均值-方差模型下的VaR與CVaR限制比較

均值-方差模型下VaR和CVaR限制作用的投資組合選擇的對比研究GordonJ.AlexanderAlexandreM.Baptista1引言隨著VaR成為最流行的風(fēng)險度量工具，近些年風(fēng)險控制吸引了很多金融從業(yè)者和管理者

的注意力。舉例來說， Jorion,Linsemeier,Pearson,Alexander和Baptista,Hull,Chanee指出VaR已經(jīng)被公司財團(tuán)，交易人，基金經(jīng)理，金融機(jī)構(gòu)和管理廣泛應(yīng)用。與之相反，很多研究者言辭激烈的批評了作為風(fēng)險控制工具的 VaR。舉例來說，Artzneretal指出因為不滿足次可加性，VaR不是一個連續(xù)的風(fēng)險度量。即，兩個債券的組合的 VaR可能會大于各個債券VaR的和。Basak和Shapiro指出，如果在一個連續(xù)時間序列的開始部分選擇使用 VaR,與不使用VaR相比較，這個機(jī)構(gòu)將會承擔(dān)更大的風(fēng)險。因為上述的原因，這些研究者提出使用 CVaR而不是VaR。這篇文章中我們主要討論的問題有以下幾個： 1使用VaR作為風(fēng)險控制工具將會有什么樣的結(jié)果？2、這些結(jié)果與使用CVaR有什么不同？3、作為風(fēng)險控制工具，有哪些情況下CVaR可以支配VaR?為了找尋這些答案，我們查看一個周期的均值 -方差模型。在一些特定的情況下，相比較不使用VaR，VaR的使用會使slightlyrisk-averse選擇帶有更小標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。 可是，也存在一些情形，VaR會使得highlyrisk-averse選擇有較大標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。因為當(dāng)CVaR的邊界和VaR邊界重疊時，CVaR限制比VaR限制要嚴(yán)格這些組合選擇結(jié)果是真實的。因此，控制slightlyrisk-averseagent,CVaR限制比VaR更加有效，但是卻對highlyrisk-averse有著更加perverse的作用。可是當(dāng)組合中存在無風(fēng)險債券或者 CVaR的邊界大于VaR邊界的時候，這些perverse結(jié)果會被削弱甚至消除。 moreover,在后一種情形下，如果CVaR邊界被設(shè)定在一定水平下使得CVaR限制對highlyrisk-averse有同VaR限制一樣的perverse作用，那么相比較與VaR，CVaR限制會導(dǎo)致slightlyrisk-averse選擇帶有更小標(biāo)準(zhǔn)差的組合。如果CVaR邊界被設(shè)定在一個更高的水平使得 CVaR限制像VaR限制一樣降低了slightlyrisk-averse的最優(yōu)投資組合選擇，那么相比較與 VaR，CVaR限制將會允許highlyrisk-averse選擇帶有更小標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。因此，當(dāng)CVaR標(biāo)準(zhǔn)被設(shè)定在這兩個水平之間時，CVaR限制dominatesVaR限制作為風(fēng)險控制的工具。這篇文章是如下組織的：第二部分是均值-VaR、均值-CVaR邊界和有效前沿的特征。第三部分是使用VaR限制和CVaR限制下的投資組合選擇。第四部分是分析性的展現(xiàn)了兩種限制下的投資組合選擇標(biāo)準(zhǔn)差的差異和不同。第五部分考慮了存在無風(fēng)險債券的情況。第六部分是結(jié)論。所有的證明在附錄中給出了。2模型假設(shè)不存在無風(fēng)險債券，有n2的債券。R是期望收益率的向量， 是回報率的矩nX{XiRn: Xi1} R陣的協(xié)方差矩陣。 i1 為已經(jīng)定義明確的投資組合。 Rx最為X的任意回報率。E[Rx]， [Rx]分別為期望回報率和期望方差 。Fx?為Rx的累積分布函數(shù)假設(shè)一個投資期限和置信水平 (“2,1)，那么100%概率下VaR為1V[,Rx] F(1 )同理，那么100%概率下CVaR為L[,Rx] E{Rx|Rx V[,Rx]}假設(shè)投資組合中的債券回報率滿足獨立的正態(tài)分布。 (？)為標(biāo)準(zhǔn)累積正態(tài)分布函數(shù)。(?)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。z假設(shè)z 1(1 )，有(x)dx1從而V[,Rx]z[Rx]E[Rx]zx(x)dxk同理L[,Rx]k[Rx]E[Rx]，其中 1 ，kz2.1均值-VaR均值-CVaR邊界當(dāng)VaR,CVaR和方差作為風(fēng)險度量標(biāo)準(zhǔn)時，風(fēng)險 -回報邊界如下定義：ER,XE{xX:E[Rx]=E}對于任意的二廠-min_V[,Rx]R %定義1：當(dāng)且僅當(dāng)對于某些ER，x滿足xX(E) ，在100 %置信水平下，投資組合xX屬于均值-VaR邊界_ _min_L[,Rx]R %定義2：當(dāng)且僅當(dāng)對于某些ER，X滿足XX(E) ，在100%置信水平下，投資組合XX屬于均值-CVaR邊界

_ _min_ [,Rx]Rdnn0/定義3：當(dāng)且僅當(dāng)對于某些ER,x滿足 xX（E） ，在100%置信水平下，投資組合xX屬于均值-方差邊界在方差-VaR邊界的投資組合并不依賴 ，因此我們可以得出以下結(jié)論：因為Z 0，當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于方差 -均值邊界，它屬于均值-VaR邊界。k0因為 ，當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于方差 -均值邊界，它屬于均值-CVaR邊界。[Rx]（E[Rx]A/C）2彳21又Merton在1972年證明當(dāng)且僅當(dāng)x滿足1/C D/C ，投資組合x屬于均值-方差模型邊界。其中A|T1，B 丁 1，Cr 1I，DBCA2，IRn為n維單位向量。[Rx]2（E[RX]A/C）121D/C 的投資組合同時屬于均值 -VaR邊界和均值那么滿足1/C-CVaR邊界。2,.2均值-VaR,均值-CVaR的有效前沿定義4：當(dāng)且僅當(dāng)沒有xX使得E[R定義4：當(dāng)且僅當(dāng)沒有xX使得E[Rx]E[Rx]V[,R]XV[一個不等式是嚴(yán)格的），在100%的置信水平下,投資組合xX屬于均值-VaR有效前沿。E[R]E[Rx]L[,R]L[,Rx] 亠定義5：當(dāng)且僅當(dāng)沒有xX使得xx（至少其中一個不等式是嚴(yán)格的），在100%的置信水平下，投資組合xX屬于均值-CVaR有效前沿。X使得E[R]E[Rx][R][Rx] 亠定義6：當(dāng)且僅當(dāng)沒有xxx（至少其中一個不等式是嚴(yán)格的），在100%的置信水平下，投資組合xX屬于均值-方差有效前沿。2.2.1最小VaR投資組合和最小CVaR組合如果在100%置信水平下最小VaR的投資組合存在，那么他在均值 -方差有效前沿(證明：假設(shè)X是最小VaR的投資組合點，但是不在均值-方差有效前沿。由定義6,(證明：假設(shè)X是最小VaR的投資組合點，但是不在均值-方差有效前沿。由定義6,E[R。]E[R。][R。]存在投資組合點y，使得y xy叫，其中至少一個不等式是嚴(yán)格的。V[,R]V[從而有 y合存在，那么他在均值,R。]x，與假設(shè)矛盾。如果在-方差有效前沿。)100%置信水平下最小VaR的投資組同理，如果在100%置信水平下最小CVaR的投資組合存在,那么他在均值-方差有效前沿。XminV()在XminV()在100%置信水平下最小VaR的投資組合:在100%置信水平下方差最小的投資組合g,h是n維向量11g(1/D)[B(I)A()]h(1/D)[C( 1)A(1I)]命題1當(dāng)且僅當(dāng)Z■D/C，在100%置信水平下最小VaR的投資組合存在。如果z''D/C，那么XminV()h(E[Rxmin]d2/c2zD/C[Rxmin])V[ ,RxXminV()h(E[Rxmin]d2/c2zD/C[Rxmin])V[ ,RxminV()]C.Z2D/C)[Rxmin]-E[Rxmin]在選擇置信水平時要慎重，因為這關(guān)系到全局最小那么最小VaR不存在。VaR是否有解。如果.D/CxminL()表示100%置信水平下最小CVaR的投資組合。當(dāng)且僅當(dāng)k''D/C，在100%置信水平下最小CVaR的投資組合存在。xminL()gh(E[Rxmin]d2/c2[Rxmin])kD/CL[,RxminL(D/C)L[,RxminL(D/C)嘰卜E[Rxmin]kz因為k ，所以，當(dāng)最小VaR投資組合點存在時，最小CVaR投資組合點也存在。但是也有可能只有最小CVaR投資組合點存在。ER ]ER]XminV(ER ]ER]XminV() XminL(在100%置信水平下最小VaR的投資組合存在時,在100%置信水平下最小CVaR的投資組合存在時，E[RXminL（）]E[R柿]。2.2.2均值-VaR均值-CVaR的特點命題2（1）如果Z'D/C，那么在100%置信水平下不存在均值-VaR有效的投資組合；zJd/C x E[Rx]E[RXi（）]如果ZD/C，當(dāng)且僅當(dāng)投資組合？屬于均值-VaR邊界并且 ？ minv（）時，投資組合X在100%置信水平下是均值-VaR有效的（2）如果kD/C，那么在100%置信水平下不存在均值-CVaR有效的投資組合；k Jd/C x E[Rx]E[RX]如果kD/C，當(dāng)且僅當(dāng)投資組合？屬于均值-CVaR邊界并且 ？ （）時，投資組合x在100%置信水平下是均值-CVaR有效的corollary2最小方差的投資組合在任何置信水平下都不是均值 -VaR有效和均值-CVaR有效corollary3如果最小VaR的投資組合在100%置信水平下存在，那么它在 100%置信水平下也是均值-CVaR有效的corollary4如果k■D/C，那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿是空集；如果ZD/Ck，那么均值-VaR有效前沿是空集，但是均值-CVaR有效前沿是均值-方差有效前沿的一個非空真子集；如果z'D/C,當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合x屬于均值-CVaR有效前沿并且E[Rx]E[Rx.（）] x? m，那么？屬于均值-VaR有效前沿，i.e.均值-VaR有效前沿是均值-VaR有效前沿的一個非空真子集總而言之，如果kD/C，置信水平low；如果z、D/Ck，置信水平moderate;如果Z?‘D/C，置信水平high3VaRCVaR限制下的投資組合選擇VaR限制L Rl考慮VaR限制，rx，其中LRCVaR邊界。CVaR限制依賴于兩個參數(shù)：置信水平和CVaR邊界Lo從而有E[Rx]k[Rx]L,在均值-標(biāo)準(zhǔn)差二維空間中，滿足CVaR限制的投資組合k集合位于斜率為 ，截距為L的直線上或者上方。如果邊界降低，那么截距變大；如果置信水平升高，斜率變大。CVaR限制考慮CVaR限制V，RxV，其中VRVaR邊界。VaR限制依賴于兩個參數(shù)：置信水平和VaR邊界Vo從而有E[Rx]Z[Rx]V，為VaR限制和CVaR限制設(shè)定一個共同的置信水平 ，假設(shè)VaR和CVaR邊界重合（L=V）。因為kz,我們可以得到VaR限制與CVaR限制相似，但是CVaR限制斜率更大，限制性更強(qiáng)。因為為了使兩種限制等價，他們必須使用相同的邊界（VaR和CVaR邊界重，合即L=V）和不同的置信水平。對于給定置信水平 的kz|VaR限制，CVaR限制總有一個相對應(yīng)的 ，其中 ，使得’。在L=V的時候CVaR限制等價于VaR限制。現(xiàn)在我們討論在各種邊界情況下的，在 VaR限制和CVaR限制條件下的投資組合選擇。給定：如果LL[，Rxmin]，那么邊界為大；如果V['Rxmin]LL[，Rxmin]，那

么邊界為適中；如果V['Rxm”]L,那么邊界為小3.3低置信水平3.3.1保守投資者R如果是大邊界。因為無限制的最有投資組合位于 Rxmm，無論是施加VaR限制或者CVaR限制都不會改變投資組合選擇。R如果是適中邊界。假設(shè)無限制的最優(yōu)投資組合位于 Rxmin和C點之間。那么施加VaR限制不會改變投資組合選擇；但是，如果施加 CVaR限制，那么C點將會成為最優(yōu)投資組合。因此，CVaR限制下的最有投資組合標(biāo)準(zhǔn)差大于 VaR限制下的最有投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。如果是小邊界。假設(shè)無限制的最優(yōu)投資組合位于 Rxmin和f點之間。如果施加VaR限制，那么f會成為最優(yōu)投資組合；但是，如果施加CVaR限制，那么e點將會成為最優(yōu)投資組合。盡管兩種限制都會增大最優(yōu)組合的標(biāo)準(zhǔn)差，但是 CVaR限制下的最有投資組合標(biāo)準(zhǔn)差大于VaR限制下的最有投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。但是如果無限制的最優(yōu)投資組合位于 e和f點之間。只有施加CVaR限制才會導(dǎo)致保守投資者選擇 e.3.3.2風(fēng)險投資者R因為無限制的最有投資組合選擇在 1(a)位于xmin之上，在1(b)位于c之上,在1(c)位于e之上,因此無論施加那種限制都不會改變最有投資組合選擇。3.4中度置信水平

泊ndbfdlJJiviatjeI|a)Lar監(jiān)RmjbJ雲(yún)f(xié)R雖泊ndbfdlJJiviatjeI|a)Lar監(jiān)RmjbJ雲(yún)f(xié)R雖rdDe*^atyCEli(cj*SmallBeundSitae此rd _3.Qonibi-MoJcrawBound假設(shè)置信水平是中度的，那么存在投資組合滿足VaR限制。假設(shè)L['RXminL()1?那么也存在滿足CVaR限制的投資組合3.4.1保守投資者圖2說明了在中度置信水平下在 CVaR或者VaR限制下的投資組合選擇與低置信水平下是類似的?？墒菍τ谝粋€給定的邊界，當(dāng)最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差增加了， 這種增加大于在低置信水平下的增加3.4.2風(fēng)險投資者假設(shè)無限制條件下最優(yōu)投資組合在 g，以上，那么施加VaR限制不會改變最有投資組合選擇；但是如果施加CVaR限制，那么g將會被選擇成為最優(yōu)投資組合。因此，在 CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于 VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。3.5咼置信水平EFIeicI□(VaRandCi/jACoiisirairrfxanFUS工3呈F3tMk-l._§.W』FUS工3呈F3tMk-l._§.W』GcfnMP3!左xhaSl.irduanrwutiK>nWMciifcrhli?BoundScnil?rJDtviiliDnBound律二"EsaflsStlFUJlFlivSHHiii

inILor富Bound我們假設(shè)LL['R^lo】，那么存在滿足eVaR限制的投資組合。因為kZ，那么有L[,RXminL()]V[,RXminL()]V[^3()1。因此也存在滿足VaR限制的投資組合。3.5.1保守投資者圖3說明了在高度置信水平下在 CVaR或者VaR限制下的投資組合選擇與中低置信水平下是類似的?？墒菍τ谝粋€給定的邊界， 當(dāng)最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差增加了， 這種增加大于在中低置信水平下的增加3.5.2風(fēng)險投資者假設(shè)無限制條件下最優(yōu)投資組合在 n，和o,之間，那么施加VaR限制不會改變最有投資組合選擇；但是如果施加 CVaR限制，那么n，將會被選擇成為最優(yōu)投資組合。因此，只有CVaR限制能夠降低最有投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差， 在CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于 VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)無限制條件下的最優(yōu)投資組合選擇在 0,以上，如果施加VaR限制，那么0,會成為最有投資組合選擇；但是如果施加CVaR限制，那么n,將會被選擇成為最優(yōu)投資組合。因此，在CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。3.6CVaR邊界大于VaR邊界^JUndirdLkviatiC'EiInIEDikniLVjlRHcjMc!StazoudLkvklIiuhIIrlL'EtzuLijilLl^JUndirdLkviatiC'EiInIEDikniLVjlRHcjMc!StazoudLkvklIiuhIIrlL'EtzuLijilLl-4iKtl々LinJFigure1 ifVaHandCViRCunTiraiiittduHwEtficMNFrantiv^ivhvl II生巧“凸釦lh?VuRBudndUJUPEJo邑flaMz$-.￡Slarkl^rdUe%ijtjur:J>Minjtrona仁*VjKU<<ind就像上邊所提到的一樣，當(dāng)LV時，對于一個給定的置信水平,CVaR限制比VaR限制更加嚴(yán)格。因此，很自然的我們需要考慮 LV時的情況。與LV相比，當(dāng)LV時，我們只需將均值-標(biāo)準(zhǔn)差圖像中的CVaR圖線整體向下滑動。361保守投資者考慮圖像1（a）,2（a）,3（a）?當(dāng)CVaR限制線向下滑不會改變投資者感興趣的投資組合的集合。因此，對于大V,LV對于投資組合選擇沒有什么影響與之相反，考慮圖像1（b）,2（b）,3（b）?與LV相比，當(dāng)LV，CVaR限制可能會變得不再那么嚴(yán)格。如果LL[,Rxmin]，CVaR限制的最優(yōu)投資這組合標(biāo)準(zhǔn)差可能大于VaR限制的，但是小于當(dāng)LV時的CVaR限制標(biāo)準(zhǔn)差。如果LL['Rxmin]，那么CVaR限制的人最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差與 VaR限制的一樣，就好像兩個都沒有限制作用有時候CVaR限制作用可能比VaR弱一點。假設(shè)無限制條件下的最優(yōu)投資組合在 xmin和f之間（見圖1（c））。如果CVaR邊界大于f的CVaR,那么CVaR限制下的最有投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差?？偠灾绻鸏V，那么CVaR限制對于保守投資者的反常作用可以得到一定程度的削弱。3.6.2風(fēng)險投資者當(dāng)處于低置信水平的時候，CVaR限制的向下平移不會改變投資者的最優(yōu)投資組合選擇。當(dāng)處于中度置信水平的時候，則會出現(xiàn)其他的狀況。當(dāng) LV時的CVaR限制作用弱于當(dāng)LV。但是CVaR限制仍然比VaR限制更有作用，所以即使當(dāng) LV時，CVaR限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差仍然小于 VaR限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)處于高置信水平的時候，我們可以從圖 3（a）如果CVaR邊界大于0,的CVaR，那么CVaR的限制作用弱于VaR；如果CVaR邊界小于0,的CVaR，那么CVaR的限制作用強(qiáng)于VaR。因此，CVaR限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差可能小于，等于，大于 VaR限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差。總之，當(dāng)LV時，CVaR的限制作用有所削弱，甚至可以弱于VaR的限制作用。3.8總結(jié)總而言之，如果施加CVaR限制或者VaR限制，那么帶有較小標(biāo)準(zhǔn)差或者較大標(biāo)準(zhǔn)差的有效投資組合都有可能被排除掉。因此，與施加限制之前的最優(yōu)投資組合相比，限制后的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差可能會變大，變下或者不變。另外，沒有一種限制，無論是 CVaR還是VaR，能夠使得所有的投資者（包括風(fēng)險厭惡程度不同的保守投資者，風(fēng)險投資者，穩(wěn)健投資者）選擇比無風(fēng)險限制條件下最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差更小的投資組合。當(dāng)LV時，給定一個置信水平，CVaR限制強(qiáng)于VaR限制。作為保守投資工具，CVaR比VaR更加有效?？墒?，有時候CVaR起到反作用：它使得保守投資者選擇帶有更大標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。盡管作為風(fēng)險控制工具， VaR有時也會發(fā)生這種情況，但是CVaR的反作用更大，CVaR起到反作用的情況也更多見。因此使用CVaR作為風(fēng)險控制工具并不是萬無一失的，也是有代價的。當(dāng)LV時，上面提到的反作用會得到一定的削弱。另外，4（b）中的例子說明，相比較于VaR限制下投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差，CVaR有時可以同時使得保守投資者和風(fēng)險投資者選擇帶有更小標(biāo)準(zhǔn)差的投資組合。4限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差

在這一章，我們不需要假設(shè)分析性的表述在不同的限制下的最優(yōu)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差的差異。在這一章，我們不需要假設(shè)LV。4.1低置信水平k2DTC{k(Lk2DTC{k(LA/C)..D/C2[C(LA/C)2(k2 D/C)]}當(dāng)處于低置信水平時，圖1中均值-方差邊界上和VaR限制有唯一的交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是1V=z2D/C{z(VA/C).D/C2[C(VA/C)2(z2D/C)]}均值-方差邊界上和CVaR限制有唯一的交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是1D/C{z(VA/C)、D/C2[C(VA/C)21D/C{z(VA/C)、D/C2[C(VA/C)2(z2D/C)]}但是，均值-方差邊界上和CVaR限制有兩個交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是k2^{k(LA/C) D/C2[C(LA/C)2(k2D/C)]}k2航{k(LA/C),D/C2[C(LA/C)2(k2D/C)]}假設(shè)V作為焦點，對于保守投資者，那么限制下的最有投資組合的相對差異為4.2中度置信水平當(dāng)處于中度置信水平時，圖2中均值-方差邊界上和VaR限制有唯一的交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是當(dāng)處于中度置信水平時，圖假設(shè)V作為焦點，對于保守投資者，那么限制下的最有投資組合的相對差異為4.3高置信水平當(dāng)處于高置信水平時，圖3中均值-方差邊界上和VaR限制有兩個交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是V=^T^{z(VA/C)^D/C2[C(Va/C)2(z2D/C)]}

D/C{z(VA/C).D/C2[C(VA/C)2(z2D/C{z(VA/C).D/C2[C(VA/C)2(z2D/C)]}均值-方差邊界上和CVaR限制有兩個交點。它的標(biāo)準(zhǔn)差是(LA/C).D/C2[C(LA/C)2(k2 D/C)]}k2D/C{k(LA/C).D/C2[C(LA/C)2(k2D/C)]}假設(shè)v作為焦點，對于風(fēng)險投資者，那么限制下的最有投資組合的相對差異為V假設(shè) 作為焦點，對于風(fēng)險投資者，那么限制下的最有投資組合的相V對差異為4.4CVaR限制的使用現(xiàn)在我們來探究如何設(shè)定CVaR邊界使得CVaR限制能夠支配VaR限制。4.4.1最小CVaR邊界首先，設(shè)定CVaR邊界使得對于保守投資者來說，CVaR限制作用如同VaR限制。舉個例子來說，當(dāng)處于高置信水平時，需要找到合適的CVaR邊界值使得CVaR相交于VaR與最小期望回報率的投資組合即VaR限制與有效邊界的交點。這個邊界可以如下給出：LkvA/C.D/C(v21/C)圖4(c)給出了邊界為L的CVaR限制作用下的投資組合選擇。首先，假設(shè)保守投資者在無限制下的最優(yōu)投資組合在 y和m之間。無論施加那種限制，y都是最優(yōu)的投資組合選擇。然后，假設(shè)風(fēng)險投資者在無限制條件下的最優(yōu)投資組合在 丫和z之間。如果施加VaR限制，那么最優(yōu)投資組合不會改變，但是，如果施加 CVaR限制，那么y將會成為最優(yōu)投資組合。因此CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于 VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。最后，假設(shè)風(fēng)險投資者在無限制條件下的最優(yōu)投資組合 z之上。如果施加VaR限制，那么z將會成為最優(yōu)投資組合，但是，如果施加 CVaR限制，那么y將會成為最優(yōu)投資組合。因此CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于 VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。4.4.2最大CVaR邊界

首先，設(shè)定CVaR邊界使得對于風(fēng)險投資者來說，CVaR限制作用如同VaR限制。需要找到合適的CVaR邊界值使得CVaR相交于VaR與最大期望回報率的投資組合即VaR限制與有效邊界的交點。這個邊界可以如下給出:vA/CD/C(vA/CD/C(v1/C)圖4(a)給出了邊界為L的CVaR限制作用下的投資組合選擇。首先，假設(shè)保守投資者在無限制的條件下的最優(yōu)投資這組合位于u和m之間。如果施加VaR限制，那么u將會成為最優(yōu)投資組合；如果施加CVaR限制，那么最優(yōu)投資組合不變。因此CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。然后，考慮風(fēng)險投資者在無條件限制的情況下最優(yōu)投資組合在 u，之上，無論哪種限制都會選擇u,作為最優(yōu)投資組合選擇。4.4.3總結(jié)當(dāng)CVaR邊界適當(dāng)?shù)拇笠恍┦沟肰LLL，那么在部分的情況下，CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于 VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)在意識到以下的平衡點時施加 VaR限制：1設(shè)定的小VaR邊界能夠有效地控制保守投資但是對于風(fēng)險投資有反作用；2設(shè)定的大VaR邊界不能夠有效地控制保守投資但是對于風(fēng)險投資有反作用也不明顯；因此假設(shè)設(shè)定 VaR邊界為一個中間值，我們已經(jīng)看到 CVaR限制能夠支配VaR限制使得對于保守投資者和風(fēng)險投資者都有 CVaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差小于VaR限制下的最優(yōu)投資組合標(biāo)準(zhǔn)差。因此，只有 CVaR邊界適當(dāng)?shù)谋萔aR邊界大一些，作為風(fēng)險控制工具， CVaR可以比VaR更加有效。5增加無風(fēng)險債券Figura6EHeddIUa>R星廚ClfaRCanxlramlionlheEKcieitFiiHlierwIibhFigura6EHeddIUa>R星廚ClfaRCanxlramlionlheEKcieitFiiHlierwIibhThereliaRisk-FfHSecuviLfStjhdjrJD^'iuluinib)MrdcrstctdciKcLevelSuikiindDaiuMm(c)Hight<HifidcTK€Level假設(shè)現(xiàn)有一回報率為Rf的無風(fēng)險債券。投資組合定義為X假設(shè)現(xiàn)有一回報率為Rf的無風(fēng)險債券。投資組合定義為Xf{xRn1jlXj1}，其中Xn1表示資產(chǎn)投資于無風(fēng)險債券的比例。5.1均值-VaR和均值-CVaR的邊界和有效前沿假設(shè)RfA/C或者說在沒有無風(fēng)險債券的情況下臨界投資組合位于最小方差投資組合之上。Merton證明了當(dāng)且僅當(dāng)x滿足[Rx]{E[Rx]R[Rx]{E[Rx]RfifE[Rx]E[R<]RfifE[Rx]RfRf時,xXf屬于均值-方差邊界。其中HCRf2ARfB是一個正常值。-方差邊界時，它才屬于均值-VaR邊界。--方差邊界時，它才屬于均值-VaR邊界。-方差邊界時，它才屬于均值-CVaR邊界。k0因為 ，所以當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于均值以下是均值-VaR有效性的特征：proposition3:1如果ZH，那么在100%的置信水平下不存在均值-VaR有效地投資組合；2ZH，那么在100%的置信水平下當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于均值 -方差有效前沿時它才屬于均值-VaR有效前沿同理1如果k'H，那么在100%的置信水平下不存在均值-CVaR有效地投資組合；2kH，那么在100%的置信水平下當(dāng)且僅當(dāng)一個投資組合屬于均值 -方差有效前沿時它才屬于均值-CVaR有效前沿corollary5:1如果k'H，那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿是空集；2如果k'HZ，那么均值-VaR的有效前沿是空集，但是均值-CVaR有效前沿與均值-方差有效前沿重合;

3如果'HZ3如果'HZ,那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿與均值-方差有效前沿重合;kH，那么置信水平是低的；如果在存在無風(fēng)險債券的情況下：如果kHz那么置信水平是適中的；如果 'Hz，那么置信水平是高的5.2在VaRCVaR限制下的投資組合選擇Rf假設(shè)一個投資機(jī)構(gòu)面對VaR和CVaRRf擇和VaRCVaR限制下的最優(yōu)投資組合選擇。假設(shè)5.2.1低置信水平因