微積分下2第十章

一、引例二、基本概念三、小結(jié) 思考題第一節(jié)微分方程的基本概念一、引例例1

（以一種新觀點描述連續(xù)復(fù)利）假設(shè)某人以本金p0

元進行一項投資，投資的年利率為r，若以連續(xù)復(fù)利計，則t

年后資金的總額為：p(t

)

=

p

ert0我們從另外的觀點導(dǎo)出(1)式.(1)設(shè)t時刻(以年為單位)的資金總額為p(t)，且資金沒有取出也沒有新的投入.那么，t

時刻資金總額的變化率=t

時刻資金總額獲取的利息而t時刻資金總額的變化率=dp/dt，t時刻資金總額獲取的利息=rp，所以dtdp

=

rp(2)此式中未出現(xiàn)p0

，這是因為p0

的值并不影響利息贏取的過程.但是，作為未知函數(shù)的p(t

)應(yīng)滿足下列條件：當(dāng)t=0時，p(t

)=p0

.將之記作p

|t

=0

=

p0(3)很顯然，要是一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是自己的r倍，則很自然地我們猜測到：p(t

)=Cert

(C為任意常數(shù))(4)將之代入

dp

=

rp

，不難驗證，等式成立.dt于是根據(jù)p

|t

=0

=p0

得0p

=

Cer

0

=

C故C

=p0.則0p(t

)

=

p

ert這與前面的結(jié)果一致.(5)例2

一個質(zhì)量為m

的物體僅受重力的作用而下落，如果其初始位置和初始速度都是0，試確定物體下落的距離S

與時間t

的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)物體在任意時刻t下落的距離S

=S

(t

)，則物體運動的加速度為d

2

Sa

=

S

￠=

.dt

2現(xiàn)在物體僅受重力作用，重力加速度為g，由牛頓第二定律可知，d

2

Sdt

2=

g,(6)此外，未知函數(shù)S

=S

(t

)還應(yīng)滿足條件:dtt

=

0

有

S

=

0,V

=

dS

=

0.將其記作S

|t

=0

=

0,t

=0V

|t

=0=

dS

|=

0.dt將(6)式兩端積分一次，得1dtV

=

dS

=

gt

+

C

,再積一次分，得(8)(7)21

2t

+

C

t

+

C

.g2這里C1

,C2

都是任意常數(shù).把條件V

|t

=0

=0

代入(8)式，得C1

=

0把條件S

|t

=0

=0

代入(9)式，得C2

=

0把C1

,C2

代入(9)式，得S

=(10)(9)2S

=

1

gt

2

.這正是我們所熟悉的物理學(xué)中的自由落體運動公式.微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，叫做微分方程.例

y

=

xy,(t

2

+

x)dt

+

xdx

=

0,y

+

2

y

-

3

y

=

e

x

,?x?z

=

x

+

y,實質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.第一節(jié)微分方程的基本概念分類1:常微分方程,偏微分方程.微分方程的階:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).分類2:F

(

x,

y,

y

)

=

0,

y

=

f

(

x,

y);F

(

x,

y,

y

,,

y(

n

)

)

=

0,y(

n

)

=

f

(

x,

y,

y

,,

y(

n-1)

).一階微分方程高階微分方程分類3:y

+

P(

x)

y

=

Q(

x),x(

y

)2

-

2

yy

+

x

=

0;分類4:單個微分方程與微分方程組.

dy

=

3

y

-

2z,dx

dz

=

2

y

-

z,

dx非線性微分方程.線性微分方程.微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).設(shè)y

=

j(

x)在區(qū)間

I

上有

n

階導(dǎo)數(shù),

滿足F

(

x,j

(

x),j

(

x),,j

(

n

)

(

x))

”

0.則稱

y

(

x)為微分方程在區(qū)間

I

上的解。微分方程的解的分類：(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.=(2)特解:解的圖像:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.微分方程的積分曲線.例如

y

=

y,通解y

=Cex

;y

+y

=0,

通解y

=C1

sin

x

+C2

cos

x;通解的圖像:積分曲線族.初始條件:

用來確定任意常數(shù)的條件.過定點的積分曲線;

y

=

f

(

x,

y)一階:

y=

yx=

x0

0二階:

y

y

=

f

(

x,

y,

y

)=

y0

,

y￠=x

x0x=

x00=

y￠過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:求微分方程滿足初始條件的特解的問題.例

1

驗證:函數(shù)x

=

C1

cos

kt

+

C2

sin

kt

是微分方程d2

x+

k

2

x

=

0dt

2t

=0=0的特解.dtt

=0的解.

并求滿足初始條件x

=

A,

dx1

2解：

dx

=

-kC

sin

kt

+

kC

cos

kt,dtd2

x=

-k

2C

cos

kt

-

k

2C

sin

kt,1

2dt

2d2

x將dt

2和x的表達式代入原方程

,

得-

k

2

(C

cos

kt

+

C

sin

kt

)

+

k

2

(C

cos

kt

+

C

sin

kt

)

”

0.1

2

1

2故x

=C1

cos

kt+C2

sin

kt

是原方程的解.t

=0dxdtt

=0

x

=

A,

=

0,2\

C1

=

A,

C

=

0.所求特解為x

=Acos

kt.補充:

微分方程的初等解法:

初等積分法.求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)本節(jié)基本概念：微分方程；微分方程的階；微分方程的解；通解;初始條件；特解；初值問題；積分曲線．小結(jié)思考題函數(shù)y

=3e

2

x

是微分方程y

￠-4

y

=0的什么解?思考題解答

y

=

6e2

x

,

y

=

12e2

x

,y

-

4

y

=12e2

x

-

4

3e2

x

=

0,

y

=

3e2

x中不含任意常數(shù),故為微分方程的特解.一、填空題:1.

xy

+

2

y+

x

2

y

=

0是

階微分方程；d2Q2.

L

+

R

dQ

+

Q

=

0是

階微分方程；dt

2

dt

cdqdr

23.

+

r

=

sin

q

是

階微分方程；4.

一個二階微分方程的通解應(yīng)含有

個任意常數(shù).二、確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)

=C1

sin(x

-C2

)所含的參數(shù),使其滿足初始條件y

x=p

=1,y

x=p

=0.三、設(shè)曲線上點P(x

,y)處的法線與x

軸的交點為Q

,且線段PQ

被y

軸平分,試寫出該曲線所滿足的微分方程.練習(xí)題四、已知函數(shù)