初中數(shù)學(xué)：《一元二次方程》大單元教學(xué)設(shè)計(jì)

初中數(shù)學(xué)

一元二次方程大單元教學(xué)設(shè)計(jì)1:課標(biāo)分析3:學(xué)習(xí)目標(biāo)4:單元整體規(guī)劃5:教學(xué)過(guò)程2:教材分析

“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語(yǔ)言，初中階段關(guān)注用字母表述代數(shù)式，以及代數(shù)式的運(yùn)算，字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算和推理，通過(guò)字母運(yùn)算和推理得到的結(jié)論具有一般性.

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀和運(yùn)算能力。1:課標(biāo)分析

本章的具體要求：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)一元二次方程；會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等；了解一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系；能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解得合理性。

本單元屬于“數(shù)與代數(shù)”中方程與不等式的內(nèi)容，是魯教版八年級(jí)下冊(cè)第八章，也是初中學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”研究的重要內(nèi)容之一.本單元共包括7節(jié)，具體內(nèi)容包括一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的應(yīng)用.2:教材分析

這些內(nèi)容既是對(duì)代數(shù)式、一元一次方程、二元一次方程組和可以化為一元一次方程的分式方程、因式分解、實(shí)數(shù)、二次根式的鞏固、加深和發(fā)展，又是今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ).因此，本單元內(nèi)容在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有承上啟下的重要地位，同時(shí)，本單元內(nèi)容也是解決物理等其他學(xué)科問(wèn)題的重要工具。2：教材分析一元二次方程的縱向聯(lián)系單元數(shù)學(xué)要素六年級(jí)上冊(cè)第三章整式及其加減中的代數(shù)式六年級(jí)上冊(cè)第四章一元一次方程七年級(jí)上冊(cè)第四章實(shí)數(shù)七年級(jí)下冊(cè)第七章二元一次方程組八年級(jí)上冊(cè)第一章因式分解八年級(jí)下冊(cè)第七章二次根式九年級(jí)上冊(cè)第三章二次函數(shù)二次根式的橫向聯(lián)系

本章在呈現(xiàn)方式上：1、通過(guò)豐富的實(shí)例，如“地毯四周有多寬”“梯子的底端滑動(dòng)多少米”等問(wèn)題，建立一元二次方程，讓學(xué)生通過(guò)觀察歸納出一元二次方程的有關(guān)概念，從中體會(huì)方程的模型思想。教材的呈現(xiàn)方式2、在第二至四節(jié)探索方程解法的過(guò)程中，并未單純地進(jìn)行解方程的訓(xùn)練，而是適當(dāng)設(shè)計(jì)一些應(yīng)用題，并在三種解法之后又安排了有關(guān)的應(yīng)用內(nèi)容。

1.經(jīng)歷從具體情境中抽象出一元二次方程的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.3：學(xué)習(xí)目標(biāo)

2.理解一元二次方程及其相關(guān)概念，理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，并在解一元二次方程的過(guò)程中體會(huì)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。3.會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)數(shù)根和兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否相等。4.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題。1、一元二次方程及其它們有關(guān)的概念。2、用配方法、公式法、因式分解降次解一元二次方程。3、利用實(shí)際問(wèn)題建立一元二次方程的模型，并解決這個(gè)問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)

一元二次方程配方法解題；用公式法解一元二次方程時(shí)的討論；一元二次方程根的判別式；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；建立一元二次方程實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

在設(shè)計(jì)思路上，本章遵循了“問(wèn)題情境——建立模型——拓展、應(yīng)用”的模式，首先通過(guò)具體問(wèn)題情境建立有關(guān)方程，并歸納出一元二次方程的有關(guān)概念，然后探索其各種解法，并在現(xiàn)實(shí)情境中加以應(yīng)用，切實(shí)提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力。設(shè)計(jì)思路

4、單元整體規(guī)劃單元課時(shí)規(guī)劃教學(xué)過(guò)程

課型課時(shí)課時(shí)目標(biāo)學(xué)習(xí)內(nèi)容任務(wù)活動(dòng)

課時(shí)作業(yè)導(dǎo)讀課（10分鐘）學(xué)生明確單元主題及本單元學(xué)習(xí)目標(biāo)，明晰單元結(jié)構(gòu)化活動(dòng).能說(shuō)出單元主題和本單元需要完成的任務(wù).單元結(jié)構(gòu)化活動(dòng)框架圖8.1一元二次方程1.通過(guò)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.明確一元二次方程的定義，并能判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程;2.經(jīng)歷估計(jì)方程解的過(guò)程，體會(huì)“二分法”估計(jì)方程近似解的無(wú)限逼近思想一元二次方程的定義；會(huì)化一般式；會(huì)找二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)；估計(jì)一元二次方程的解；二分法1.觀察例題中方程有何共同特征?類(lèi)比一元一次方程的定義歸納總結(jié)出一元二次方程的定義.2.把方程化為一般式,并指出它的二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)3.閱讀課本,同桌說(shuō)一說(shuō)如何估計(jì)一個(gè)方程的根課本第52頁(yè)第2、3題教學(xué)過(guò)程

課型課時(shí)課時(shí)目標(biāo)學(xué)習(xí)內(nèi)容任務(wù)活動(dòng)

課時(shí)作業(yè)8.2用配方法解一元二次方程1能直接用開(kāi)平方法解方程;能說(shuō)出配方法的定義,了解配方法解一元二次方程的步驟；會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)為1的一元二次方程；直接開(kāi)平方法；會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)為1的一元二次方程；1.閱讀課本觀察與思考，總結(jié)出配方法的一般步驟，并根據(jù)平方根意義解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程2.根據(jù)等式的基本性質(zhì)，將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1.3.將一元二次方程化為一般式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，利用配方法解一般形式的一元二次方程.用含a、b、c的式子表示方程的根課本第61頁(yè)第1、2題教學(xué)過(guò)程

課型課時(shí)課時(shí)目標(biāo)學(xué)習(xí)內(nèi)容任務(wù)活動(dòng)

課時(shí)作業(yè)8.3用公式法解一元二次方程通過(guò)小組合作求根公式的探究，能夠推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式；用公式法解數(shù)字系數(shù)一元二次方程將一元二次方程化為一般式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，利用配方法解一般形式的一元二次方程.用含a、b、c的式子表示方程的根課本第67頁(yè)第1、2題教學(xué)過(guò)程

課型課時(shí)課時(shí)目標(biāo)學(xué)習(xí)內(nèi)容任務(wù)活動(dòng)

課時(shí)作業(yè)8.4用因式分解法解一元二次方程通過(guò)探究，學(xué)會(huì)用因式分解法解特殊的一元二次方程；通過(guò)因式分解法解一元二次方程，體會(huì)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。會(huì)用因式分解法解特殊的一元二次方程；會(huì)用因式分解法解一元二次方程，。提公因式法；（公因式是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式）十字相乘法課本第70頁(yè)第1、2題8.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.感悟一元二次方程的根的判別式的產(chǎn)生的過(guò)程，能運(yùn)用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理；2.會(huì)運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍；1.能運(yùn)用根的判別式，判別方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理；2.能運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍；觀察求根公式，根的情況與什么有關(guān)？小組討論并總結(jié)根的情況5.不解方程，判斷數(shù)字系數(shù)方程根的情況；根據(jù)根的判別式，求字母系數(shù)的取值范圍課本第72頁(yè)第1、2、3題教學(xué)過(guò)程

課型課時(shí)課時(shí)目標(biāo)學(xué)習(xí)內(nèi)容任務(wù)活動(dòng)

課時(shí)作業(yè)8.6一元二次方程的應(yīng)用1.能根據(jù)題意找出正確的等量關(guān)系。2.能正確的列出一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，并能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。3.經(jīng)歷列方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和能力。面積問(wèn)題；增長(zhǎng)率問(wèn)題；利潤(rùn)問(wèn)題；根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，列出方程，總結(jié)列一元二次方程的一般步驟是什么？應(yīng)注意什么問(wèn)題？課本第77頁(yè)第1、2題一元二次方程的概念及解法1．一元二次方程的概念：只含有①一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是②2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是③ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．【注意】對(duì)于方程ax2＋bx＋c＝0，只有當(dāng)④a≠0時(shí)才是一元二次方程．如果說(shuō)ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，那么必然隱含著⑤a≠0．2．一元二次方程的解法：一元二次方程根的判別式1．根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可由⑧b2－4ac來(lái)判定，我們將⑨b2－4ac稱(chēng)為根的判別式．2．判別式與根的關(guān)系：(1)b2－4ac＞0?方程有兩個(gè)⑩不相等的實(shí)數(shù)根；(2)b2－4ac＝0?方程有兩個(gè)?相等的實(shí)數(shù)根；(3)b2－4ac＜0?方程?沒(méi)有實(shí)數(shù)根．3．關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0.(1)若有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是5；(2)若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k＜5且k≠1；(3)若沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k＞5；(4)若有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≤5且k≠1．【變式提問(wèn)】若關(guān)于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≤5．【易錯(cuò)提示】在使用根的判別式解決問(wèn)題時(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母，那么要加上二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)限制條件．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則有：x1＋x2＝?－，x1x2＝?．一元二次方程的解與系數(shù)a，b，c的關(guān)系(1)當(dāng)c＝0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解為x＝0；(2)當(dāng)a＋b＋c＝0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解為x＝1；(3)當(dāng)a－b＋c＝0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解為x＝－1.一元二次方程根的判別式；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

典型例題已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.(1)求證：無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)根的判別式得出Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋9＞0，據(jù)此可得答案；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2，代入x1＋x2＋3x1x2＝1得出關(guān)于m的方程，解之可得答案．【自主解答】解：(1)證明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9＞0，∴無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2.由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1.解得m＝8.一元二次方程的應(yīng)用常見(jiàn)類(lèi)型及其關(guān)系式1．增長(zhǎng)率問(wèn)題：設(shè)基礎(chǔ)量是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a(1＋x)；第二次增長(zhǎng)后為a(1＋x)2．若增長(zhǎng)兩次后的量為b，則有a(1＋x)2＝b．練習(xí)：1、某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為81元．已知兩次降價(jià)的百分率都為x，那么x滿(mǎn)足的方程是100(1－x)2＝81；2、某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件100萬(wàn)個(gè)，九月份生產(chǎn)零件196萬(wàn)個(gè)，設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，則x滿(mǎn)足的方程是100(1＋x)2＝196．一元二次方程的應(yīng)用2．面積問(wèn)題如圖，長(zhǎng)為a，寬為b的矩形ABCD的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形后做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則該盒子的底面積S＝(a－2x)(b－2x)1．春節(jié)期間x個(gè)老同學(xué)聚會(huì)．(1)若每?jī)蓚€(gè)人都握一次