數(shù)學(xué)課件（新教材人教A版強(qiáng)基版）第八章直線和圓圓錐曲線87拋物線

拋物線第八章直線和圓、圓錐曲線1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.了解拋物線的簡單應(yīng)用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識第一部分1.拋物線的概念把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離______的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的______，直線l叫做拋物線的_____.相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形

范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)______________________________準(zhǔn)線方程_________________________________對稱軸__________頂點(diǎn)______離心率e＝___x軸y軸(0,0)11.通徑：過焦點(diǎn)與對稱軸垂直的弦長等于2p.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.(

)(2)方程y＝4x2表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0).(

)(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.(

)(4)以(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y.(

)××√×√2.過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于A.9 B.8√拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3.拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(3，y)到焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為A.y2＝8x B.y2＝4x

C.y2＝2x D.y2＝x√探究核心題型第二部分例1

(1)(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3,0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于題型一拋物線的定義及應(yīng)用√方法一

由題意可知F(1,0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.因?yàn)閨BF|＝3－1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2).不妨取A(1,2)，方法二由題意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因?yàn)閽佄锞€的通徑長為2p＝4，所以AF的長為通徑長的一半，所以AF⊥x軸，(2)已知點(diǎn)M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點(diǎn)為F.若對于拋物線上的一點(diǎn)P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________.42或22當(dāng)點(diǎn)M(20,40)位于拋物線內(nèi)時(shí)，如圖①，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當(dāng)點(diǎn)M，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF|的值最小.①當(dāng)點(diǎn)M(20,40)位于拋物線外時(shí)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PF|的值最小.解得p＝22或p＝58.當(dāng)p＝58時(shí)，y2＝116x，點(diǎn)M(20,40)在拋物線內(nèi)，故舍去.綜上，p＝42或p＝22.②“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡捷、直觀的求解.“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑.思維升華√(2)已知點(diǎn)P為拋物線y2＝－4x上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是√直線l：x＝1為拋物線y2＝－4x的準(zhǔn)線，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)F作直線x＋y－4＝0的垂線，如圖所示，此時(shí)d1＋d2最小為點(diǎn)F到直線x＋y－4＝0的距離.題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2

分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0；準(zhǔn)線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p＞0).(2)過點(diǎn)(3，－4)；∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).把點(diǎn)(3，－4)的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，(3)焦點(diǎn)在直線x＋3y＋15＝0上.令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點(diǎn)為(0，－5)或(－15,0).∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法.(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，分情況討論.思維升華√跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則|BC|＝2a，由拋物線的定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，因此拋物線的方程為y2＝3x.√則拋物線方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.題型三拋物線的幾何性質(zhì)√解得p＝2(p＝－6舍去).√√√因?yàn)锳E∥x軸，所以∠EAF＝60°，由拋物線的定義可知，|AE|＝|AF|，則△AEF為等邊三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，則∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正確；因?yàn)閨AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，因?yàn)椤螪AE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正確；因?yàn)閨BD|＝2|BF|，思維升華應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2021·新高考全國Ⅰ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為_________.所以tan∠OPF＝tan∠PQF，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，16易知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－4，如圖，拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，作MB⊥l于點(diǎn)B，NC⊥l于點(diǎn)C，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以|FN|＝16.課時(shí)精練第三部分1234567891011121314√基礎(chǔ)保分練2.(2023·榆林模擬)已知拋物線x2＝2py(p>0)上的一點(diǎn)M(x0,1)到其焦點(diǎn)的距離為2，則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為A.6 B.4√12345678910111213143.(2023·福州質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，動點(diǎn)P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(diǎn)(－2,0)的距離小1，則P的軌跡方程為A.y2＝2x B.y2＝4xC.y2＝－4x D.y2＝－8x√1234567891011121314由題意知動點(diǎn)P(x，y)到直線x＝2的距離與到定點(diǎn)(－2,0)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2,0)為焦點(diǎn)，x＝2為準(zhǔn)線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.4.(2022·北京模擬)設(shè)M是拋物線y2＝4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OFM＝120°，則|FM|等于1234567891011121314√1234567891011121314過點(diǎn)M作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接FN，如圖所示，因?yàn)椤螼FM＝120°，MN∥x軸，則∠FMN＝60°，由拋物線的定義可得|MN|＝|FM|，所以△FNM為等邊三角形，則∠FNM＝60°，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)直線x＝－1交x軸于點(diǎn)E，則∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，則|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5.(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，直線l過點(diǎn)F且與拋物線交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A.p＝4B.拋物線方程為y2＝16xC.直線l的方程為y＝2x－4D.|AB|＝101234567891011121314√√√1234567891011121314由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知p＝4，故A正確；則拋物線的方程為y2＝8x，焦點(diǎn)F(2,0)，故B錯誤；若M(m,2)是線段AB的中點(diǎn)，則y1＋y2＝4，∴直線l的方程為y＝2x－4，故C正確；1234567891011121314又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正確.1234567891011121314√√1234567891011121314123456789101112131412345678910111213147.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面為l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米.則水位下降1米后，水面寬______米.8.(2021·北京)已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線C上的點(diǎn)，且|FM|＝6，則M的橫坐標(biāo)是_____，作MN⊥x軸于N，則S△FMN＝_______.123456789101112131451234567891011121314因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，解得xM＝5，9.過拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|＝2.(1)求拋物線C的方程；1234567891011121314當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y.(2)若拋物線C上存在點(diǎn)M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程.12345678910111213141234567891011121314∵點(diǎn)M(－2，y0)在拋物線C上，又直線l過點(diǎn)F(0,1)，∴設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1.得x2－4kx－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，1234567891011121314∵M(jìn)A⊥MB，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.當(dāng)k＝0時(shí)，l過點(diǎn)M，不符合題意，∴k＝2，∴直線l的方程為y＝2x＋1.10.已知在拋物線C：x2＝2py(p>0)的第一象限的點(diǎn)P(x,1)到其焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)；1234567891011121314故拋物線的方程為x2＝4y，當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝4，又因?yàn)閤>0，所以x＝2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1).12345678910111213141234567891011121314由題意可得直線l的斜率存在，所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，因?yàn)椤螦PB的角平分線與y軸垂直，所以kPA＋kPB＝0，1234567891011121314即x1＋x2＋4＝0，所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，11.(多選)(2023·衡陽聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F的直線與C分別交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則A.y1y2為定值B.∠AOB可能為直角C.以BF為直徑的圓與y軸有兩個交點(diǎn)D.對于確定的直線AB，在C的準(zhǔn)線上存在三個不同的點(diǎn)P，使得△ABP為

直角三角形1234567891011121314綜合提升練√√1234567891011121314設(shè)lAB：x＝ty＋1，與y2＝4x聯(lián)立可得y2－4ty－4＝0，y1y2＝－4，故A正確；則以BF為直徑的圓與y軸相切，故C錯誤；1234567891011121314故有以AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，對于確定的直線AB，當(dāng)∠P為直角時(shí)，P為切點(diǎn)；當(dāng)∠A或∠B為直角時(shí)，P為過A(或B)的AB的垂線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，故D正確.1