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文檔簡介
第七節(jié)二元函數(shù)的泰勒公式問題的提出二元函數(shù)的泰勒公式小結(jié)一、問題的提出(0
<
q
<
1).一元函數(shù)的泰勒公式：f
(
x)
=
f
(
x0
)
+
f
(
x0)(
x
-
x0
)0020
0
2n+1++n(
x
-
x
)
0
0
(n
+
1)!f
(
n+1)
(x
+q(
x
-
x
))(
x
-
x
)
0
n!f
￠(
x
)
f
(
n
)
(
x
)(
x
-
x
)
+
+意義：可用n次多項式來近似表達函數(shù)f
(x)，且誤差是當x
finx0
時比(
x
-
x0
)
高階的無窮小．問題：能否用多個變量的多項式來近似表達一個給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小.即設(shè)z
=f
(x,y)在點(x0
,y0
)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到n
+1階的連續(xù)偏導數(shù),(x0
+h,y0
+h)為此鄰域內(nèi)任一點,能否把函數(shù)f
(x0
+h,y0
+k
)近似地表達為h
=x
-x0
,k
=y
-y0
的n
次多項h2
+
k
2式，且誤差是當
r
=
fi
0時比
rn
高階的無窮?。绾无D(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問題?f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)
=考慮(x0
,y0
)和(x0
+h,y0
+k
)的連線連線上的點(x0
+th,y0
+tk
)0
￡
t
￡
1f
(x,y)在此連線上為一元函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)F
(t
)
=
f
(
x0
+
th,
y0
+
tk)F
(t
)在t
=0附近有連續(xù)導數(shù)0
0(
x
,
y
)0
0(
x
+
h,
y
+
k
)F
(t
)
=
F
(0)
+
F
￠(qt
)t取t
=1,有F
(0)
=
f
(
x0
,
y0
),F
(1)
=
F
(0)
+
F
￠(q
)F
(t
)
=
f
(
x0
+
th,
y0
+
tk)零階麥克勞林展開式：F
￠(t
)
=
fx￠(
x0
+
th,
y0
+
tk
)h
+
f
y￠(
x0
+
th,
y0
+
tk)kF
￠(q)
=
fx￠(
x0
+qh,
y0
+qk)h
+
f
y￠(
x0
+qh,
y0
+qk
)kf
(
x0
+
h,
y0
+
k
)
=
f
(
x0
,
y0
)+
fx￠(
x0
+qh,
y0
+qk)h
+
f
y￠(
x0
+qh,
y0
+qk
)k零階泰勒展開式F
(1)
=
f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)
-
f
(
x0
,
y0
)=
fx￠(
x0
+qh,
y0
+qk
)h
+
f
y￠(
x0
+qh,
y0
+qk
)k類似一元函數(shù)的微分中值定理上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.2!一階麥克勞林展開式：F
(t
)=F
(0)+F
￠(0)t
+F
￠(qt
)
t
2取t
=1,有2!F
(1)
=
F
(0)
+
F
￠(0)
+
F
￠(q)相同的方法導出一階泰勒展開式：F
(t
)=f
(x0
+th,y0
+tk)F
(0)
=
f
(
x0
,
y0
),F
￠(t
)
=
fx￠(
x0
+
th,
y0
+
tk
)h
+
f
y￠(
x0
+
th,
y0
+
tk)kF
￠(0)
=
fx￠(
x0
,
y0
)h
+
f
y￠(
x0
,
y0
)kF
(1)
=
f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)￠F
(t
)
=2xx
0
0
xy
00+
f
￠(
x
+
th,
y
+
tk
)k
2yy
0
0f
￠(
x
+
th,
y
+
tk
)h
+
2
f
￠(
x+
th,
y
+
tk
)hk0
0F
￠(t
)
記作=?
?
h
+
k f
(
x+
th,
y
+
tk
)?x
?y
F
￠(t
)
=
fx￠(
x0
+
th,
y0
+
tk
)h
+
f
y￠(
x0
+
th,
y0
+
tk)kF
￠(t
)
=
f
￠(
x
+
th,
y
+
tk
)h2
+
2
f
￠(
x
+
th,
y
+
tk
)hkxx
0
0
xy
0
02f
(
x0
+
th,
y0
+
tk
)?
?
=
h
?x
+
k
?y
記做yy
0
0+
f
￠(
x
+
th,
y
+
tk
)k
2f
￠(
x
+qh,
y
+qk
)k
2
)yy
0
02!1f
(x0
+
h,
y0
+
k)
=
f
(x0
,
y0
)
+
f
x
(x0
,
y0
)h
+
f
y
(x0
,
y0
)k02xx
0
0h,
y
k
)hk
++q
+qh,
y
k)h
+
2
f
xy￠(x0+q
+q+
(
f
￠(x一階泰勒展開式：1
2!
?x
?y00h,
y
k
)f
(x
+q
+q0
0f
(x
,
y
)0
000?
2?+
h
+
k?
+
k??x
?yf
(x
+
h,
y
+
k
)
=
f
(x
,
y
)
+
h0
<q
<
12!00h,
y
k
)f
(x
+q
+q?
2R1
=+
k??x
?yh1
10
00
00f
(x0
+
h,
y
+
k
)=
f
(x
,
y
)
+
h?
+
k
f
(x
,
y
)
+
R??x
?y二元函數(shù)一階泰勒展開式（帶有Langrange余項）或表示為：Langrange余項00h,
y
k
)f
(x
+q
+q?
21+
k??x
?yhR
=1
+
f
￠(x
+qh,
y
+qk
)k
2
)yy
0
0假定f(x,y)具有連續(xù)的偏導數(shù)：偏導數(shù)連續(xù)則偏導數(shù)有界2!2!10h,
y
k
)hk2xy
0xx
0
0+q
+q￠h,
y
k
)h
+
2
f
(x+q
+q￠=
(
f
(x2M|
R1
|<
2!
(h
+
k
)r
=
h2
+
k
22￡
(cos
a
+
sin
a)Mr222)
=
o(r)2!2!Mr2￡
(R1
=
o(r)Peano余項0
0f
(x
,
y
)
+
o(r)0
000
?
+
k?x
?yf
(x
+
h,
y
+
k)
=
f
(x
,
y
)
+
h?二元函數(shù)一階泰勒公式（Peano余項）當（x0
,y0）=（0,0）時，泰勒公式又稱為麥克勞林公式。如：
?
?f
(h,
k)
=
f
(0,0)
+
h
+
k
f
(0,0)
+
o(r)?x
?y二元函數(shù)一階麥克勞林公式（Peano余項）定理設(shè)z
=f
(x,y)在點(x0
,y0
)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到n
+1階的連續(xù)偏導數(shù),(x0
+h,y0
+h)為此鄰域內(nèi)任一點,則有二、二元函數(shù)的泰勒公式(0
<
q
<
1)0
020
00
0
0
0
f
(
x
+qh,
y
+qk
),?y
0
01
h
?
+
k
?
(n
+
1)!
?xn+1+
n!
?x
?y
2!
?x
?y+
1
h
?
+
k
?
f
(
x
,
y
)
+
+
1
h
?
+
k
?
f
(
x
,
y
)0
0?x
?y
f
(
x
+
h,
y
+
h)
=
f
(
x
,
y
)
+
h
?
+
k
?
f
(
x
,
y
)
n其中記號0
0?x
?y
h
?
+
k
?
f
(
x
,
y
)
表示hf
x
(x0
,y0
)+kf
y
(x0
,y0
),20
0?x
?y
h
?
+
k
?
f
(
x
,
y
)
表示h2
f
(
x
,
y
)
+
2hkf
(
x
,
y
)
+
k
2
f
(
x
,
y
),x
x
0
0
xy
0
0
yy
0
0一般地,記號f
(x0
,y0
)表示m?
h
+
k?x
?y
?.(
x0
,
y0
)?m
pmp=0?x
p?ym
-
ppmh
kp m
-
pC證
引入函數(shù)F
(t
)
=
f
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
), (0
￡
t
￡
1).顯然F
(0)
=
f
(
x0
,
y0
),F
(1)
=
f
(
x0
+
h,
y0
+
k
).由F
(t
)的定義及多元復合函數(shù)的求導法則,可得F
(t
)
=
hf
x
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
)
+
kf
y
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
)0
0
?x
?y
=
h
?
+
k
?
f
(
x
+
ht
,
y
+
kt
),F
(t
)
=
h2
f
(
x
+
ht
,
y
+
kt
)xx
0
02+
2hkf
xy
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
)
+
k f
yy
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
)
f
(
x0
+
ht
,
y0
+
kt
).n+1(
x0
+ht
,
y0
+kt
)p=0hpkn+1-
ppn+1?
p?x
p?yn+1-
pn+1Cn+1F
(
n+1)
(t
)
=
?x
?y
=
h
?
+
k
?
利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得F
(
n+1)
(q
),
(0
<
q
<
1).(n
+
1)!1+
1
F
(
n
)
(0)
+n!2!F
(1)
=
F
(0)
+
F
￠(0)
+
1
F
￠(0)
+將F
(0)=f
(x0
,y0
),F
(1)=f
(x0
+h,y0
+k
)及上面求得的F
(t
)直到n階導數(shù)在t
=0的值,以及
F
(n+1)(t
)在t
=q
的值代入上式.即得(1)f
(
x0
,
y0
)
+
Rn
,0
020
00
0
0
0n
n!
?x
?y+
1
h
?
+
k
?
2!
?x
?y+
1
h
?
+
k
?
f
(
x
,
y
)
+
?x
?y
f
(
x
+
h,
y
+
k
)
=
f
(
x
,
y
)
+
h
?
+
k
?
f
(
x
,
y
)其中(2)證畢(0
<
q
<
1).f
(
x0
+qh,
y0
+qk
),1
h
?
+
k
?
(n
+
1)!
?x
?yn+1R
=n公式(1)稱為二元函數(shù)f
(x,y)在點(x0
,y0
)的n階泰勒公式,而Rn的表達式(2)稱為拉格朗日型余項.M(n
+
1)!rn+1
(cosa
+
sina
)n+1(3)=n(
2)n+1(n
+
1)!(h
+
k
)n+1
=M(n
+
1)!R
￡Mrn+1
,其中r
=h2
+
k
2
.n由(3)式可知,誤差R是當r
fi
0時比rn
高階的無窮小.由二元函數(shù)的泰勒公式知,Rn
的絕對值在點(x0
,y0
)的某一鄰域內(nèi)都不超過某一正常數(shù)M
.于是,有下面的誤差估計式:當n
=0時,公式(1)成為f
(
x0
+
h,
y0
+
k
)+
kf
y
(
x0
+qh,
y0
+qk
)上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.推論如果函數(shù)f
(x,y)的偏導數(shù)f
x
(x,y),f
y
(x,y)在某一鄰域內(nèi)都恒等于零,則函數(shù)f
(x,y)在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù).=
f
(
x0
,
y0
)
+
hf
x
(
x0
+qh,
y0
+qk
)在泰勒公式(1)
中,
如果取
x0
=
0,
y0
=
0,則(1)式成為n階麥克勞林公式.f
(0,0)+
1
x
?
+
y
?
f
(0,0)
+
+
1
x
?
+
y
?
2!
?x
?y
n!
?x
?y
n+12?y
1
x
?
+
y
?
(n
+
1)!
?x
f
(qx,qy),(0
<
q
<
1)n+?x
?y
f
(
x,
y)
=
f
(0,0)
+
x
?
+
y
?
f
(0,0)
(5)解例：將f
(x,y)=sin(x2
+y2
)展成帶皮亞諾余項的二階麥克勞林公式f
(0,
0)
=
0,
fx
(0,
0)
=
f
y
(0,
0)
=
0fxx
(0,
0)
=
2,
fxy
(0,
0)
=
0,
f
yy
(0,
0)
=
2,f
(
x,
y)
=\
sin(
x2
+
y2
)
=
(
x2
+
y2
)
+
o(
x2
+
y2
)2
2
2
2fx
(
x,
y)
=
2
x
cos(
x
+
y
),
f
y
(
x,
y)
=
2
y
cos(
x
+
y
)f
xx
(
x,
y)
=
2cos(
x2
+
y2
)
-4
x2
sin(
x2
+
y2
)2
2fxy
(
x,
y)
=
-4
xy
sin(
x
+
y
),2
2
2
2
2f
yy
(
x,
y)
=
2cos(
x
+
y
)
-4
y
sin(
x
+
y
)()2222!xxxyyyf
(
x,
y)
=
f
(0,
0)
+
fx￠(0,
0)
x
+
f
y￠(0,
0)
y
1f
￠(0,
0)x++
2
f
￠(0,
0)xy
+
f
￠(0,
0)
y+
o(r
)2!1
(2x2
+
2
y2
)
+
o(
x2
+
y2
)練習求函數(shù)f
(x,y)=ln(1
+x
+y)的三階麥克勞林公式.解,1
+
x
+
y1
fx
(
x,
y)
=
f
y
(
x,
y)
=,(1
+
x
+
y)21f
xx
(
x,
y)
=
f
xy
(
x,
y)
=
f
yy
(
x,
y)
=
-=
(1
+
x
+
y)3
,?3
f
2!(
p
=
0,1,2,3),?x
p?y3-
p?4
f,(1
+
x
+
y)43!?x
p?y4-
p=
-(
p
=
0,1,2,3,4),x
y?x
?y
\
x
?
+
y
?
f
(0,0)
=
xf
(0,0)
+
yf
(0,0)
=
x
+
y,
2?x
?y
x
?
+
y
?
f
(0,0)
+
3
xy2
f
(0,0)
+
y3
f
(0,0)
=
2(
x
+
y)3
,xyy
yyy3=
x2
f
(0,0)
+
2
xyf
(0,0)
+
y2
f
(0,0)xx
xy
yy=
-(
x
+
y)2
,3+
y
f
(0,0)
=
x
f?x
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