計算機圖形學-第三章求交分類

清華大學計算機科學與技術(shù)系 計算機圖形學基礎(chǔ)

3.3求交分類

清華大學幾何造型中，通常利用集合運算（并、交、差運算）實現(xiàn)復雜形體的構(gòu)造。集合運算需要大量的求交運算。如何提高求交的實用性、穩(wěn)定性、速度、精度等，對幾何造型系統(tǒng)至關(guān)重要。清華大學計算機科學與技術(shù)系 計算機圖形學基礎(chǔ)

3.3.1 求交分類簡介多面體模型這種模型的求交計算主要是線段和平面的求交，求交問題的解決相對簡單。多面體模型的缺點是明顯的。它只能近似表示形體，同時，復雜形體表面的離散會帶來巨大的數(shù)據(jù)量。CSG模型在這種模型中，形體通過基本體素的組合來實現(xiàn)。二次曲面的求交是這些造型系統(tǒng)中必不可少的。清華大學計算機科學與技術(shù)系 計算機圖形學基礎(chǔ)

當前的幾何造型系統(tǒng)，大多采用精確的邊界表示模型。在這種表示法中，形體的邊界元素和某類幾何元素相對應(yīng)，它們可以是直線、圓（圓?。?、二次曲線、Bezier曲線、B樣條曲線等，也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B樣條曲面等，求交情況十分復雜。二次曲面與各種自由曲面并存的混合表示模型的采用，導致了歸類求交思想的產(chǎn)生。清華大學計算機科學與技術(shù)系 計算機圖形學基礎(chǔ)

3.3.2 求交分類策略在幾何造型系統(tǒng)中，用到的幾何元素主要有點：3D點。線：3D直線段、二次曲線(包括圓弧和整圓、橢圓弧和橢圓、拋物線段、雙曲線段)、Bezier曲線(有理和非有理)、B樣條曲線、NURBS曲線。面：平面、二次曲面(包括球面、圓柱面、圓錐/臺面、雙曲面、拋物面、橢球面和橢圓柱面)、Bezier曲面(有理和非有理)、B樣條曲面、NURBS曲面。清華大學計算機科學與技術(shù)系 計算機圖形學基礎(chǔ)

將幾何元素進行歸類，利用同一元素之間的共性來研究求交算法。同時對每一類元素，在具體求交算法中要考慮它們的特性，以提高算法的效率，發(fā)揮混合表示方法的優(yōu)勢。求交方法可分為：點點、點線、點面、線線、線面六種。清華大學計算機科學與技術(shù)系 計算機圖形學基礎(chǔ)

3.3.3 基本的求交算法3.3.3.1線與線的求交計算二次曲線與二次曲線的求交。求交策略是將坐標系變換到該圓錐曲線的局部坐標系下，一個圓錐曲線用隱式方程的形式表示，而另一圓錐曲線采用參數(shù)方程的形式，代入即可獲得有關(guān)參數(shù)的四次方程，，因而可計算出二者的交點。二次曲線與NURBS曲線求交將NURBS曲線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的隱式方程，得到參數(shù)的一元高次方程，然后，使用一元高次方程的求根方法解出交點參數(shù)?；虬褕A錐曲線也表示為參數(shù)形式，轉(zhuǎn)化為兩個NURBS曲線的求交問題。清華大學計算機科學與技術(shù)系 計算機圖形學基礎(chǔ)

NURBS曲線與NURBS曲線求交。采用離散法求初始交點，迭代求精確解的辦法，步驟如下：（1）初始化。依據(jù)離散精度，將NURBS曲線形成對應(yīng)的二叉樹表示，葉子結(jié)點是對應(yīng)于該曲線的某一離散子線段及其包圍盒，非葉子結(jié)點是對應(yīng)于該段NURBS曲線的包圍盒。（2）求初始交點。遍歷兩曲線的二叉樹，若其葉子結(jié)點的包圍盒相交，則將兩者的數(shù)據(jù)（曲線段中點的參數(shù)值，二者坐標的平均值）存入初始交點隊列。（3）將初始交點迭代求精確交點。迭代方程可形象地用圖3.3.1表示。清華大學計算機科學與技術(shù)系 計算機圖形學基礎(chǔ)

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3.3.3.2線與面的求交計算二次曲線與二次曲面的求交的求交計算，可以把二次曲線的參數(shù)形式代入二次曲面的隱式方程，計算出交點的參數(shù)。NURBS曲線與二次曲面的求交計算，可以把NURBS曲線的參數(shù)形式代入二次曲面的隱式方程，得到關(guān)于參數(shù)的高次方程，然后求解。NURBS曲線與NURBS曲面的求交計算1．初始化。依據(jù)離散精度，將NURBS曲線離散成二叉樹的形式清華擱大學劉計算扭機科喬學與懷技術(shù)低系搜計衣算機綢圖形砌學基勻礎(chǔ)2．求崗初始遷交點壁。遍漆歷該笛二叉鐘樹和嫌四叉申樹，塊如果挖曲線陷二叉卷樹葉別子結(jié)柳點的妻包圍朱盒與結(jié)曲面次四叉精樹的乓葉子資結(jié)點拖的包歪圍盒爸有交攏點，滅則將筒子曲私線段譯中點京的參狹數(shù)值局、子乓曲面?zhèn)z片的刪中心臣點的疼坐標球值與抬參數(shù)猛值作卻為初覺始交桿點，刪記錄躍到初漁始交悉點點啄列中隙去。3．對管初始方交點初進行耕迭代噸，形竟成精譜確交至點。收可用趴牛頓勻迭代謙法求朝解精胃確交番點。舟設(shè)NU順RB擇S曲線編為C(舌t)，NU午RB輪S曲面杏為S(分u,柄v)，則夫在交映點處姿應(yīng)滿攤足：C(滴t)要-S去(u扁,v貪)=蘆0設(shè)f(捐u,晉v,蠅t)則=C削(t押)-牧S(舌u,閱v)清華翻大學躲計算快機科砍學與茂技術(shù)服系嬸計簡算機鐘圖形候?qū)W基楊礎(chǔ)可得佛到：令,則可匹建立維迭代陡方程萄：設(shè)初膛值為夜，一傷般迭患代3~維5次，徹便可恩達到御要求即的精癢度。清華拒大學降計算玻機科都學與物技術(shù)絞系船計朝算機季圖形袖學基晉礎(chǔ)曲面戴與曲就面的匹求交曲面?zhèn)€與曲很面之紙間的胳求交伸是最鬼為復敵雜的秧一種曲面傲與曲勵面求爺交的額基本序方法把主要歡有:代數(shù)菌方法幾何積方法離散鄉(xiāng)豐方法跟蹤瞞方法清華呢大學小計算待機科雁學與父技術(shù)慈系巾計篇算機淋圖形哥學基猜礎(chǔ)1．代茶數(shù)方宣法利用熊代數(shù)紹運算脾，特芬別是譜求解掀代數(shù)銷方程凡的方曲法求任出曲閣面的柿交線然。根據(jù)尸參與印求交肝的兩宴曲面禽的表玻示形渣式的勁不同斧，可腥以把廚求交育分為王三種黃情況惰。隱式貴表示裙和參蘆數(shù)表孝示的桿曲面混求交竭，通網(wǎng)過把喝參數(shù)康方程英代入切隱式促方程寸的方府法，趕可以產(chǎn)將交狗線表換示為g(雪u,嘉v)撕=0的形盤式。國此時挖得到向的交筑線方駛程是鏈平面姥代數(shù)扔曲線先方程況，可蛾根據(jù)萍平面鴨代數(shù)鑒曲線魯理論脅的方絕法求榴解交愛線。清華最大學邀計算尾機科石學與模技術(shù)質(zhì)系攪計淡算機情圖形廣學基易礎(chǔ)兩個斷曲面卸都是廢參數(shù)臂表示紀的情券形，友只需貨要將小其中揮之一箏隱式參化，擇然后趟用前爆面的筍方法書求解塵。而趕參數(shù)跪多項印式或錢有理室多項陰式曲駛面的對隱式托化通俗過消趴元來腿實現(xiàn)朱。兩個號曲面求都是神隱式銳曲面趨。一時種方克法是至將其憑中一充個曲怪面參困數(shù)化集，然溫后用代第一依種情尚況來霉求解盼。但魄是，拒一般肅情況集下這淋種參惱數(shù)化姐很困針難，飛對于體某些聲情況經(jīng)可以制采用而另外蕩的方籃法計善算參樂數(shù)化駝的曲頭面。代數(shù)蜜法的柿弱點拔是對宗誤差證很敏伙感這是辨因為遍代數(shù)限法經(jīng)敘常需賺要判弓別某爆些量尸是否鄭大于勻零、瀉等于蓬零或孩小于旬零，嫌而在宮計算裙機中螺的浮屠點數(shù)儀近似屑表示匙的誤融差常好常會梁使這隊種判丘別出膠現(xiàn)錯姨誤。清華斬大學扶計算良機科遞學與遮技術(shù)倡系氧計攔算機辜圖形慮學基裙礎(chǔ)2．幾導何方辛法利用攝幾何由的方維法，聞對參說與求藏交的落曲面刑的形昏狀大蠟小、些相互不位置葉以及莊方向篩等進齡行計陸算和納判斷拼，識殊別出蹦交線問的形勁狀和漁類型乞，從償而可亡精確褲求出姐交線膚。幾何近求交犁適應(yīng)牛性不雨是很歡廣，弄一般捆僅用依于平聰面以體及二昆次曲煮面等洋簡單非曲面報的求緩交清華訴大學猾計算婚機科傷學與認技術(shù)封系速計背算機遷圖形城學基鬧礎(chǔ)對于增一些舍交線破退化叼或相港切的想情形你，交益線往緣瑞往是乳點、策直線液或圓禾錐曲粒線，境用幾找何方萌法求形交可坑以更承加迅假速和兆可靠汽。清華葵大學印計算巖機科露學與四技術(shù)享系爛計屬算機吊圖形剛學基隔礎(chǔ)3．離斗散方號法離散給方法予求交錄是利濾用分郵割的貞方法蜜，將改曲面俱不斷江離散咳成較跟小的妖曲面職片，荷直到括每一倘子曲汗面片棟均可匆用比曾較簡惠單的甜面片聾，然釘后用疏這些朱簡單挖面片榴求交鎖得一手系列迅交線該段，薦連接含這些余交線枕段即好得到禾精確籃交線可的近陽似結(jié)春果。離散損求交稅一般射包括淘下面像的過罷程：訓用包緊圍盒喉作分翁離性巧檢查棗排除洽無交餡區(qū)域航；根刷據(jù)平逆坦性好檢查柳判斷蝕是否擺終止兆離散如過程拜；連陡接求永出的晶交線諒段作算為求廟交結(jié)卸果。清華枯大學頑計算鑒機科康學與拍技術(shù)站系剖計杠算機啟圖形砌學基感礎(chǔ)由于Be薪zi粱er曲面陜，B樣條花曲面爺具有毅離散蓄性質(zhì)貢，使齒得它蝦們最撲適合坑于離費散法暑求交穿。缺點時：離散溪法求曲出的蕉交線昆逼近泄精度罷不高衣。如但果要受求的沾精度毯較高遣，需濁要增畫加離趣散層量數(shù)。州這將收大大啦增加兄了數(shù)屆據(jù)儲悼存量州和計仇算量香。處于某不同素離散主層數(shù)回的相叔鄰子營曲面掛片，斧由它博們產(chǎn)積生的劉交線抬段可側(cè)能會頂出現(xiàn)橡裂縫亞。清華鈔大學紹計算避機科直學與喚技術(shù)錄系奧計描算機離圖形漠學基擊礎(chǔ)4．跟惕蹤方辦法通過達先求詞出初渡始交融點，縮慧然后篇從已濕知的瓣初始籮交點模出發(fā)使，相去繼跟完蹤計謀算出捷下一務(wù)交點使，從宰而求良出整郊條交良線的例方法病。跟蹤綿法的悄本質(zhì)冷是構(gòu)嗽造交誕線滿陪足的幸微分棄方程博組，墳先求組出滿避足方做程組蔑的某帖個某噴個初專值解歲，通習過數(shù)浸值求省解微墾分方倆程組滋的方晚法來忍計算躺整個鮮交線頭。跟蹤引方法富在計聾算相裁繼交慮點的火時候話，利時用了管曲面竿的局捆部微誘分性斬質(zhì)，喘一般架采用笨數(shù)值沈迭代胡的方幣法求愈