平面機構(gòu)的運動分析

PAGEPAGE49平面機構(gòu)的運動分析內(nèi)容提要本章主要介紹機構(gòu)運動分析的目的和方法，重點介紹了三種機構(gòu)運動分析方法，即重點介紹了三種機構(gòu)運動分析方法，即速度瞬心法、相對運動圖解法和解析法。3.1機構(gòu)運動分析的目的和方法3.1.1機構(gòu)運動分析的目的機構(gòu)運動分析是在不考慮外力的作用和構(gòu)件的彈性變形，以及運動副間隙對機構(gòu)運動影響的情況下，根據(jù)已知機構(gòu)的運動簡圖和原動件的運動規(guī)律，求解機構(gòu)中其他構(gòu)件的位移（角位移）、速度（角速度）和加速度（角加速度）等運動參數(shù)。機構(gòu)的運動分析是了解機械的運動性能的依據(jù)，對正確地了解與應(yīng)用機構(gòu)的運動性能和校核所設(shè)計的機構(gòu)是否滿足設(shè)計要求有重要的作用。3.1.2機構(gòu)運動分析的方法機構(gòu)運動分析的方法主要有圖解法和解析法，圖解法又分為相對運動圖解法和速度瞬心法。圖解法對簡單的平面機構(gòu)設(shè)計具有形象、直觀、圖解過程簡單易行等特點，是運動分析的基本方法，但精度不高，而且對機構(gòu)的一系列位置進行分析時，需反復(fù)作圖而顯得繁瑣。解析法需根據(jù)機構(gòu)中的已知參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，然后借助計算機進行求解，它不僅可方便地對機構(gòu)進行一個運動循環(huán)過程的研究，而且還便于把機構(gòu)分析和綜合問題聯(lián)系起來，以求得最優(yōu)方案。由于解析法具有較高的精度，現(xiàn)在被廣泛使用。本章將對上述兩種方法在平面機構(gòu)運動分析中的運用分別加以介紹。3.2用速度瞬心法對機構(gòu)進行速度分析3.2.1速度瞬心及機構(gòu)中速度瞬心的數(shù)目作平面相對運動的兩構(gòu)件，在任一瞬時位置其相對運動均可看作是繞某一重合點的相對轉(zhuǎn)動。該重合點即為相對轉(zhuǎn)動中心，稱為速度瞬心（instantaneouscenterofvelocity），簡稱瞬心。構(gòu)件i、j之間的瞬心用符號表示。因此，兩構(gòu)件在瞬心點處的相對速度為零，其絕對速度相等。若瞬心的絕對速度為零，則稱為絕對瞬心（absoluteinstantaneouscenter），運動構(gòu)件與機架之間的瞬心即為絕對瞬心。若瞬心的絕對速度不為零，則稱為相對瞬心，兩運動構(gòu)件之間的瞬心即為相對瞬心（relativeinstantaneouscenter）。因為機構(gòu)中每兩個構(gòu)件間就有一個瞬心，所以有N個構(gòu)件組成的機構(gòu)，其總的瞬心數(shù)K為 （3-1）3.2.2機構(gòu)中速度瞬心的確定1．通過運動副直接相連的兩構(gòu)件間的瞬心通過運動副直接相連的兩構(gòu)件間的瞬心可以通過直接觀察即可確定。（1）以轉(zhuǎn)動副相連接的兩構(gòu)件的瞬心在轉(zhuǎn)動副的中心處。如圖3-1a所示的構(gòu)件1和構(gòu)件2的瞬心就在兩構(gòu)件的轉(zhuǎn)動副的中心處。（2）以移動副相連接的兩構(gòu)件間的瞬心位于垂直于導(dǎo)路方向的無窮遠處，如圖3-1b所示的位于垂直于構(gòu)件1和構(gòu)件2所構(gòu)成的移動副導(dǎo)路方向的無窮遠處。（3）以平面高副相連接的兩構(gòu)件間的瞬心，當(dāng)高副兩元素作純滾動時就在接觸點處，如圖3-1c所示的即為構(gòu)件1和構(gòu)件2的接觸點；當(dāng)高副兩元素間有相對滑動時，則在過接觸點兩高副元素的公法線上，如圖3-1d所示的構(gòu)件1和構(gòu)件2之間存在相對滑動速度，則二者的瞬心就位于法線n-n上。不過因為滾動和滑動的數(shù)值尚不知，所以還不能確定它是在法線上的那一點。（a）（b）（c）（d）圖3-1觀察法確定速度瞬心2．不直接相連的兩構(gòu)件的瞬心不直接相連的兩構(gòu)件間的瞬心位置，可借助三心定理來確定。所謂三心定理（Kennedy-Aroundtheorem），即三個彼此作平面運動的構(gòu)件的三個瞬心必位于同一直線上。如圖3-2所示構(gòu)件l、2、3彼此作相對平面運動，它們之間共有三個瞬心、、。其中、分別在構(gòu)件1、3和2、3之間轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)動中心、處，而不直接通過運動副相連的兩構(gòu)件1、2之間的瞬心必位于、的連線上。有了直接觀察法和三心定理便可確定機構(gòu)的全部瞬心位置。但對多桿機構(gòu)，構(gòu)件越多，瞬心數(shù)目就越多，求解不大方便。為此，下面提出用瞬心多邊形和上述兩種方法相結(jié)合來求取瞬心。具體求法如下：圖3-2三心定理（1）先畫一個圓，然后按照機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)分割該圓，并在分割點上依次（順時針或逆時針）標(biāo)注構(gòu)件號。（2）通過直接觀察法求瞬心。將能直接觀察求出瞬心位置的兩構(gòu)件的分割點用實線相連，則此實線即代表已知的該兩構(gòu)件間的瞬心。（3）觀察在圓中尚未連線的分割點，將能連成兩個三角形的公共邊的點用虛線連接，則此虛線就代表可求取的未知瞬心。（4）在有公共邊的兩個三角形中，每個三角形的3條邊代表3個構(gòu)件的3個瞬心。根據(jù)三心定理，這3個瞬心必在同一直線上?，F(xiàn)在三角形除公共虛邊以外的另外兩個邊代表的2個瞬心已知，在機構(gòu)圖上用直線連接這兩個邊代表的已知瞬心，則公共虛邊代表的未知瞬心必定位于這一直線上。這樣，兩個三角形的各個已知兩邊代表的兩個已知瞬心共作出2條直線，2條直線的交點就是公共虛邊代表的未知瞬心。（5）確定公共虛邊代表的未知瞬心后，公共虛邊可畫成實邊，重復(fù)前述步驟，可以確定其他待求的未知瞬心。【例3-1】如圖3-3所示為一鉸鏈四桿機構(gòu)，試確定該機構(gòu)全部瞬心的位置。（a）（b）圖3-3鉸鏈四桿機構(gòu)瞬心的確定解：該機構(gòu)瞬心的數(shù)目為 ，分別為、、、、、。其中，直接觀察可得到瞬心、、、分別在轉(zhuǎn)動副A、B、C、D的回轉(zhuǎn)中心。和則需借助于三心定理確定，由于構(gòu)件1、2、3的三個瞬心、、應(yīng)位于同一條直線上，構(gòu)件1、4、3三個瞬心、P34、也應(yīng)位于同一條直線上，因此兩直線的交點即瞬心；同理，直線和的交點即瞬心?；顒訕?gòu)件1、2、3與機架4之間的瞬心、、為絕對瞬心，而活動構(gòu)件之間的瞬心、、則為相對瞬心。利用三心定理求瞬心時，為了迅速準確地找到其位置，有兩種方法：其一是“下標(biāo)同號消去法”，如圖3-3所示，一定在、的連接線上，也一定在、的連接線上，兩線的交點即。一條直線上的三個瞬心，其中一個的下標(biāo)一定是另外兩個消去相同下標(biāo)后的組合。其二是“瞬心多邊形法”，如圖3-3左上角所示，以構(gòu)件編號表示多邊形的頂點，任意兩頂點的連線表示相應(yīng)兩構(gòu)件的瞬心。首先把直接成副的兩構(gòu)件瞬心、、、，在瞬心多邊形中連成實線，把待求的不直接成副的兩構(gòu)件瞬心、連成虛線。根據(jù)三心定理，在瞬心多邊形中，任意三角形的三條邊所代表的三個瞬心均共線。因此，求未知瞬心時，可在瞬心多邊形中找到以代表該瞬心的虛線為公共邊的兩個三角形，在機構(gòu)圖中作出相應(yīng)的兩條直線，其交點即為所求。例如，代表未知瞬心P13的虛線是和的公共邊，所以它既與、共線又與、共線，連接、和、，其交點為。利用瞬心多邊形，特別有助于確定構(gòu)件數(shù)目較多的機構(gòu)的瞬心。3.3.3瞬心在機構(gòu)速度分析中的應(yīng)用下面舉例說明利用速度瞬心對機構(gòu)進行速度分析的方法。1．求線速度【例3-2】如圖3-4所示的凸輪機構(gòu)，已知各構(gòu)件的尺寸和凸輪轉(zhuǎn)速，求推桿2的速度。解：首先通過直接觀察求得瞬心和，然后根據(jù)三心定律和公法線n-n求得瞬心的位置。由此求得瞬心的速度長度直接從圖上量取。圖3-4圖解法求凸輪機構(gòu)的線速度2．求角速度1）鉸鏈機構(gòu)【例3-3】如圖3-3所示的鉸鏈四桿機構(gòu)，已知各構(gòu)件的尺寸和原動件1的角速度，試求構(gòu)件3的角速度和角速比。解：將視為構(gòu)件1上的點，則有將視為構(gòu)件3上的點，則有由瞬心的定義可得 轉(zhuǎn)換后得 或 上式表明，兩構(gòu)件之間的角速比（即傳動比）與該兩構(gòu)件的絕對瞬心、至相對瞬心的距離成反比。此關(guān)系可以推廣到平面機構(gòu)中任意兩構(gòu)件i與j之間（設(shè)構(gòu)件4為機架），即 （3-2）若相對瞬心在絕對瞬心、之間，則構(gòu)件i與j的轉(zhuǎn)向相反；否則，轉(zhuǎn)向相同?！纠?-4】如圖3-5所示為按長度比例尺畫出的平鍛機工件夾緊機構(gòu)運動簡圖，該機構(gòu)是一個復(fù)雜的平面Ⅲ級機構(gòu)。已知原動件AB的角速度的大小和方向（如圖所示），求、、、的大小及方向。解：由于構(gòu)件2上點B的速度方向及大小已知（），如果能求出其絕對瞬心，則和可以求出。如果再能求出P36，則根據(jù)可以求出、和，于是可以解出和。所以解題的關(guān)鍵在于求出絕對瞬心與的位置。和的位置可按以下方法求出。標(biāo)出圖中各鉸鏈所示的瞬心、、、、、和。根據(jù)三心定理及已知的瞬心，應(yīng)位于直線與直線的交點上，在圖上首先作出，從而可作出兩條直線與，在圖上作出其交點即求得。按前面的分析得，方向為逆時針方向垂直于，向左，故，方向為順時針?biāo)裕较蛉鐖D，方向如圖，方向為逆時針，方向為順時針圖3-5平鍛機工件夾緊機構(gòu)運動簡圖2）高副機構(gòu)【例3-5】如圖3-6所示凸輪機構(gòu)中，已知構(gòu)件2的轉(zhuǎn)速，求構(gòu)件3的角速度。解：首先用三心定律求出，求瞬心的速度：所以 ，方向與相反?！纠?-6】如圖3-7所示為一直動從動件凸輪機構(gòu)。設(shè)已知各構(gòu)件的尺寸和原動件1的角速度，求從動件2的速度。解：因為構(gòu)件2作平動，所以利用瞬心是構(gòu)件1和2的等速重合點，即可求得。由于構(gòu)件1、2組成高副，所以瞬心在過接觸點K處的公法線n-n上；又由三心定理知，瞬心與、共線。因此過作的方向線與n-n線的交點即為瞬心。方向向上，如圖3-7所示。圖3-6圖解法求高副機構(gòu)的角速度圖3-7直動從動件凸輪機構(gòu)利用速度瞬心法對簡單機構(gòu)的速度分析非常簡便。但對于包含構(gòu)件數(shù)目較多的機構(gòu)，由于瞬心數(shù)目較多，使得求解困難。需要特別說明的是，速度瞬心法僅限于對機構(gòu)的速度分析，不便用于加速度分析。3.3用相對運動圖解法對機構(gòu)進行運動分析相對運動圖解法（relativekinematicgraphicmethod）也稱為矢量方程圖解法（vectorgraphicmethod），所依據(jù)的是理論力學(xué)中的運動合成原理。在對機構(gòu)進行速度、加速度分析時，根據(jù)運動合成原理列出速度、加速度運動矢量方程，按矢量運算作圖求解。下面就在機構(gòu)運動分析中所遇到的兩種不同情況對其基本原理和方法加以說明。3.3.1作平面運動的同一構(gòu)件上兩點間的運動分析如圖3-8a所示為鉸鏈四桿機構(gòu)運動簡圖。已知各構(gòu)件的尺寸及原動件1以等角速度逆時針方向轉(zhuǎn)動，求機構(gòu)在圖示位置時構(gòu)件2、3的角速度、和角加速度、，以及構(gòu)件2上點E的速度和加速度。用相對運動圖解法進行運動分析時，應(yīng)沿著機構(gòu)的運動傳遞順序，從與運動已知的原動件相連的桿組開始，以桿組為單位依次進行。首先確定桿組中外接副的運動（往往是已知的），其次確定桿組內(nèi)接副的運動，然后再確定構(gòu)件上一般點的運動。（a）鉸鏈四桿機構(gòu)運動簡圖（b）速度多邊形（c）加速度多邊形圖3-8同一構(gòu)件上兩點之間的運動圖解分析1．列出運動矢量方程式鉸鏈四桿機構(gòu)僅含有一個Ⅱ級桿組BCD，且外接副點B、D的運動已知，所以先求內(nèi)接副點C的運動。而點C和B同在連桿2上，選運動已知的點B為基點，由運動合成原理，點C的運動可視為隨著基點B作平動與繞著基點B作相對轉(zhuǎn)動的合成。所以點C的速度和加速度的矢量方程分別表示為 （3-2）方向：CDABBC大?。海? （3-3）方向：CDBC大?。?？？式中，、、為點C相對于點B的相對速度、相對法向加速度和相對切向加速度；、分別為點C的絕對法向加速度和切向加速度。為了減少方程中未知量的數(shù)目，將轉(zhuǎn)動加速度分解為法向和切向兩個分量，每一項的大小和方向均示于式中。在式（3-2）中，僅、的大小未知，而在式（3-3）中，經(jīng)過速度分析之后也為已知，僅有、的大小未知，故每個方程組僅包含兩個未知量，可以用作圖法求解。2．按矢量方程式作圖求解，即圖中每1mm所代表的速度大小。，即圖中每1mm所代表的加速度大小。1）按速度矢量方程作矢量運算圖解如圖3-8b所示，任取一點p作為速度極點。從點p出發(fā)作代表的矢量（，且），再分別過點b和p作代表的方向線（），代表的方向線（），兩者相交于點c，則，構(gòu)件2的角速度則為可將平移至機構(gòu)圖上的點C，繞點B的轉(zhuǎn)向即為的方向（順時針方向）。構(gòu)件3的角速度為將平移至機構(gòu)圖上的點C，繞點D的轉(zhuǎn)向即為的方向（逆時針方向）。2）按加速度矢量方程作矢量運算圖解如圖3-8c所示，任取一點作為加速度極點。從點出發(fā)作代表的矢量（∥AB，由機構(gòu)圖上的點B指向點A，且）；再分別過點和，作代表的矢量（∥BC，由點C指向點B）和代表的矢量（//CD，由點C指向點D）；然后再分別過點和作代表的方向線（BC）和代表的方向線（CD），兩者相交于點，則，則構(gòu)件2的角加速度為可將平移至機構(gòu)圖上的點C，繞點B的轉(zhuǎn)向即為的方向（逆時針方向）。構(gòu)件3的角加速度為將平移至機構(gòu)圖上的點，繞點的轉(zhuǎn)向即為的方向（逆時針方向）。如圖3-9b、c所示的圖形分別稱為機構(gòu)的速度多邊形圖（或速度圖）和加速度多邊形圖（加速度圖）。對于構(gòu)件2上點E的運動，則可利用同一構(gòu)件上B、C兩點的運動求解。速度矢量方程和加速度矢量方程分別表示為方向：ABBECDCE大?。?？√？方向：BE√CE大?。?？√？在圖3-8b中，分別過b、c作代表的方向線()和代表的方向線（），兩者交于點e，則代表，所以由圖可知，構(gòu)件2上B、C、E三點構(gòu)成的圖形與速度圖中代表該三點絕對速度矢量端點b、c、e構(gòu)成的圖形，由于兩個圖形的三個對應(yīng)邊相互垂直，故兩三角形相似，且其字母的繞行順序也一致。因此，稱速度圖形為構(gòu)件圖形的速度影像，這一規(guī)律即速度影像原理。在圖3-8c中，也分別過、作代表的矢量（）、的方向線（）和代表的矢量（）、的方向線（），兩方向線交于點，則代表，所以與速度影像類似，可以證明，構(gòu)件2上B、C、E三點構(gòu)成的圖形△BCE與加速度圖中代表該三點絕對加速度矢量端點、、構(gòu)成的圖形也是相似的，且其字母的繞行順序一致，但兩圖形的對應(yīng)邊一般不垂直，都轉(zhuǎn)過一相同的角度。因此，稱加速度圖形為構(gòu)件圖形的加速度影像，這一規(guī)律即加速度影像原理。當(dāng)已知某一構(gòu)件上兩點的速度或加速度時，利用速度或加速度影像原理，作構(gòu)件圖形的相似形，可以很方便地求出該構(gòu)件上其他任一點的速度或加速度。例如，當(dāng)構(gòu)件2上B、C兩點的速度和加速度已知時，其上點E的速度、加速度就可以直接分別以、為邊作的相似三角形和，求得點E的速度矢量端點e和加速度矢量端點，即求得和。同理，利用速度或加速度影像原理，也可以根據(jù)已知的速度、加速度求出構(gòu)件上相應(yīng)點的位置。這里必須注意的是，速度影像和加速度影像原理只適用于同一構(gòu)件上各點之間的速度和加速度關(guān)系，而不能用于整個機構(gòu)中的不同構(gòu)件上各點之間的速度和加速度關(guān)系。3.3.2用移動副連接的兩構(gòu)件重合點間的運動分析與前一種情況不同，此處所研究的是以移動副相連的兩轉(zhuǎn)動構(gòu)件上的重合點間的速度及加速度之間的關(guān)系，因而所列出的機構(gòu)的運動矢量方程也有所不同，但作法卻基本相似?！纠?-7】如圖3-9a所示為一平面四桿機構(gòu)。設(shè)已知各構(gòu)件的尺寸為：，，，；并知原動件1以等角速度逆時針方向回轉(zhuǎn)。試用圖解法求機構(gòu)在時構(gòu)件2、3的角速度和角加速度。（a）機構(gòu)運動簡圖（b）速度多邊形（c）加速度多邊形圖3-9兩構(gòu)件重合點間的圖解運動分析解：1）作機構(gòu)運動簡圖選取尺寸比例尺，按準確作出機構(gòu)運動簡圖（如圖3-9a所示）。2）作速度分析根據(jù)已知條件，速度分析應(yīng)由B點開始，并取重合點及進行求解。已知點的速度其方向垂直于AB，指向與的轉(zhuǎn)向一致。為求，需先求得構(gòu)件3上任一點的速度。因構(gòu)件3與構(gòu)件2組成移動副，故可由兩構(gòu)件上重合點間的速度關(guān)系來求解。由運動合成原理可知，重合點及有：（3-4）式中僅有兩個未知量，故可用作圖法求解。取速度比例尺，并取點p作為速度圖極點，作其速度圖如圖3-9b所示，于是得（順時針）而。3）作加速度分析加速度分析的步驟與速度分析相同，也應(yīng)從B點開始，且已知B點僅有法向加速度，即 （3-5）其方向沿AB，并由B指向A。構(gòu)件3上點B的加速度由兩構(gòu)件上重合點間的加速度關(guān)系可知方向：？BD√BC大?。海?？√？式中，為點相對于點的科氏加速度，其大小為其方向為將相對速度沿牽連構(gòu)件2的角速度的方向轉(zhuǎn)過90°。而的大小為由式3-5可知，方程僅有兩個未知量，故可用作圖法求解。選取加速度比例尺并取點為加速度圖極點，按式（3-5）依次作其加速度圖如圖3-9c所示，于是得方向為逆時針，且。此例中，選、點來進行運動分析，是因為點的速度和加速度很容易求得，求解最簡便。讀者不妨以其他點為重合點來求解，便不難驗證。3.4用解析法對機構(gòu)進行運動分析3.4.1矢量方程解析法用解析法作機構(gòu)的運動分析，應(yīng)首先建立機構(gòu)的位置方程式，然后將位置方程式對時間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，即可求得機構(gòu)的速度和加速度方程，進而解出所需位移、速度及加速度，完成機構(gòu)的運動分析。由于在建立和推導(dǎo)機構(gòu)的位置、速度和加速度方程時所采用的數(shù)學(xué)工具不同，所以解析法有很多種。本節(jié)將介紹兩種比較容易掌握且便于應(yīng)用計算機計算求解的方法——復(fù)數(shù)矢量法和矩陣法。復(fù)數(shù)矢量法由于利用了復(fù)數(shù)運算十分簡便的優(yōu)點，不僅可對任何機構(gòu)包括較復(fù)雜的連桿機構(gòu)進行運動分析和動力分析，而且可用來進行機構(gòu)的綜合，并可利用計算機進行求解。而矩陣法則可方便地運用標(biāo)準計算程序或方程求解器等軟件包來求解，但需借助于計算機。由于用這兩種方法對機構(gòu)作運動分析時，均需先列出所謂的封閉矢量方程式，故對此先加以介紹。1．機構(gòu)的封閉矢量位置方程式在用矢量法建立機構(gòu)的位置方程時，需將構(gòu)件用矢量來表示，并作出機構(gòu)的封閉矢量多邊形。用復(fù)數(shù)符號表示平面矢量，如，它既可寫成極坐標(biāo)形式，又可寫成直角坐標(biāo)形式。可利用歐拉公式方便地在上述兩種表示形式之間進行變換。此外，它的導(dǎo)數(shù)就是其自身，即，故對其微分或積分運算十分便利。圖3-10機構(gòu)的封閉矢量位置坐標(biāo)如圖3-10所示，先建立一直角坐標(biāo)系。設(shè)構(gòu)件1的長度為，其方位角為，為構(gòu)件l的桿矢量，即。機構(gòu)中其余構(gòu)件均可表示為相應(yīng)的桿矢量，這樣就形成由各桿矢量組成的一個封閉矢量多邊形，即。在這個封閉矢量多邊形中，其各矢量之和必等于零。即 （3-6）式（3-6）為圖3-10所示四桿機構(gòu)的封閉矢量位置方程式。對于一個特定的四桿機構(gòu)，其各構(gòu)件的長度和原動件1的運動規(guī)律已知，即為已知，而，故由此矢量方程可求得兩個未知方位角及。各桿矢量的方向可自由確定，但各桿矢量的方位角均應(yīng)由x軸開始，并以沿逆時針方向計量為正。由上述分析可知，對于一個四桿機構(gòu)，只需作出一個封閉矢量多邊形即可求解。而對四桿以上的多桿機構(gòu)，則需作出一個以上的封閉矢量多邊形才能求解。2．復(fù)數(shù)矢量法現(xiàn)就以圖3-10所示的四桿機構(gòu)為例來說明利用復(fù)數(shù)矢量法作平面機構(gòu)運動分析的方法。設(shè)已知各構(gòu)件的尺寸及原動件1的方位角和等角速度，需對其位置、速度和加速度進行分析。如前所述，為了對機構(gòu)進行運動分析，先要建立坐標(biāo)系，并將各構(gòu)件表示為桿矢量。1）位置分析將機構(gòu)封閉矢量方程式（3-6）改寫并表示為復(fù)數(shù)矢量形式： （3-7）應(yīng)用歐拉公式將式（3-7）的實部和虛部分離，得 （3-8）由此方程組可求得兩個未知方位角、。當(dāng)要求解時，應(yīng)將消去，為此可先將式（3-8）兩分式左端含的項移到等式右端，然后分別將兩端平方并相加，可得經(jīng)整理并可簡化為： （3-9）式中：；；。解之可得 （3-10）在求得了之后，可利用式（3-8）求得。式（3-10）有兩個解，可根據(jù)機構(gòu)的初始安裝情況和機構(gòu)運動的連續(xù)性來確定式中“”號的選取。2）速度分析將式（3-7）對時間t求導(dǎo)，可得即 （3-11）式（3-11）為的復(fù)數(shù)矢量表達式。將式（3-11）的實部和虛部分離，有 （3-11a） （3-11b）聯(lián)解式（3-11a）和式（3-11b）可求得兩個未知角速度、，即 （3-12） （3-13）3）加速度分析將式（3-11）對時間t求導(dǎo)，可得 （3-14）式（3-14）為的復(fù)數(shù)矢量表達式。將式（3-14）的實部和虛部分離，有聯(lián)解上兩式即可求得兩個未知的角加速度、，即 （3-15） （3-16）現(xiàn)再討論求圖3-10所示四桿機構(gòu)中連桿2上任一點E的速度和加速度的求解方法。當(dāng)機構(gòu)中所有構(gòu)件的角位移、角速度和角加速度一旦求出后，則該機構(gòu)中任何構(gòu)件上的任意點的速度及加速度就很容易求得。設(shè)連桿上任一點E在其上的位置矢量為及，E點在坐標(biāo)系中的絕對位置矢量為，則即 （3-17）將式（3-17）對時間t分別求一次和二次導(dǎo)數(shù)，并經(jīng)變換整理可得和的矢量表達式，即 （3-18） （3-19）3.4.2矩陣法仍以圖3-10所示四桿機構(gòu)為例，已知條件同前，現(xiàn)用矩陣法求解如下：1）位置分析將機構(gòu)的封閉矢量方程式（3-7）寫成在兩坐標(biāo)上的投影式，并改寫成方程左邊僅含未知量項的形式，即得 （3-20）解此方程即可得二未知方位角、。2）速度分析將式（3-21）對時間t取一次導(dǎo)數(shù)，可得 （3-21）解之可得、。式（3-21）可寫成矩陣形式 （3-22）3）加速度分析將式（3-20）對時間t取導(dǎo)，可得加速度關(guān)系（3-23）可解得、。若還需求連桿上任一點E的位置、速度和加速度時，可由下列各式直接求得： （3-24） （3-25） （3-26）在矩陣法中，為便于書寫和記憶，速度分析關(guān)系式可表示為 （3-27）其中，A——機構(gòu)從動件的位置參數(shù)矩陣；——機構(gòu)從動件的速度列陣；B——機構(gòu)原動件的位置參數(shù)列陣；——機構(gòu)原動件的速度。而加速度分析的關(guān)系式則可表示為 （3-28）其中，是機構(gòu)從動件的加速度列陣；；。通過上述對四桿機構(gòu)進行運動分析的過程可以看出，用解析法進行機構(gòu)運動分析的關(guān)鍵是位置方程的建立和求解。至于速度分析和加速度分析只不過是對其位置方程作進一步的數(shù)學(xué)運算而已。位置方程的求解需解非線性方程組，難度較大；而速度方程和加速度方程的求解，則只需解線性方程組，相對而言較容易。3.4.3桿組法應(yīng)用前述方法，對于各種不同的機構(gòu)需要建立不同的數(shù)學(xué)模型，編制相應(yīng)的計算程序，因此各種不同機構(gòu)之間計算程序的通用性較差。下面介紹一種適用于各種不同機構(gòu)且通用性較強的運動分析方法——基本桿組法。1．基本桿組法的基本思想根據(jù)機構(gòu)的組成原理，任何平面機構(gòu)都是在原動件和機架上依次連接若干個基本桿組而構(gòu)成的。對于常用的各種Ⅱ級機構(gòu)，其中包含的Ⅱ級基本桿組僅有五種，如圖3-13所示，其中前三種應(yīng)用最多。由于桿組外接副連接于原動件、機架或其他桿組的構(gòu)件上，所以只要從原動件開始逐個對桿組進行分析，則桿組外接副的運動參數(shù)總是已知的。由此可求出各個桿組乃至整個機構(gòu)的運動參數(shù)。以單桿和基本桿組為單元，分別建立構(gòu)件和基本桿組中各已知的幾何參數(shù)、運動參數(shù)與未知運動參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型，并編制出相應(yīng)的計算子程序。當(dāng)需要對某一機構(gòu)進行運動分析時，只需按照機構(gòu)的組成情況，編寫出主程序，依次調(diào)用相應(yīng)的構(gòu)件和桿組通用子程序便可求得所需結(jié)果?？梢?，此方法對機構(gòu)進行運動分析的通用性較強，工作量較小。下面就Ⅱ級機構(gòu)進行分析討論。（a）RRR桿組（b）RRP桿組（c）RPR桿組（d）RPP桿組（e）PRP桿組圖3-13Ⅱ級基本桿組R—轉(zhuǎn)動副；P—移動副2．單桿和基本桿組的運動分析對單桿和基本桿組進行運動分析時，首先建立直角坐標(biāo)系。規(guī)定i構(gòu)件的長度用表示，位置角，從外接副引軸正向線，按逆時針方向取角速度和角加速度分別用、表示，且逆時針方向為正；參考點、關(guān)鍵點的位置用（，）表示，速度用（，）表示，加速度用（，）表示。1）單桿運動分析如圖3-14所示為機構(gòu)中作平面運動的構(gòu)件（作定軸轉(zhuǎn)動或平移運動的構(gòu)件是特例）的運動分析。已知構(gòu)件位置角、角速度、角加速度及參考點的位置（，）、速度（，）和加速度（，）。按給定的長度和角度值求其上點的位置（，）、速度（，）和加速度(，)。（1）位置分析點的位置方程式為（2）速度分析將上式對時間t求導(dǎo)一次，得點的速度方程式為（3）加速度分析將上式對時間t再求導(dǎo)一次，得點的加速度方程式為2）RRR桿組的運動分析如圖3-12所示為一RRR桿組，已知桿1、2的位置角分別為和、角速度分別為和、角加速度分別為和。圖3-11單桿運動分析圖3-12RRR桿組的運動分析（1）位置分析根據(jù)圖3-15所示的幾何關(guān)系可知，該桿組成立的基本條件為：。構(gòu)件1的位置角為 （3-29）式中，；，且。“”號對應(yīng)不同的桿組裝配或工作模式，當(dāng)點、、逆時針繞行即實線取“+”號；當(dāng)點、、順時針繞行即虛線模式時，取“-”號。對于一特定機構(gòu)，只要，桿組就在一種模式下運動。所以在計算之前，應(yīng)按機構(gòu)的實際情況定識別參數(shù)M，實線模式時，虛線模式時；如果，則應(yīng)根據(jù)實際工作狀況，判定其工作模式?？蓪⑹剑?-29）表示為 （3-30）構(gòu)件2的位置角為 （3-31）其中，點的位置為 （3-32）（2）速度分析將式（3-32）對時間t求導(dǎo)一次，得點的速度方程式為 （3-33）整理上式，并將、、和用坐標(biāo)表述，可得構(gòu)件1、2的角速度為 （3-34）式中，。將式（3-34）代入式（3-33），即可求出點的速度（，）。（3）加速度分析將式（3-33）對時間t求導(dǎo)一次，得點的加速度方程式 （3-35）整理式（3-35）得構(gòu)件1、2的角加速度分別為 （3-36）式中，；。將式（3-36）代人式（3-35），即可求出點的加速度（，）。3）RRP桿組的運動分析如圖3-13所示，已知外接副、導(dǎo)路上一參考點的位置分別為（，）和（，）、速度分別為（，）和（，）、加速度分別為（，）、（，）及導(dǎo)路的位置角、角速度、角加速度。求內(nèi)接副的位置（，）、速度（，）和加速度（，），滑塊2的相對參考點的位移相對于導(dǎo)路的滑動速度和滑動加速度，以及構(gòu)件1的位置角、角速度和角加速度。圖3-13RRP桿組（1）位置分析根據(jù)圖3-16所示的幾何關(guān)系，得點的位置方程為 （3-37）求解上式可得 （3-38）式中，；。求解式（3-38）得 （3-39）式中，若，表明，桿組無法裝配，不能成立；若，表明桿組僅有一位置，不能運動，無意義；若，表明，桿組對應(yīng)圖中實線和虛線兩種裝配或工作模式，用“”號區(qū)分。當(dāng)，即實線模式時，取“+”；當(dāng)，，即虛線模式時，取“-”號。當(dāng)參考點選在、之間時，總有，取“+”號。設(shè)定識別參數(shù)M，當(dāng)時，取；當(dāng)時，取。根據(jù)M的取值，可將式（3-39）表示為 （3-40）將求出的代人式（3-37），即可求得點的位置（，）。繼而可求出構(gòu)件1的位置角 （3-41）（2）速度分析將式（3-37對t時間求導(dǎo)一次，得點的速度方程式為 （3-42）對上式整理后，解得構(gòu)件l的角速度和滑塊2相對于導(dǎo)路的滑動速度分別為 （3-43） （3-44）式中，；。將求出的、代人式（3-42），即可求得點的速度（，）。（3）加速度分析將式（3-42）對時間t求導(dǎo)一次，得點的加速度方程式為 （3-45）對上式整理后解得構(gòu)件1的角加速度和滑塊2相對于導(dǎo)路的滑動加速度分別為 （3-46） （3-47）式中，；。將求出的、代入式（3-45），即可求得點的加速度（，）。RPR桿組、RPP桿組和PRP桿組也可用類似的方法進行分析，這里從略。按以上建立的數(shù)學(xué)模型編寫計算子程序，以便調(diào)用。3．分析步驟（1）為表明機構(gòu)中各構(gòu)件的連接關(guān)系和各桿組中虛、實參數(shù)的替換及數(shù)據(jù)的傳遞，對“構(gòu)件及關(guān)鍵點（運動副或參考點）進行編號。（2）對機構(gòu)進行結(jié)構(gòu)分析，即拆桿組，把桿組與原動件和機架分離開。（3）對原動件進行運動分析，求出其上與其他桿組連接點的運動參數(shù)。（4）從與原動件連接且外運動副已知的桿組開始，依次分析桿組、構(gòu)件上相應(yīng)的運動數(shù)，直至求出機構(gòu)的全部運動參數(shù)。3.5機構(gòu)運動線圖根據(jù)矩陣法中各式，將已知參數(shù)代入，即可應(yīng)用計算機進行計算，求得的數(shù)值列于表3-1中。并可根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出機構(gòu)的位置線圖（如圖3-14a所示）、速度線圖（如圖3-14b所示）和加速度線圖（如圖3-14c所示