>1，則x+4/(x-1)的最小值為5。3.已知x<3，則f(x)=2+x+x^2的最大值為10。解：因?yàn)閤<3，所以-x>-3，從而4/(x-1)-x>-3。所以f(x)=2+x+x^2=(x+4/(x-1))+x^2-4/(x-1)-x^2<=(x+4/(x-1))-3<=10，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立，所以f(x)的最大值為10。二、基本不等式及其變換1.一般形式的柯西不等式：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2。2.向量形式的柯西不等式：設(shè)α,β是兩個(gè)向量，則α·β<=|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α=kβ時(shí)，等號(hào)成立。3.排序不等式（排序原理）：設(shè)a1<=a2<=...<=an，b1<=b2<=...<=bn為兩組實(shí)數(shù)，c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，則a1b_n+a2b_n-1+...+anb1<=a1c1+a2c2+...+ancn<=a1b1+a2b2+...+anbn。（反序和<=亂序和<=順序和），當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn時(shí)，反序和等于順序和。4.琴生不等式（特例：凸函數(shù)、凹函數(shù)）：若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x)，對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1≠x2)，有f((x1+x2)/2)<=(f(x1)+f(x2))/2或f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2，則稱(chēng)f(x)為凸（或凹）函數(shù)。1.求函數(shù)y=4x-2的最大值。答案：無(wú)需求解，因?yàn)闆](méi)有給定定義域。2.求f(x)=12/x+3x(x≠0)的最值，并求取最值時(shí)x的值。答案：無(wú)需求解，因?yàn)闆](méi)有給定定義域。3.（三星）a,b為實(shí)常數(shù)，求y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。解：方法一：將y展開(kāi)得到y(tǒng)=2x2-2ax-2bx+a2+b2，再將x的系數(shù)提取出來(lái)，得到y(tǒng)=2(x-a/2)2+2(b-a/2)2-a2-b2。因?yàn)槠椒巾?xiàng)都是非負(fù)數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=a/2,b=a/2時(shí)y取得最小值，最小值為0。方法二：根據(jù)平面幾何中點(diǎn)公式，y=(x-(a+b)/2)2+(a-b)2/2，因?yàn)槠椒巾?xiàng)都是非負(fù)數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=(a+b)/2時(shí)y取得最小值，最小值為(a-b)2/2。4.(1)函數(shù)f(x)=x(1-x)(0<x<1)的值域?yàn)開(kāi)_________；(2)函數(shù)f(x)=x(1-2x)(0<x<1/2)的值域?yàn)開(kāi)_________。解：(1)∵0<x<1，∴1-x>0，x(1-x)≤1/4。當(dāng)x=1/2時(shí)，x(1-x)取得最大值1/4，所以f(x)的值域?yàn)閇0,1/4]。(2)∵0<x<1/2，∴1-2x>0，x(1-2x)≤1/8。當(dāng)x=1/4時(shí)，x(1-2x)取得最大值1/8，所以f(x)的值域?yàn)閇0,1/8]。5.已知0<x<1，則x(3-3x)取得最大值時(shí)x的值為_(kāi)_________。解：由x(3-3x)=3x(1-x)≤3/4，當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x時(shí)，即x=1/2時(shí)取得最大值。6.函數(shù)y=x/(4x-5)的最大值為_(kāi)_________。解：無(wú)法求解，因?yàn)闆](méi)有給定定義域。7.函數(shù)y=1-x2的最大值為_(kāi)_________。解：由于y=1-x2在[-1,1]上單調(diào)遞減，所以最大值為y(-1)=2。8.已知3a2+2b2=5，求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。解：由于3a2+2b2=5，所以a2≤5/3，b2≤5/2。因此，(2a2+1)(b2+2)≤(2×5/3+1)(5/2+2)=49/3，當(dāng)且僅當(dāng)a2=5/3，b2=5/2時(shí)取得最大值，此時(shí)y=49/3。9.函數(shù)y=(x+1)/(x2+1)的最小值為_(kāi)_________。解：將y的分子分母同時(shí)乘以x2-1，得到y(tǒng)=(x2+1)/(x2+1)+(x+1)(x2-1)/(x2+1)，化簡(jiǎn)后得到y(tǒng)=2x/(x2+1)+x-1/(x2+1)。因?yàn)閤2+1>0，所以y的最小值等于2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得最小值。10.（二星）若x>y且xy=1，求2x+y的最小值。解：由于x>y，所以2x+y=2y+y/x≥2√(2y2)=2√2，當(dāng)且僅當(dāng)x=√2,y=1/√2時(shí)取得最小值。11.設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則x2+y2/(x2+4y2)的最小值為_(kāi)_________。解：將分式化簡(jiǎn)得到x2+y2/(x2+4y2)=1+3y2/(x2+4y2)，所以只需求3y2/(x2+4y2)的最小值即可。由于xy≠0，所以x2+4y2>0，所以3y2/(x2+4y2)≥0，所以x2+y2/(x2+4y2)的最小值為1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=0時(shí)取得最小值。12.已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+2xy-3=0，則2x+y的最小值是__________。解：將x2+2xy-3=0移項(xiàng)得到y(tǒng)=(3-x2)/(2x)，所以2x+y=2x+(3-x2)/(2x)=5/2+x2/(2x)-2x≥5/2-2=1/2，當(dāng)且僅當(dāng)x=√3,y=0時(shí)取得最小值。已知$x,y\inR^+$且$x^2+y^2=1$，求$x+y$的最大值。解：由平方平均數(shù)不等式得：$$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge\frac{x+y}{2}$$即$$\frac{1}{\sqrt{2}}\ge\frac{x+y}{2}$$所以$$x+y\le\sqrt{2}$$當(dāng)且僅當(dāng)$x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$時(shí)，取等號(hào)，故$x+y$的最大值為$\sqrt{2}$。11.（二星）設(shè)a>0，b>0，a+b=1，求2a+1+2b+1的最大值。答案：4解：由題意可得2a+2b+2=4，所以2a+1+2b+1=4+1+1=6，故最大值為4。7.（三星）設(shè)a,b>0，a+b=5，則a+1+b+3的最大值為_(kāi)________。答案：9解：因?yàn)閍,b>0，a+b=5，所以a+1+b+3=9。根據(jù)均值不等式可得：(a+1)+(b+3)≤2(a+b+1)=12，所以a+1+b+3的最大值為9。13.（四星）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，則a的最大值是____________。答案：2/3解：由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)可得ab+bc+ca=-1/2，因此有b+c≥-2bc，即2(b+c)≥-2bc+b+c，即(b+c)2≥4bc。同理有(a+b)2≥4ab，(a+c)2≥4ac。將三式相加可得2(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)≥4(ab+bc+ca)，即2≥4(ab+bc+ca)，故ab+bc+ca≤1/2。由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)可得a2+b2+c2≥1/3，因此有a≤√(2/3)，即a的最大值為2/3。9.（三星）已知k∈R，點(diǎn)P(a,b)是直線(xiàn)x+y=2k與圓x2+y2=k2-2k+3的公共點(diǎn)，則ab的最大值為（）。答案：9解：將x+y=2k改寫(xiě)為y=2k-x，代入圓的方程可得x2+(2k-x)2=k2-2k+3，即x2-4kx+4k2-2k+3=0。由于圓心坐標(biāo)為(2k,0)，因此該圓的方程可以寫(xiě)為(x-2k)2+y2=(k-1)2，即(x-2k)2+y2≤(k-1)2。因此x-2k的取值范圍為[√2k-1,3-√2k]，由于a和b的取值范圍相同，因此ab的最大值為(3-√2k)(√2k-1)=9-3k-2k√2。1.（二星）若x>0，y>0，則(x+y)/(x2+y2)的最小值為_(kāi)________。答案：2√2/4=√2/2解：由均值不等式可得(x+y)2/2≥xy，即(x+y)/2≥2xy/(x+y)，所以(x+y)/(x2+y2)≥2xy/(x+y)(x2+y2)，即(x+y)/(x2+y2)≥2/(x+y)，因此(x+y)/(x2+y2)的最小值為2/(x+y)。由(x+y)2≤2(x2+y2)可得2/(x+y)≥2√2/(x2+y2)，所以(x+y)/(x2+y2)的最小值為2√2/4=√2/2。5.求函數(shù)y=x2(1-5x)(0≤x≤1)的最值。答案：5/1024解：當(dāng)x=0或x=1時(shí)，y=0。當(dāng)0<x<1/5時(shí)，1-5x>0，此時(shí)y<0；當(dāng)1/5≤x≤1時(shí)，1-5x≤0，此時(shí)y≥0。因此y的最大值只可能出現(xiàn)在x=1/5處。此時(shí)y=1/25×4/5×1024/3125=5/1024。6.設(shè)θ為銳角，求y=sinθcos2θ的最大值。答案：1/4解：由于-1≤sinθ≤1，0≤cosθ≤1，因此sinθcos2θ≤cos2θ。由cos2θ=1/2(1+cos2θ)可得cos2θ的最大值為1/2，因此sinθcos2θ的最大值為1/4。9.已知$x,y\inR^+$，且$2x+8y-xy=0$，求$x+y$的最小值。解：將$2x+8y-xy=0$移項(xiàng)得$xy=2x+8y$，再用AM-GM不等式可得：$$x+y=\frac{1}{2}(x+2y)+\frac{1}{2}(2x+6y)\geq2\sqrt{(x+2y)(2x+6y)}=2\sqrt{8xy}=8\sqrt{2}$$當(dāng)且僅當(dāng)$x=4\sqrt{2},y=\sqrt{2}$時(shí)等號(hào)成立，故$x+y$的最小值為$8\sqrt{2}$。2.若直線(xiàn)$ax+by=1(a>0,b>0)$過(guò)點(diǎn)$(1,1)$，則$a+b$的最小值等于()解：因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)$(1,1)$，所以$a+b=1/(a+b)(ax+by)=1+ax+by\geq1+2\sqrt{ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)$ax=by$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)$a=b=1/\sqrt{2}$，故$a+b=\sqrt{2}$。14.若$\log_4(3a+4b)=\log_2ab$，則$a+b$的最小值是（）解：由題得$3a+4b=ab^2$，將$3a+4b$代入得$ab^2=\log_2(3a+4b)\geq\log_22\sqrt{3ab}=1+\frac{1}{2}\log_23ab$，即$\frac{1}{2}\log_2ab\geq1$，故$ab\geq2$。又因?yàn)?3a+4b=ab^2\geq2\sqrt{3ab}$，即$ab\geq12$。當(dāng)且僅當(dāng)$ab=12$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)$a=\frac{12}{5},b=\frac{10}{3}$，故$a+b=\frac{78}{15}$。1.已知$x,y$都是正數(shù)，且$x+y=1$，則$\frac{x^2}{y^2+1}$的最小值是___________。解：由AM-GM不等式可得：$$\frac{x^2}{y^2+1}=\frac{(x^2+y^2)+y^2}{y^2+1}-\frac{y^2}{y^2+1}\geq2\sqrt{\frac{(x^2+y^2)y^2}{(y^2+1)^2}}=\frac{2y}{y^2+1}$$又因?yàn)?x+y=1$，所以$y=1-x$，代入得$\frac{x^2}{y^2+1}=\frac{x^2}{2x^2-2x+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{x^2-x+1}{x^2}}\geq\frac{1}{2}\cdot\frac{2x^2}{x^2-x+1}=\frac{x^2+x^2}{x^2-x+1}=1$。當(dāng)且僅當(dāng)$x=1,y=0$時(shí)取等號(hào)，故$\frac{x^2}{y^2+1}$的最小值為$1$。20.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$的最小值為_(kāi)______。解：由AM-GM不等式可得：$$f(x)=\frac{x^2}{x+1}=x-\frac{x}{x+1}\geqx-\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{x}}{2}$$又因?yàn)?f(x)$在$x>0$時(shí)單調(diào)遞減，所以$f(x)$的最小值為$\frac{\sqrt{1/4}}{2}=\frac{1}{4}$。1.已知$a>0$，求函數(shù)$y=\frac{x^2+a+1}{2x+a}$的最小值。答案：$\frac{a+1}{2\sqrt{a}}$。2.已知$a>0$，$b>0$且$3ab=a+b+1$，求$ab$的最小值。答案：$\left[1,+\infty\right)$。5.若正實(shí)數(shù)$x$，$y$滿(mǎn)足$2x+y+6=xy$，則$xy$的最小值是$\frac{18}{5}$。解：由$x>0$，$y>0$，$2x+y+6=xy$，得$xy\geq2\cdot2xy+6$（當(dāng)且僅當(dāng)$2x=y$時(shí)，取“$=$”），即$(xy)^2-2xy-6\geq0$，解得$xy\geq\frac{3+\sqrt{15}}{2}$，即$xy\geq\frac{18}{5}$，取等號(hào)時(shí)$x=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$，$y=\frac{6}{3+\sqrt{15}}$。27.若$x$，$y\in(0,+\infty)$，$x+2y+xy=30$。(1)求$xy$的取值范圍；(2)求$x+y$的取值范圍。解：(1)$x+2y+xy=30$，即$x=\frac{30-2y}{y+1}$，代入$xy$得$xy=\frac{30y-2y^2}{y+1}$，解得$xy\in\left(0,\frac{225}{8}\right]$。(2)$x+2y+xy=30$，即$(x+1)(y+2)=32$，由調(diào)和平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)得$x+y\geq\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}$，又$x+2y+xy=30$，即$(x+2)+(y+1)+xy=33$，由調(diào)和平均數(shù)不小于算術(shù)平均數(shù)得$x+2+y+1+xy\geq33\cdot\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}$，即$x+y\geq\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}-\frac{3}{2}+\frac{33\cdot4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}\cdot30}$，化簡(jiǎn)得$x+y\geq\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}+\frac{2\sqrt{10}}{3}$。1.首先將每個(gè)式子按照數(shù)學(xué)規(guī)律重新排版，得到：$$xy=\frac{x+2}{\frac{64}{x+2}+32}\leq18$$$$x+y=\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{x+2}-3\in[82/3,30)$$2.由已知條件$2x+5y=20$，可以解出$y=4-\frac{2}{5}x$。將$y$代入$\logx+\logy=\log(xy)$中，得到$\logx+\log(4-\frac{2}{5}x)=\log(x(4-\frac{2}{5}x))$。對(duì)于$x\in(0,+\infty)$，可以求出函數(shù)$f(x)=\log(x(4-\frac{2}{5}x))$的最大值。對(duì)$f(x)$求導(dǎo)，得到$f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{5(4-\frac{2}{5}x)}-\frac{2}{5}$。令$f'(x)=0$，解得$x=5$。此時(shí)$f(x)$取得最大值$\log10$。3.由已知條件$a>1$和$\log_ba=42$，可以解出$b=2^{\frac{1}{42}\loga}$。將$b$代入$\log_2(ab)=\log_2a+\log_2b$中，得到$\log_2(ab)=\frac{1}{42}\loga+1$。對(duì)于$a\in(1,+\infty)$，可以求出函數(shù)$g(a)=\log_2(ab)$的最小值。對(duì)$g(a)$求導(dǎo)，得到$g'(a)=\frac{1}{42a\ln2}$。由于$g'(a)>0$，因此$g(a)$在定義域上單調(diào)遞增。當(dāng)$a=10$時(shí)，$g(a)=\log_210$，為最小值。4.將$z=x+y$代入$\lgx+\lgy=1$中，得到$\lgx+\lg(z-x)=1$。移項(xiàng)并應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，得到$\lg\frac{z-x}{x}=1-\lgx$。由于$x>0$，因此$1-\lgx>0$，即$\lg\frac{z-x}{x}>0$。對(duì)于$z>x$，可以求出函數(shù)$h(x)=\lg\frac{z-x}{x}$的最小值。對(duì)$h(x)$求導(dǎo)，得到$h'(x)=\frac{1}{x(z-x)\ln10}(z-2x)$。令$h'(x)=0$，解得$x=\frac{z}{2}$。此時(shí)$h(x)$取得最小值$-\lg2$。因此$z=x+y\geq2x=2\cdot\frac{z}{2}=z$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{z}{2}$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)$z$的最小值為$2\cdot10^{-\lg2}=2^{-1}$。2.若a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為多少？解：由a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2。因此，3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a＋2b^2（當(dāng)且僅當(dāng)3a＝32b，即a＝2b時(shí)取等號(hào)）。又因?yàn)閍＋2b≥2√(ab)≥4（當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)取等號(hào)），所以3a＋9b≥2×3a＋2b^2≥2×3√(ab)＝18。因此，當(dāng)a＝2b時(shí)，3a＋9b有最小值18。11.設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，則x＋y的最大值為多少？解：由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3。由a>1，b>1知x>0，y>0，因此x＋y＝loga3＋logb3＝logab^3。又因?yàn)閍＋b＝23，所以b＝23－a，代入logab^3得x＋y＝loga(23－a)^3。令f(a)=loga(23－a)^3，則f'(a)=[3log(23－a)－3loga]/a^2。當(dāng)f'(a)=0時(shí)，a=23/4，此時(shí)f(a)取得最大值，即x＋y的最大值為log(23/4)(23－23/4)^3=2log223－3log223/4=2－3log23/4。22.已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當(dāng)a的值為多少時(shí)，log2a·log2(2b)取得最大值？解：由ab＝8得b＝8/a，所以log2a·log2(2b)=log2a·log28－log2a=log28·log2a－log2a。令f(a)=log28·log2a－log2a，則f'(a)=log28/a－1=0時(shí)，a=8/ln2，此時(shí)f(a)取得最大值，即log2a·log2(2b)的最大值為f(8/ln2)=3ln2。6.已知a，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2√3，求2a＋b＋c的最小值。解：由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2√3得a^2＋ab＋ac＋bc＝4－2√3。因此，2a＋b＋c=2a＋(a＋b＋c)－a＋b＋c=3a＋(a^2＋ab＋ac＋bc)/(a＋b＋c)，所以2a＋b＋c的最小值為2√(3－2√3)。29.設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足x－2y＋3z＝1，則xz/(x＋3z)的最小值是多少？解：由x－2y＋3z＝1得y=(x＋3z－1)/2，代入xz/(x＋3z)得(x＋3z－1)z/(x＋3z)。令f(z)=(x＋3z－1)z/(x＋3z)，則f'(z)=(x－2z＋1)/(x＋3z)^2。當(dāng)f'(z)=0時(shí)，z=(x＋1)/2，此時(shí)f(z)取得最小值，即xz/(x＋3z)的最小值為(x＋1)^2/(4(x＋3))。取得最小值3。二、比較大小已知$a>b>1,P=\log_{a}b,Q=\frac{1}{2}(\log_{2}a+\log_{2}b),R=\log_{2}\frac{a+b}{2}$，則$P,Q,R$的大小關(guān)系是$P<Q<R$。三、求函數(shù)最值8.設(shè)$x>-1$，求函數(shù)$y=\frac{x^2+7x+10}{x+1}$的最小值。答案：$9$。2.求$f(x)=\frac{x}{4+x}$的最大值。答案：$\frac{4}{e-1}$。16.（全國(guó)）已知$a,b,c$分別為$\triangleABC$的三個(gè)內(nèi)角$A,B,C$的對(duì)邊，$a=2$，且$(2+b)(\sinA-\sinB)=(c-b)\sinC$，則$\triangleABC$面積的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。1.已知$a,b$均為正實(shí)數(shù)，且$a+b=1$，求$y=\frac{a}{b+1}+\frac{a+1}$的最小值。解：法一：$y=\frac{a^2+b^2+2ab}{a+b+ab+1}=\frac{(a+b)^2+(a+b-2ab)}{(a+b)+ab+1}=1+\frac{-2ab}{a+b+ab+1}\geq1$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$時(shí)，$y$取最小值，最小值為$1$。法二：$y=\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{a+b}{ab+a+b+1}\geq2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{a+b}{ab+a+b+1}}=2\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(a+b)}{(a+b)^2+(a+b)+ab}}\geq2\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(a+b)}{(a+b)^2+(a+b)+\frac{(a+b)^2}{4}}}=2\sqrt{\frac{4ab}{3(a+b)+2ab}}\geq2\sqrt{\frac{4ab}{5\sqrt[5]{a^3b^2}}}=2\sqrt[10]{\frac{16}{5}}>\sqrt[10]{1024}>1$，其中第一個(gè)不等式用了均值不等式，第二個(gè)不等式用了$\frac{a^2+b^2}{2}\geqab$，第三個(gè)不等式用了$a+b\geq2\sqrt{ab}$。當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立，即$y$取最小值$1$。1.上升下降性質(zhì)當(dāng)t=4時(shí)，f(t)取得最小值4，此時(shí)a=b=2。當(dāng)a=b=2時(shí)，y取得最小值4。2.求參數(shù)范圍已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足x+22xy≤λ(x+y)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為2。已知不等式2x+22≥7在x∈(a，+∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為2。設(shè)x>y>z，n∈N，且(x-y)/(y-z)+n/(n+1)≥4/3，則n的最大值為2。對(duì)任意銳角θ，有sinθcosθ/(cos2θ+sin2θ)≥-1/2，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[-1/2,∞)。3.證明不等式已知a>2，則loga(a-1)loga(a+1)<1。設(shè)a,b均為正數(shù)，且a+b=1，則(1/ab)+(1/(a+b-2ab))≥4和(a/b+b/a)+(1/4)≥2。已知x>0，y>0，z>0，則(∑(yz/x))≥8。4.與其他知識(shí)結(jié)合圓x2+y2+2x-4y+1關(guān)于直線(xiàn)2ax-by+2=0對(duì)稱(chēng)，則ab的取值范圍為(-∞,-2]∪[2,∞)。解：由題可知，直線(xiàn)$2ax-by+2$過(guò)圓心$(-1,2)$，因此可以得到$a+b=1$。又因?yàn)?ab\leq\frac{1}{4}$，所以$ab$的取值范圍是$\left(-\infty,\frac{1}{4}\right]$。29.（四星）已知$AC$、$BD$為圓$x^2+y^2=4$的兩條相互垂直的弦，垂足為$M_1$、$M_2$，則四邊形$ABCD$的面積最大值為多少？解：設(shè)圓心$O$到$AC$、$BD$的距離分別為$d_1$、$d_2$，則$d_1^2+d_2^2=OM^2=3$。四邊形$ABCD$的面積$S=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\leq\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{(2-d_1)(2-d_2)}\leq2\sqrt{2-\frac{d_1^2+d_2^2}{2}}=2\sqrt{2-\frac{3}{2}}=\sqrt{5}$。因此，四邊形$ABCD$的面積最大值為$\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)$AC$、$BD$分別垂直于$OM_1$、$OM_2$時(shí)取得。3.（四星）設(shè)$m\in\mathbb{R}$，過(guò)定點(diǎn)$A$的動(dòng)直線(xiàn)$x+my=$和過(guò)定點(diǎn)$B$的動(dòng)直線(xiàn)$mx-y-m+3=0$交于點(diǎn)$P(x,y)$，則$|PA|\cdot|PB|$的最大值是多少？解：由于$PA\perpPB$，所以$PA+PB=AB=10$。因此，$|PA|\cdot|PB|$的最大值為$\frac{(PA+PB)^2}{4}=25$，當(dāng)且僅當(dāng)$PA=PB=5$時(shí)取得。4.（三星）如果函數(shù)$f(x)=\frac{m}{x^2+2}$在區(qū)間$[0,2]$上單調(diào)遞減，那么$m-2x+n-8x+1(m\geq0,n\geq0)$的最大值為多少？解：對(duì)$f(x)$求導(dǎo)可得$f'(x)=-\frac{2mx}{(x^2+2)^2}$，令其等于$0$，得到$x=0$。因?yàn)?f(x)$在$[0,2]$上單調(diào)遞減，所以$f'(x)<0$，即$m>0$。將$x=0$代入$f(x)$可得$f(0)=\frac{m}{2}$，因此$m>0$。將$x=2$代入$f(x)$可得$\frac{m}{6}\leqf(2)=\frac{m}{8}$，因此$m\leq24$。又因?yàn)?n-8x+1\geq0$，所以$n\geq8x-1$。因此，$m-2x+n-8x+1\leqm-2x+8x-1=m+6x-1$。當(dāng)$m=24$時(shí)，$f(x)$在$[0,2]$上單調(diào)遞減，且$m+6x-1$取最大值$47$，因此最大值為$47$。應(yīng)有2n+m=18(m<2,n>8)，因此m·n=(18-2n)·n<(18-2×8)×8=16，因此最大值為18。選B。另外一種方法是用導(dǎo)數(shù)來(lái)做，也需要分類(lèi)。某單位要建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房。由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)5米。房屋正面的造價(jià)為400元/平方米，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/平方米，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5,800元。如果墻高為3米，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用，當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？解：由題意可得，造價(jià)y=3(2x×150+x×400)+5,800。則y=900(x+16/x)+5,800(0<x≤5)。因此，y≥900×2x×16/x+5,800=13,000元。當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取等號(hào)。因此，當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為4米時(shí)，總造價(jià)最低。某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元。若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為8天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元。為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品多少件？解：設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，由題意得800x/y+8x≥2x·8=16x。因此，y≥800。當(dāng)且僅當(dāng)x=80時(shí)，y=800，因此每批應(yīng)生產(chǎn)80件產(chǎn)品。為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱（如圖所示）。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱的底長(zhǎng)為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分別與a、b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米。問(wèn)：當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）？解：設(shè)y為流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，k為比例系數(shù)，則y=kab。根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），解得b=(30-a)/2+a/2（0<a<30）。將b帶入y=kab中，得到y(tǒng)=64/(a+2)+34-a/2。因此，y的最小值為64/4+34-15=33（當(dāng)a=3時(shí)取得）。因此，當(dāng)a=3米，b=9米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。題目中的公式和文字混亂，需要重新排版和修改。34-2已知$a+2=k$，$y=\frac{a}$，且$a,b$均為正整數(shù)，求使得$y$最小的$a,b$的值。方法一：由題意可得$b=\frac{18}{a+2}$，因?yàn)?a,b$均為正整數(shù)，所以當(dāng)$a=6$時(shí)，$b=3$，此時(shí)$y=\frac{1}{2}$，為最小值。方法二：根據(jù)題意，要求$ab$的值最大，即要求滿(mǎn)足$4b+2ab+2a=60$的$a,b$值，且$a,b$均為正整數(shù)?；?jiǎn)得$a+2b+ab=30$。因?yàn)?a+2b\geq2\sqrt{2ab}$，所以$2ab+ab\leq30$，即$a=2b$時(shí)取得最大值。解得$0<ab\leq18$，即當(dāng)$a=2b$時(shí)，$ab$取得最大值，其最大值為$18$。此時(shí)$b=3$，$a=6$，$y=\frac{1}{2}$，為最小值。47.甲、乙兩地相距$s$千米，一艘船由甲地逆水勻速行駛至乙地，水速