江蘇徐州侯集高級(jí)中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若直線y＝﹣x+1的傾斜角為，則A． B．1 C． D．2．不等式的解集是A． B．C．或 D．3．在面積為S的平行四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，則三角形PBD的面積大于的概率為（）A． B． C． D．4．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則（）A．8 B．16 C．24 D．485．我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽，創(chuàng)立了用圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積的方法，稱為“割圓術(shù)”，為圓周率的研究提供了科學(xué)的方法.在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自圓內(nèi)接正十二邊形外的概率為A． B．C． D．6．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則的值為()A． B．1 C．3 D．67．如圖，在中，，用向量，表示，正確的是A． B．C． D．8．設(shè)是異面直線，則以下四個(gè)命題：①存在分別經(jīng)過(guò)直線和的兩個(gè)互相垂直的平面；②存在分別經(jīng)過(guò)直線和的兩個(gè)平行平面；③經(jīng)過(guò)直線有且只有一個(gè)平面垂直于直線；④經(jīng)過(guò)直線有且只有一個(gè)平面平行于直線，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．10．若向量與向量不相等，則與一定（）A．不共線 B．長(zhǎng)度不相等 C．不都是單位向量 D．不都是零向量二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．12．在中，，則______．13．向邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)隨機(jī)投粒豆子，其中粒豆子落在到正方形的頂點(diǎn)的距離不大于的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影區(qū)域），由此可估計(jì)的近似值為______.（保留四位有效數(shù)字）14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.15．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則公比________.16．設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知三棱柱中,三個(gè)側(cè)面均為矩形,底面為等腰直角三角形,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng).（1）求證；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離；（3）在（2）的條件下，試確定線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說(shuō)明理由.18．在等差數(shù)列{}中，=3，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，=1，公比為q,且b2+S2=12，．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{}滿足，求{}的前n項(xiàng)和．19．從半徑為1的半圓出發(fā)，以此向內(nèi)、向外連續(xù)作半圓，且后一個(gè)半圓的直徑為前一個(gè)半圓的半徑，如此下去，可得到無(wú)數(shù)個(gè)半圓．（1）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的周長(zhǎng)；（2）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的面積．20．在國(guó)內(nèi)汽車市場(chǎng)中，國(guó)產(chǎn)SUV出現(xiàn)了持續(xù)不退的銷售熱潮，2018年國(guó)產(chǎn)SUV銷量排行榜完整版已經(jīng)出爐，某品牌車型以驚人的銷量成績(jī)擊退了所有虎視眈眈的對(duì)手，再次霸氣登頂，下面是該品牌國(guó)產(chǎn)SUV分別在2017年與2018年7～11月份的銷售量對(duì)比表時(shí)間7月8月9月10月11月2017年（單位：萬(wàn)輛）2.83.93.54.45.42018年（單位：萬(wàn)輛）3.83.94.54.95.4（Ⅰ）若從7月至11月中任選兩個(gè)月份，求至少有一個(gè)月份這兩年該國(guó)產(chǎn)品牌SUV銷量相同的概率．（Ⅱ）分別求這兩年7月至11月的銷售數(shù)據(jù)的平均數(shù)，并直接判斷哪年的銷售量比較穩(wěn)定．21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）試寫出數(shù)列的任意前后兩項(xiàng)（即、）構(gòu)成的等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由題意利用直線的方程先求出它的斜率，可得它的傾斜角α，再利用特殊角的余弦值求得cosα．【詳解】∵直線y＝﹣x+1的斜率為﹣1，故它的傾斜角為α＝135°，則cosα＝cos135°＝﹣cos45°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，特殊角的余弦值，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】試題分析：∵，∴，即，∴不等式的解集為．考點(diǎn)：分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式．3、A【解析】

轉(zhuǎn)化條件求出滿足要求的P點(diǎn)的范圍，求出面積比即可得解.【詳解】如圖，設(shè)P到BD距離為h，A到BD距離為H，則，，滿足條件的點(diǎn)在和中，所求概率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個(gè)頂角為，腰為1的等腰三角形，求得十二邊形的面積，利用面積比的幾何概型，即可求解.【詳解】由題意，半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個(gè)頂角為，腰為1的等腰三角形，所以該正十二邊形的面積為，由幾何概型的概率計(jì)算公式，可得所求概率，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計(jì)算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力.6、C【解析】

設(shè)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，然后再求函數(shù)值．【詳解】設(shè)，由題意，，即，∴．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

由得，再由向量的加法得，最后把代入，求得答案.【詳解】因?yàn)?，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，考查平面向量基本定理在圖形中的應(yīng)用.8、C【解析】對(duì)于①：可以在兩個(gè)互相垂直的平面中，分別畫一條直線，當(dāng)這兩條直線異面時(shí)，可判斷①正確對(duì)于②：可在兩個(gè)平行平面中，分別畫一條直線，當(dāng)這兩條直線異面時(shí)，可判斷②正確對(duì)于③：當(dāng)這兩條直線不是異面垂直時(shí)，不存在這樣的平面滿足題意，可判斷③錯(cuò)誤對(duì)于④：假設(shè)過(guò)直線a有兩個(gè)平面α、β與直線b平行，則面α、β相交于直線a，過(guò)直線b做一平面γ與面α、β相交于兩條直線m、n，則直線m、n相交于一點(diǎn)，且都與直線b平行，這與“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，所以假設(shè)不成立，所以④正確故選：C．9、D【解析】連結(jié)，∵，

∴是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），

∵在直三棱柱中，，，，

∴，，，，

∴，

∴異面直線與所成角的余弦值為，故選D.10、D【解析】

由方向相同且模相等的向量為相等向量，再逐一判斷即可得解.【詳解】解：向量與向量不相等，它們有可能共線、有可能長(zhǎng)度相等、有可能都是單位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了相等向量的定義，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【解析】

將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.12、【解析】

由已知求得，進(jìn)一步求得，即可求出．【詳解】由，得，即，，則，，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查應(yīng)用兩角和的正切公式作三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值．13、3.1【解析】

根據(jù)已知條件求出滿足條件的正方形的面積，及到頂點(diǎn)的距離不大于1的區(qū)域（圖中陰影區(qū)域）的面積比值等于頻率即可求出答案．【詳解】依題意得，正方形的面積，陰影部分的面積，故落在到正方形的頂點(diǎn)的距離不大于1的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影區(qū)域）的概率，隨機(jī)投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的頂點(diǎn)的距離不大于1的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影區(qū)域）的頻率為：，即有：，解得：，故答案為3.1．【點(diǎn)睛】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，最后根據(jù)求解．利用頻率約等于概率，即可求解。14、【解析】

令，解得的范圍即為所求的單調(diào)區(qū)間.【詳解】令，，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題，關(guān)鍵是能夠采用整體對(duì)應(yīng)的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來(lái)進(jìn)行求解.15、【解析】

利用等比中項(xiàng)可求出，再由可求出公比.【詳解】因?yàn)?，，所以，，解?【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】令三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）；（3）存在，為中點(diǎn).【解析】

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），要證A1C⊥AE，可證,只需證明，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可證明；（2）分別求出平面EA1D、平面A1DB的一個(gè)法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對(duì)值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的條件下，設(shè)F（x，y，0），可知與平面A1DB的一個(gè)法向量平行，由此可求出點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而求出||，即得答案.【詳解】（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因?yàn)椋?+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），設(shè)＝（x，y，z）為平面EA1D的一個(gè)法向量，則即，取＝（2，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），設(shè)＝（x，y，z）為平面A1DB的一個(gè)法向量，則，即，?。剑?，﹣1，2），由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為，得||＝，解得m＝1，平面A1DB的一個(gè)法向量＝（1，﹣1，2），根據(jù)點(diǎn)E到面的距離為：.（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）為平面A1DB的一個(gè)法向量，設(shè)F（x，y，0），則＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，所以＝（﹣1，1，﹣2），＝＝，故EF的長(zhǎng)度為，此時(shí)點(diǎn)F（0，1，0）．存在F點(diǎn)為AC中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查重點(diǎn)考查直線與平面垂直的性質(zhì)、二面角的平面角及其求法、空間點(diǎn)、線、面間距離計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力．18、（1），；（2）.【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列{}中，=1，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，=1，公比為q,且b2+S2=12，，設(shè)出基本元素，得到其通項(xiàng)公式；（2）由于，所以，那么利用裂項(xiàng)求和可以得到結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)：{}的公差為,因?yàn)?，所以，解?1或=-4（舍）,=1．故，；（2）因?yàn)楣?本題主要是考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，以及數(shù)列求和的綜合運(yùn)用.19、（1）（2）【解析】

（1）由第n個(gè)半圓的周長(zhǎng)得，再利用無(wú)窮等比數(shù)列求和即可（2）由第n個(gè)半圓的面積得，再利用無(wú)窮等比數(shù)列求和即可【詳解】（1）由題意知，圓的半徑滿足數(shù)列，設(shè)第n個(gè)半圓的周長(zhǎng)為，所以，則所有這些半圓圍成的封閉圖形的周長(zhǎng).（2）題意知，設(shè)第n個(gè)半圓的面積為，則，所以所有這些半圓圍成的封閉圖形的面積將為.【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)窮等比數(shù)列的和，注意圓的半徑為等比數(shù)列，是周長(zhǎng)及面積的考查，是基礎(chǔ)題20、（Ⅰ）；（Ⅱ），，年銷售量更穩(wěn)定.【解析】

（Ⅰ）列舉出所有可能的情況，在其中找到至少一個(gè)月份兩年銷量相同的情況，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式分別計(jì)算出兩年銷量的平均數(shù)與方差；由可得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）從月至月中任選兩個(gè)月份，記為，所有可能的結(jié)果為：，，，，，，，，，，共種情況記事件為“至少有一個(gè)月份這兩年國(guó)產(chǎn)品牌銷量相同”，則有：，，，，，，，共種情況，即至少有一個(gè)月份這兩年國(guó)產(chǎn)品牌銷量相同的概率為（Ⅱ）年銷售數(shù)據(jù)平均數(shù)為：方差年銷售數(shù)據(jù)平均數(shù)為：方差年的銷售量更穩(wěn)定【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解、計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)、利用方差評(píng)估數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的問題；處理古典概型問題的關(guān)鍵是通過(guò)列舉的方式得到所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事