儲油罐的變位識別和罐容表標定問題

儲油罐的變位識別和罐容表標定問題摘要儲油罐使用一段時間后，由于地基變形等原因罐體發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)，導致罐容表發(fā)生改變，需要對其重新標定。本文建立了積分模型和非線性回歸模型，解決了儲油罐的變位識別和罐容表標定問題。為了得到罐體變位對灌容表的影響，首先通過積分得到儲油量與油高之間的方程。在求該關系過程中，先將有變位情況的油高轉(zhuǎn)化為無變位的油高，通過求無變位狀態(tài)下的儲油量來求變位后的儲油量，得到積分模型。利用實驗數(shù)據(jù)對模型進行檢驗，發(fā)現(xiàn)無變位狀態(tài)下進出油時理論計算值與實測值的相對誤差約為定值3.49%，而傾斜4.1°時相對誤差隨著油高的減小而增大，最大為5%，這是因為傾斜下油高較小時底部儲油并不引起油浮子變化，從而導致相對誤差大。該誤差可能來源于測量誤差、溫度等外界因素影響，而積分模型沒有考慮這些因素，因此在函數(shù)關系的基礎上建立非線性回歸模型，用MATLAB7.1進行擬合得到回歸方程，并進行系數(shù)的區(qū)間估計和殘差檢驗，最大殘差為6L，最大相對誤差為3.06%。因此，利用非線性回歸模型按油高分三段得到油位高度間隔1cm的罐容表標定值。問題二中考慮到縱、橫變位對灌容表的影響是獨立的，變位影響增量可疊加，得到無變位狀態(tài)下的油高與變位后的油高及縱橫變位參數(shù)之間的關系。先不考慮兩端球冠，按照問題一的求解思路可得到中間柱體儲油量與油高的關系。然后對兩端球冠單獨積分，將得到的油量與柱體油量相加得到儲油罐總油量方程。根據(jù)實際數(shù)據(jù)，采用非線性擬合，利用Taylor級數(shù)對復雜的函數(shù)關系式進行簡化，從而實現(xiàn)對變位參數(shù)的點估計，得到的系數(shù)為變位參數(shù)的函數(shù)，反解即可得到變位參數(shù)值：=2.57°，=4.82°。接著將變位參數(shù)反代回得到變位情況下的罐容表函數(shù)，然后按間隔10cm的油高標定罐容表。又對實際數(shù)據(jù)進行了多項式擬合，比較兩種方式得到的函數(shù)值與實際值的殘差分布情況，說明用積分模型標定罐容表的方法是可行的。本文在建立積分模型時，將有變位下油高轉(zhuǎn)化成無變位油高，將傾斜的球冠體簡化成無傾斜情況，使得積分簡化又可行。模型的檢驗中采用了多項式擬合和保持原方程形式的非線性擬合，并進行了殘差分析和系數(shù)區(qū)間估計，綜合考慮選擇其中最優(yōu)的進行灌容表標定。求解變位識別參數(shù)時，對復雜的函數(shù)采用Taylor級數(shù)展開成多項式，使得參數(shù)的點估計可以實現(xiàn)。關鍵詞：積分模型非線性回歸模型多項式擬合殘差圖Taylor級數(shù)

一、問題重述與分析1.1問題的重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定?，F(xiàn)在用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。1.2待解決的問題（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，先利用小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，得到實驗數(shù)據(jù)。然后建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于實際儲油罐，建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關系。利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。并進一步利用實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性。1.3問題分析由小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體）的幾何數(shù)據(jù)可以求出油位高度與儲油罐內(nèi)油量之間的關系。問題一要求根據(jù)所做的實驗數(shù)據(jù)，求出罐體變位對灌容表的影響。題中利用小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實驗，得到一批實驗數(shù)據(jù)。希望從這些實驗數(shù)據(jù)中得到罐體變位后對罐容表的影響，并求出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。先根據(jù)幾何關系可以得到一個罐內(nèi)油位高度與儲油量之間的微分方程，暫且認為其是標準的灌容表。將其與實驗所得到的真實數(shù)據(jù)做差進行比較，觀察差值大小及與真實實驗數(shù)據(jù)的相對大小。

二、問題假設1.儲油罐變位時幾何形狀不變，且?guī)缀纬叽绮话l(fā)生變化。2.不考慮儲油罐容器壁厚，由幾何尺寸求得的容積即為儲油罐內(nèi)油量體積。3.溫度不影響儲油罐內(nèi)油量的變化。4.假定無論何種狀態(tài)對于同一儲油罐儲油總量與油位高度的關系是確定的。5.原來的罐容表刻度時均勻標度的，并且可以讀出變化的連續(xù)值。6.儲油罐偏轉(zhuǎn)和傾斜對儲油罐探針讀數(shù)的變化關系是獨立的。三、符號說明傾斜時油浮子的讀數(shù)無變位時的油浮子讀數(shù)L罐體長ａ橢圓柱體長半軸ｂ橢圓柱體短半軸探針至支點距離V儲油罐容積儲油罐圓柱體容積儲油罐球冠體容積縱向傾斜角后油位高度橫向偏轉(zhuǎn)角后油位高度R球冠所在球半徑ｒ圓柱與球冠相切圓半徑圓心到球心距離球冠深度

四、問題一積分模型與非線性回歸模型的建立與求解4.1問題分析：由小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體）的幾何數(shù)據(jù)可以求出油位高度與儲油罐內(nèi)油量之間的關系。問題一要求根據(jù)所做的實驗數(shù)據(jù)，求出罐體變位對灌容表的影響。題中利用小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實驗，得到一批實驗數(shù)據(jù)。希望從這些實驗數(shù)據(jù)中得到罐體變位后對罐容表的影響，并求出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。先根據(jù)幾何關系得到儲油罐內(nèi)油位高度與儲油量之間的積分關系。將其與實驗所得到的真實數(shù)據(jù)做差進行比較，觀察差值大小及與真實實驗數(shù)據(jù)的相對大小。通過積分得到儲油量與油高之間的方程。在求該關系過程中，先將有變位情況的油高轉(zhuǎn)化為無變位的油高，通過求無變位狀態(tài)下的儲油量來求變位后的儲油量，得到積分模型。4.2積分模型的建立4.2.1模型的建立1）將傾斜時的油位高度轉(zhuǎn)化為無變化時的油位高度，從而得到無變位時與有變位時時的關系。設儲油灌的傾斜角為，橢圓筒長為L，長、短軸分別為a、b，探針F至儲油罐支點O的距離為。圖1橢圓柱體中心軸向切面為傾斜時的液面，AB為無變位時的液面。由簡圖1知，，，，。由矩形ABCO面積與梯形面積相等可以求與的關系。梯形中，，，矩形面積，由，得到圖2液面高度示意圖液面在CT1以下時，利用矩形面積等于直角三角形面積的方法導出與的關系。這時，矩形底長L，三角形底長均為，三角形面積為，矩形面積，所以，液面在探針口以上時，。綜上所述，得到傾斜變位的油位高度與無變位高度之間的關系為2）無變位時儲油罐直橢圓筒的容積計算。圖3橢圓側(cè)面示意圖由圖3，圖示坐標系中橢圓方程為，即，直線MN的方程為，代入橢圓方程中得到，如圖所示，取微元dx，則微元面積，對微元積分得到=1\*GB3①當時，有（1）=2\*GB3②當時，用來替代（1）中的，則儲油罐這部分容積為（2）=3\*GB3③液面升至探針口以上，油量增加，但罐容表顯示的不再增加，此時油量不再變化。4.2.2模型求解分別計算四種情況下油位高度一定時的儲油量理論值，與實測值進行比較，求出絕對誤差和相對誤差。1）無變位進出油時油位高度一定時儲油量理論值設儲油罐已有油量L，第i次進油后，累計進油量為L，則儲油罐總油量為升，此時油位高度為，由以上分析知，當時，由公式（1）計算得儲油罐內(nèi)理論油量，當，由公式（2）計算儲油罐內(nèi)理論油量。再分別計算絕對誤差和相對誤差。計算無變位進出油時令，則儲油量與油位高度的關系為此時。分別帶入無變位進出油數(shù)據(jù)中的油位高度進行求解，得出表格如下：表1無變位進油理論計算值與實測值對比流水號累加進油量/L油位高度/mm實測值/L理論值/L絕對誤差/L相對誤差1150159.02312322.8810.883.49%12100176.14362374.6312.633.49%13150192.59412426.3614.363.49%14200208.5462478.1316.133.49%15250223.93512529.8517.853.49%16300238.97562581.6119.613.49%17350253.66612633.3521.353.49%……773156.91963.83418.913538.17119.263.49%783206.91978.913468.913589.92121.013.49%793256.91994.433518.913641.67122.763.49%803306.911010.433568.913693.42124.513.49%813356.911026.993618.913745.14126.233.49%……表2無變位出油時理論計算值與實測值對比流水號累加出油量/L油位高度/mm實測值/L理論值/L絕對誤差/L相對誤差11152.721150.723916.194052.80136.613.49%112102.721123.993866.194001.05134.863.49%113152.721101.153816.193949.32133.133.49%114202.721080.513766.193897.57131.383.49%115252.721061.363716.193845.84129.653.49%116302.721043.293666.193794.07127.883.49%117352.721026.083616.193742.35126.163.49%……1632652.72439.151316.191362.1045.913.49%1642702.72426.801266.191310.3744.183.49%1652752.72414.361216.191258.6142.423.49%1662802.72401.841166.191206.8740.683.49%1672852.72389.221116.191155.1338.943.49%1682902.72376.491066.191103.3837.193.49%……由以上表格數(shù)據(jù)知，無變位時一定油位高度下儲油量實測值與理論值相差不大，相對誤差均為3.49%，即橢圓平頭儲油罐進入或輸出100L油中會有3.5L誤差。2）縱向傾斜4.1°時進出油時油位高度一定時儲油量理論值令，根據(jù)公式用MATLAB進行求解得到理論計算值與實測值對比情況。

表3傾斜變位4.1°時出油時理論計算值與實測值對比流水號累加進油量/L油位高度/mm油量理論油量差值相對誤差211747.86411.29962.861005.7942.934.46%212797.86423.451012.861054.3241.464.09%213847.86438.331062.861114.3351.474.84%214897.86450.541112.861164.0651.204.60%215947.86463.91162.861218.9256.064.82%216997.86477.741212.861276.2263.365.22%……2402197.73761.552412.732499.5286.793.60%2412247.73773.432462.732550.4787.743.56%2422297.73785.392512.732601.5788.843.54%2432347.73796.042562.732646.8984.163.28%2442397.73808.272612.732698.6885.953.29%2452447.73820.82662.732751.4688.733.33%2462497.73832.82712.732801.7188.983.28%2472547.73844.472762.732850.2787.543.17%2482597.73856.292812.732899.1386.403.07%2492647.73867.62862.732945.5482.812.89%……表4傾斜變位4.1°出油時理論計算值與實測值對比流水號累加出油量/L油位高度/mm油量/L理論油量/L絕對誤差/L相對誤差311501020.653464.743530.2265.481.89%3121001007.733414.743484.8070.062.05%313150994.323364.743436.7572.012.14%314200980.963314.743388.0073.262.21%……3431650635.761864.741953.1588.414.74%3441700624.611814.741904.5889.844.95%3451750612.531764.741852.0387.294.95%3461800600.691714.741800.5985.855.01%3471850589.41664.741751.6486.905.22%……3572350465.971164.741227.4662.725.38%3582400452.41114.741171.6756.935.11%3592450439.981064.741121.0356.295.29%3602500425.831014.741063.8849.144.84%3612550411.73964.741007.5442.804.44%由以上表格數(shù)據(jù)可以看出，最大相對誤差為5.38%。4.2.3模型結(jié)果分析由以上計算知道無變位進出油時根據(jù)積分模型計算的理論值與實測值的相對誤差較小而且均為3.49%；縱向傾斜4.1°時，相對誤差隨著油位高度的增加而增加，最高達到5%。這是可以解釋的，當油位高度較小時，總?cè)莘e也小，即分母小，得出的百分數(shù)（相對誤差）就大。而油位高度較大時，總?cè)莘e較大，即分母大，相對誤差較小。由以上的計算可以知道，積分模型得到的儲油量與油位高度之間的關系與實際情況相比較，存在差異。這可能是測量誤差、油罐溫度、容器壁厚等因素造成的，積分模型并不能反映這些因素，因此用擬合的方法數(shù)據(jù)進行非線性回歸。4.3非線性回歸模型的建立1）模型的分析：由對橢圓平頭儲油罐進行試驗所得實測數(shù)據(jù)可以知道每次測量時儲油罐里儲油量。而問題一中欲求的罐容表即為罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系。因此，模型二以罐體儲油量值和相應的罐內(nèi)油位高度兩組實測數(shù)據(jù)為基礎，通過多項式擬合的方式建立起儲油量值與油位高度之間的函數(shù)關系，并進行相應的圖像分析和殘差檢驗。在積分模型中，已經(jīng)求出了罐體的儲油量值與罐內(nèi)油位高度之間的關系。但是由于實際中溫度、容器壁厚、容器壁油垢等等因素的影響，所得函數(shù)值與實際值之間存在差異。因此，模型二中保持積分模型中的方程形式，以罐體儲油量和相應的罐內(nèi)油位高度兩組實測數(shù)據(jù)為基礎，采用非線性擬合的方式來確定變量系數(shù)，建立起儲油量值與油位高度之間的函數(shù)關系，建立非線性回歸模型。模型建立后將原表中的油位高度代入方程，得到計算的罐內(nèi)儲油量，與實際的儲油量進行相對誤差和絕對誤差的比較，并做出殘差圖。然后與積分建立的模型一進行對比，選擇其中較好的作為最終模型。為了說明保持原方程形式的好處，可以同時采用多項式擬合，并進行比較。2）模型的建立：由假設4知，同一狀態(tài)下同一儲油罐進出油時同一儲油量對應同一油位高度。故分別將無變位和有變位情況下進油、出油兩張表格的數(shù)據(jù)綜合在一起考慮。運用非線性擬合方法，對無變位和有變位兩種情況的儲油量和罐內(nèi)油位高度進行擬合，得到儲油量和油位高間的函數(shù)關系。擬合采用MATLAB7.1編程實現(xiàn)。首先，做出無變位與有變位情況下罐內(nèi)儲油量與油位高度之間的散點圖。由散點圖可以看出兩種情況下的曲線都是近似是一條直線，但是仔細觀察發(fā)現(xiàn)曲線更像一個S形，只是彎曲比較緩和。圖4無變位數(shù)據(jù)散點圖圖5有變位數(shù)據(jù)散點圖在無變位情況下，對保持原方程形式和多項式兩種類型做非線性擬合，采用MATLAB7.1編程。得到如下的擬合曲線圖、擬合殘差圖和相應的系數(shù)區(qū)間估計表。圖6無變位原形式擬合曲線圖圖7無變位多項式擬合曲線圖圖8無變位原形式擬合殘差圖圖9無變位多項式擬合殘差圖表5無變位進出油殘差平方和表殘差平方和（Q值）無變位原形式擬合3.053920777456220e-004無變位多項式擬合0.2045由擬合曲線圖來看，兩種擬合方式都和散點圖的形式比較接近，幾乎不能判斷那個更好。但是從殘差圖可以看出，保持原方程形式擬合得到的函數(shù)的殘差值最大為，即6L，而用多項式擬合得到的函數(shù)的殘差值大部分都超出了，即50L。進一步對殘差求平方和，如表10，可以直觀的看出無變位原形式擬合的Q值遠遠小于多項式擬合的Q值。很明顯保持原方程形式擬合比用多項式擬合要好，殘差更小。接著看參數(shù)的點估計和區(qū)間估計，兩種擬合得到的參數(shù)估計都沒有跨零點，都是可行的。但是保持原方程形式的擬合的參數(shù)區(qū)間比直接用多項式擬合的參數(shù)區(qū)間在95%下的置信區(qū)間更小，更精確。這也從一個側(cè)面說明保持原方程形式進行估計的優(yōu)越性。表6無變位擬合系數(shù)區(qū)間估計表點估計區(qū)間估計（ci）系數(shù)beta1-3.71336819256704-3.73685191875188-3.68988446638220系數(shù)beta23.253766483829453.227341718628733.28019124903018系數(shù)beta3-0.64259516192071-0.65383225075641-0.63135807308501系數(shù)beta45.510529179374985.465894506369695.55516385238027表7無變位多項式擬合系數(shù)區(qū)間估計表點估計區(qū)間估計（ci）系數(shù)beta1-0.2984-0.3910-0.2058系數(shù)beta24.30234.18194.4228系數(shù)beta3-0.4748-0.5101-0.4395于是將采用保持原方程形式擬合得到的函數(shù)值與實際值進行相對誤差和絕對誤差的分析。表8無變位進、出油時擬合值與實測值之間的絕對誤差和相對誤差流水號油位高度/mm實測油量/L理論值/L絕對誤差/L相對誤差11159.02312.0030751.75%12176.14362.0035930.88%13192.59412.0041110.35%14208.5462.0046200.02%15223.93512.00513-1-0.17%16238.97562.00564-2-0.28%17253.66612.00614-2-0.34%18268.04662.00664-2-0.36%………………181193.94416.1941510.32%182177.54366.1936330.83%183160.48316.1931151.67%184142.62266.1925883.06%從表格數(shù)據(jù)可以看出，絕對誤差和相對誤差比用積分模型求得時都要小的多。此時函數(shù)方程為：有變位情況情況下，對保持原方程形式和多項式兩種類型做非線性擬合，采用MATLAB7.1編程。得到如下的擬合曲線圖、擬合殘差圖和相應的系數(shù)區(qū)間估計表。圖10有變位積分形式擬合曲線圖圖11有變位多項式擬合曲線圖圖12有變位原形式擬合殘差圖圖13有變位多項式擬合殘差圖表9有變位殘差平方和表殘差平方和（Q值）有變位擬合0.00120692524768有變位多項式擬合0.01744749705805表10有變位擬合系數(shù)區(qū)間估計表點估計區(qū)間估計（ci）系數(shù)beta14.163119588513984.126134707723494.20010446930447系數(shù)beta2-0.71234751200793-0.87422534196807-0.55046968204780系數(shù)beta33.769101271759143.426363487118904.11183905639937系數(shù)beta4-4.52713025398059-4.81653856996605-4.23772193799512表15傾斜變位進、出油時擬合值與實測值對比流水號油位高度/mm實測油量/L擬合油量/L絕對誤差/L相對誤差211411.29962.86959.26-3.600.37%212423.451012.861004.69-8.170.81%213438.331062.861061.01-1.850.17%214450.541112.861107.80-5.060.45%………………241773.432462.732460.11-2.620.11%242785.392512.732511.79-0.940.04%243796.042562.732557.72-5.010.20%244808.272612.732610.34-2.390.09%245820.802662.732664.091.360.05%246832.802712.732715.372.640.10%247844.472762.732765.032.300.08%248856.292812.732815.082.350.08%249867.602862.732862.70-0.030.00%………………317941.543164.743165.220.480.02%318929.693114.743118.023.280.11%319916.443064.743064.58-0.160.01%320904.143014.743014.41-0.330.01%321891.902964.742964.00-0.740.02%322879.232914.742911.37-3.370.12%323868.992864.742868.543.800.13%324855.132814.742810.18-4.560.16%325844.022764.742763.12-1.620.06%………………表11有變位多項式擬合區(qū)間估計表點估計區(qū)間估計（ci）系數(shù)beta1-0.04528568475372-0.131576485309820.04100511580238系數(shù)beta24.255281424118694.129732540811494.38083030742589系數(shù)beta3-0.80984328683293-0.85346611262622-0.76622046103963由擬合曲線圖來看，兩種擬合方式都和散點圖的形式比較接近，幾乎不能判斷那個更好。但是從殘差圖可以看出，保持原方程形式擬合得到的函數(shù)的殘差值最大為，即10L，而用多項式擬合得到的函數(shù)的殘差值大部分都超出了，即40L。進一步對殘差求平方和，如表21，可以直觀的看出無變位原形式擬合的Q值小于多項式擬合的Q值，說明保持原方程形式擬合比用多項式擬合要好。得到函數(shù)關系式：（3）4.4對罐容表進行標定用（3）對間隔為1cm的油位高度標定。即當油高分別為1cm、2cm、…、120cm時對應的儲油量。用MATLAB7.1計算得到表12間隔為1cm的罐容表標定值油高/cm12345678910油量/L0001.36.914.423.734.646.960.6油高/cm11121314151617181920油量/L75.691.9109.3127.8147.3167.8189.3211.8235.1259.2油高/cm21222324252627282930油量/L284.2310336.5363.7391.7420.3449.6479.5510.1541.2油高/cm31323334353637383940油量/L572.9605.2638671.3705.1739.4774.1809.4845881.1油高/cm41424344454647484950油量/L917.6954.5991.81029.41067.41105.71144.41183.41222.71262.3油高/cm51525354555657585960油量/L1302.21342.31382.71423.41464.31505.41546.71588.316301672油高/cm61626364656667686970油量/L1714.11756.31798.71841.318841926.81969.72012.72055.82098.9油高/cm71727374757677787980油量/L2142.22185.42228.722722315.42358.724022445.32488.62531.7油高/cm81828384858687888990油量/L2574.82617.82660.72703.52746.12788.52830.82872.82914.62956.2油高/cm919293949596979899100油量/L2997.53038.43079.13119.33159.23198.63237.632763313.93351.3油高/cm101102103104105106107108109110油量/L3387.93423.93459.23493.63527.23559.93591.63622.23651.63679.8油高/cm111112113114115116117118119120油量/L3706.737323755.93777.93798.23816.53832.53846.33857.43865.8

五、問題二積分模型的建立及變位參數(shù)的確定5.1模型的建立5.1.1計算變位后油位高度與無變位時的油位高度之間的關系。因為橫向偏轉(zhuǎn)和縱向傾斜時相互獨立的，故依次考慮只發(fā)生傾斜、偏轉(zhuǎn)時油位高度、與無變位油位高度之間的關系，求出它們之間的增量、，由及增量可得到無變位時油位高度。1)計算儲油罐圓柱體縱向傾斜角后油位高度與之間的關系。由問題一的計算知所以縱向傾斜角油位高度變化增量為2)計算儲油罐直圓罐體橫向偏轉(zhuǎn)角油位高度與關系。圖14偏轉(zhuǎn)角關系示意圖圖15液面變化示意圖如圖14，儲油罐截面中心由位置繞O點旋轉(zhuǎn)角度到，在圖15中表示旋轉(zhuǎn)前后油浮子的讀數(shù)變化。由幾何關系，不難得到所以橫向偏轉(zhuǎn)角時油位高度變化增量為3)計算儲油罐直圓部分縱向傾斜角、橫向偏轉(zhuǎn)角后油位高度，H為未發(fā)生偏轉(zhuǎn)和傾斜時的油位高度。因為偏轉(zhuǎn)和傾斜都是轉(zhuǎn)化成無變位時的油位高度，所以等效計算的高度相等，即所以5.1.2無變位狀態(tài)下儲油罐儲油量與油高H之間的關系：1).求無變位狀態(tài)下圓柱體體積與H之間的關系如圖16,高度為時，圓柱體內(nèi)的儲油量為計算得儲油罐圓筒部分的總?cè)莘e為，2).求無變位狀態(tài)下儲油罐球冠體與H之間的關系圖16無變位狀態(tài)下球冠體正視圖圖17無變位狀態(tài)下球冠體正視圖側(cè)視圖如圖16建立坐標系，設球冠部分球面半徑為R，切面圓半徑為r，圓心到球心距離為，球冠深度為，則有關系，，球冠部分球面方程為，所以，容器內(nèi)液面高度為時，儲油罐兩端球冠體部分的體積為所以球冠部分總?cè)莘e為3)無變位狀態(tài)下儲油罐儲油量與油高H之間的關系：所以，油量Ｖ與油位高度、傾斜角、偏轉(zhuǎn)角之間的關系為（4）5.1.3傾斜偏轉(zhuǎn)變位與之間的關系令（4）式中（r=1.5，R=1.625，=1），即可得到儲油量V與油位高度、傾斜角、偏轉(zhuǎn)角之間的關系。5.2確定參數(shù)和由上面建立的積分模型知道，罐內(nèi)油量V是油位高度H的函數(shù)，而H又與油位高度、傾斜角、偏轉(zhuǎn)角相互關聯(lián)，因而罐內(nèi)油量V應該是油位高度、傾斜角、偏轉(zhuǎn)角的多元函數(shù)關系式。但是實際所給只是油量V和油位高度h的數(shù)據(jù)，理論上要確定參數(shù)和是可行的，但由于油量V和油位高度h之間函數(shù)關系的復雜性，和的值并不能由函數(shù)方程直接求得。換另一種思路，可以把油量V和油位高度h的函數(shù)關系進行Taylor展開，將復雜的非線性函數(shù)進行適當?shù)暮喕纱髮W微積分知識可知這種簡化是可行的。從而可得到一個關于、和h的化簡后的多項式函數(shù)。和是待定的系數(shù)，利用所給的數(shù)據(jù)用MATLAB進行非線性擬合，同時返回擬合后的點估計，即函數(shù)系數(shù)項，這是關于和的函數(shù)，反解即可得到和。按照以上思路，對數(shù)據(jù)進行處理得到最終的參數(shù)值為：=2.57°，=4.82°。5.3罐容表標定：確定變位參數(shù)和后，由油位高度h可以得到無變位狀態(tài)下垂直油面高度H，這樣就得到了儲油量的標定值。計算表格如下：表13間隔為10cm的罐容表標定油高/cm102030405060708090100油量/L425.48081622.7483084.0014779.8526683.0978768.53211012.7713394.0515892.0718487.81油高/cm110120130140150160170180190200油量/L21163.3223901.5626686.2329501.5632332.1435162.7437978.1340762.8943501.2446176.84油高/cm210220230240250260270280290300油量/L48772.6351270.6353651.7655895.6757980.5559882.9561577.5963037.1964232.2765131.015.4模型的檢驗模型建立中，對兩端球冠體的體積計算進行了相應的簡化，將變位后的球冠體的體積仍然看成是無變位情況進行積分，這樣雖然使得模型的建立相對變得簡單和模型變得簡潔，但同時可能降低了模型的精確性和可信度。但是由上面的計算和表格可看出簡化后的模型的絕對誤差和相對誤差都比較小。為了進一步說明這種簡化是合理可行的，對實驗所給的數(shù)據(jù)進行多項式擬合。圖18由公式4求得的理論值慘插圖圖19多項式擬合殘差圖表14多項式擬合系數(shù)區(qū)間估計表點估計區(qū)間估計（ci）系數(shù)beta1-0.15167810096636-0.15254860866612-0.15080759326659系數(shù)beta21.136181292199591.129565651745621.14279693265356系數(shù)beta3-5.93514001307895-5.95421291445464-5.91606711170326系數(shù)beta416.4899070458964916.4640790957235916.51573499606938系數(shù)beta57.424592403075827.408340945550447.44084386060119系數(shù)beta6-0.47605450932377-0.47981396603053-0.47229505261701運用多項式擬合得到的函數(shù)的點估計都沒有跨零點，系數(shù)是可信的。殘差平方和Q=2.718042890188523e-004，可見擬合的效果是比較好的?，F(xiàn)分別做出積分方程模型和擬合多項式模型的殘差圖，如下圖，比較兩殘差圖可以看出，用積分模型得到的殘差最大為左右，而由擬合多項式得到的殘差最大為0.015，相對來說比積分模型要大。這說明積分模型是可靠的，對兩端球冠體的近似處理的可行且可靠的。

六、模型的評價與推廣6.1模型的評價：1）問題一中建立的積分模型對縱向傾斜變位具有很強的適用性。可以得出任意傾斜角度下儲油量與油位高度之間的函數(shù)關系。但是得出的理論值與實測值存在相對誤差，該誤差可能來源與測量誤差、溫度等外界因素影響，而積分模型沒有考慮這些因素，因此在函數(shù)關系的基礎上建立非線性回歸模型，得到回歸方程，經(jīng)檢驗，此方程比積分方程更好地擬合了實測數(shù)據(jù)。2）問題二中建立的積分方程得出了油量與油位高度、變位參數(shù)之間的關系，該模型函數(shù)關系過于復雜，不利于求解。因此對模型進行簡化，積分過程中對兩端球冠油量不考慮變位帶來的影響，通過對實際數(shù)據(jù)進行多項式擬合，并進行殘差檢驗，得出這種簡化是可行的。6.2模型的推廣：本文中針對各問題建立的模型可以應用推廣于解決其它類似問題，如：問題一中的積分模型，該模型適用于任何傾斜或不傾斜的平頂直圓筒的體積計算。問題一中的非線性回歸模型，該模型還可適用于其他的對實驗數(shù)據(jù)的對比處理和擬合預測等方面。七、參考文獻[1]蔣心亞，宗光，各種形狀封頭的圓筒形臥式容器在不同液面高度時液體體積計算的統(tǒng)一表達式，化學設備與管道，第39卷：30-34，2003[2]田鐵軍，傾斜臥式罐直圓筒部分的容積計算，現(xiàn)代計量測試，第五期：32-36，1999[3]劉衛(wèi)國，MATLAB程序設計與應用（第二版），北京：高等教育出版社，2006年7月[4]劉軍英劉碧玉韓旭里，微積分（上冊），北京：科學出版社，2008年7月第二版附錄附錄一：程序部分1.無變位原形式擬合的源程序代碼：x=textread('無變位進出油油位高度.txt');y=textread('無變位進出油總油量.txt');figureplot(x,y,'-gd');title('原數(shù)據(jù)散點圖')b0=[0000];%初始值[beta1,r1,j1]=nlinfit(x,y,@myfun,b0);beta1%擬合系數(shù)項ci1=nlparci(beta1,r1,j1)%輸出預測值、殘差及置信區(qū)間nlintool(x,y,@myfun,b0);%繪制非線性擬合曲線圖figureplot(x,r1,'--rp');%繪制殘差圖title('擬合殘差圖')holdonQ1=sum(r1.^2)%殘差平方和functionf=myfun(beta,x)f=beta(1)*x.^2+beta(2).*x+beta(3).*sqrt(x)+beta(4).*sin(x).*x;2.有變位原形式擬合的源程序代碼：x=textread('有變位進出油油位高度.txt');y=textread('有變位進出油總油量.txt');figureplot(x,y,'-gd');title('原數(shù)據(jù)散點圖')pause(5)holdonb0=[0000];%初始值[beta,r,j]=nlinfit(x,y,@myfun1,b0);betaci=nlparci(beta,r,j)%輸出預測值、殘差及置信區(qū)間nlintool(x,y,@myfun1,b0);%繪制非線性擬合曲線圖figureplot(x,r,'--rp');%繪制殘差圖title('擬合殘差圖')holdonQ=sum(r.^2)functionf=myfun1(beta,x)f=beta(1)*x.^2+beta(2).*x+(beta(3).*sqrt(x)+beta(4).*sin(x).*sqrt(x)).*tan(x);3.有變位多項式擬合的源程序代碼：x=textread('有變位進出油油位高度.txt');y=textread('有變位進出油總油量.txt');figureplot(x,y,'-gd');title('原數(shù)據(jù)散點圖')pause(5)holdonb0=[000];%初始值[beta,r,j]=nlinfit(x,y,@myfun2,b0);betaci=nlparci(beta,r,j)%輸出預測值、殘差及置信區(qū)間nlintool(x,y,@myfun2,b0);%繪制非線性擬合曲線圖figureplot(x,r,'--rp');%繪制殘差圖title('擬合殘差圖')holdonQ=sum(r.^2)functionf=myfun2(beta,x)f=beta(1)*x.^2+beta(2).*x+beta(3);4.無變位多項式擬合的源程序代碼：x=textread('無變位進出油油位高度.txt');y=textread('無變位進出油總油量.txt');figureplot(x,y,'-gd');title('原數(shù)據(jù)散點圖')b0=[0000];%初始值[beta1,r1,j1]=nlinfit(x,y,@myfun,b0);beta1%擬合系數(shù)項ci1=nlparci(beta1,r1,j1)%輸出預測值、殘差及置信區(qū)間nlintool(x,y,@myfun,b0);%繪制非線性擬合曲線圖figureplot(x,r1,'--rp');%繪制殘差圖title('擬合殘差圖')holdonQ1=sum(r1.^2)%殘差平方和functionf=myfun2(beta,x)f=beta(1)*x.^2+beta(2).*x+beta(3);5.分段擬合的源程序代碼：x=textread('無變位進出油油位高度.txt');y=textread('無變位進出油總油量.txt');figureplot(x,y,'-gd');title('原數(shù)據(jù)散點圖')pause(5)z1=find(x<0.6);x1=x(z1);s=size(x1,1);y1=y(1:s);b0=[0000];%初始值[beta1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,@myfun,b0);beta1%擬合系數(shù)項%r%[yp,d]=nlperdci(@myfun,x,beta,r,j,0.05);ci1=nlparci(beta1,r1,j1)%輸出預測值、殘差及置信區(qū)間nlintool(x1,y1,@myfun,b0);%繪制非線性擬合曲線圖figureplot(x1,r1,'--rp');%繪制殘差圖title('擬合殘差圖')holdonQ1=sum(r1.^2)%殘差平方和%z2=find(x>=0.6);x2=x(z2);y2=y(s+1:end);b0=[00000];%初始值[beta2,r2,j2]=nlinfit(x2,y2,@myfun_1,b0);beta2%擬合系數(shù)項ci2=nlparci(beta2,r2,j2)%輸出預測值、殘差及置信區(qū)間nlintool(x2,y2,@myfun_1,b0);%繪制非線性擬合曲線圖%subplot(2,1,2)figureplot(x2,r2,'--rp');%繪制殘差圖title('擬合殘差圖')holdonQ2=sum(r2.^2)%殘差平方和6.有無變位同高度下油量計算程序：x=textread('相對誤差.txt');y=textread('同高度下無變位油量.txt');formatlongfigureplot(x,y,'-gd');title('原數(shù)據(jù)散點圖')%pause(5)holdonb0=[000];%初始值[beta,r,j]=nlinfit(x,y,@myfun3,b0);betaci=nlparci(beta,r,j)%輸出預測值、殘差及置信區(qū)間nlintool(x,y,@myfun3,b0);%繪制非線性擬合曲線圖figureplot(x,r,'--rp');%繪制殘差圖title('擬合殘差圖')holdonQ=sum(r.^2)formatshortfunctionf=myfun3(beta,x)f=beta(1).*x.^2+beta(2).*sin(x).*sqrt(x)+beta(3);7.變?yōu)閰?shù)估計源程序代碼：v=textread('kk1.txt');h=[];fori=1:size(v)vs=v(i);f=qiujie(vs);h=[h,f];endfunctionf=qiujie(vs)%symsvH%v=vs;%f=solve('vs=18*3.14-8*sqrt(3*H-H^2)*(H-1.5)-18*asin(sqrt(3*H-H^2)/1.5)+4.15*H-0.52*H^3-1.25*H*sqrt(2.25-H^2)/3-1.57*atan(H/sqrt(2.25-H^2))-(H^3-7.92*H)/3*atan(0.625/sqrt(2.25-H^2))+2.86*atan(0.38*H/sqrt(2.25-H^2))','H')%f=eval(H)k=sym('vs=18*3.14-8*sqrt(3*H-H^2)*(H-1.5)-18*asin(sqrt(3*H-H^2)/1.5)+4.15*H-0.52*H^3-1.25*H*sqrt(2.25-H^2)/3-1.57*atan(H/sqrt(2.25-H^2))-(H^3-7.92*H)/3*atan(0.625/sqrt(2.25-H^2))+2.86*atan(0.38*H/sqrt(2.25-H^2))');s=solve(k)f=eval(s)x=textread('顯示油高.txt');y=textread('顯示油量容積.txt');formatlongfigureplot(x,y,'-gd');title('散點圖')%pause(5)holdonb0=[00];[beta,r,j]=nlinfit(x,y,@myfun22,b0);betaci=nlparci(beta,r,j)nlintool(x,y,@myfun22,b0);figureplot(x,r,'--rp');title('殘差圖')holdonQ=sum(r.^2)functionf=myfun22(beta,x)f=x*cos(beta(1))+1.5-1.5*cos(beta(1))+2*tan(beta(2))*cos(beta(1));

附錄二：表格部分表1無變位進油理論計算值與實測值對比流水號累加進油量/L油位高度/mm實測值/L理論值/L絕對誤差/L相對誤差1150159.02312.00322.8810.883.49%12100176.14362.00374.6312.633.49%13150192.59412.00426.3614.363.49%14200208.5462.00478.1316.133.49%15250223.93512.00529.8517.853.49%16300238.97562.00581.6119.613.49%17350253.66612.00633.3521.353.49%18400268.04662.00685.0823.083.49%19450282.16712.00736.8524.853.49%20500296.03762.00788.5826.583.49%21550309.69812.00840.3328.333.49%22600323.15862.00892.0630.063.49%23650336.44912.00943.831.803.49%24700349.57962.00995.5433.543.49%25750362.561012.001047.335.303.49%26800375.421062.001099.0537.053.49%27850388.161112.001150.8138.813.49%28900400.791162.001202.5540.553.49%29950413.321212.001254.2942.293.49%301000425.761262.001306.0344.033.49%311050438.121312.001357.7745.773.49%321100450.41362.001409.4947.493.49%331150462.621412.001461.2449.243.49%341200474.781462.001512.9850.983.49%351250486.891512.001564.7452.743.49%361300498.951562.001616.4954.493.49%371350510.971612.001668.2456.243.49%381400522.951662.001719.9857.983.49%391450534.91712.001771.7359.733.49%401500546.821762.001823.4661.463.49%411550558.721812.001875.1963.193.49%421600570.611862.001926.9564.953.49%431650582.481912.001978.6866.683.49%441700594.351962.002030.4368.433.49%451750606.222012.002082.270.203.49%461800618.092062.002133.9571.953.49%471850629.962112.002185.6773.673.49%481900641.852162.002237.4375.433.49%491950653.752212.002289.1677.163.49%502000665.672262.002340.8978.893.49%512050677.632312.002392.6780.673.49%522053.83678.542315.832396.6180.783.49%532103.83690.532365.832448.3782.543.49%542105.06690.822367.062449.6282.563.49%552155.06702.852417.062501.484.343.49%562205.06714.912467.062553.1186.053.49%572255.06727.032517.062604.8887.823.49%582305.06739.192567.062656.5989.533.49%592355.06751.422617.062708.3491.283.49%602404.98763.72666.982760.0193.033.49%612406.83764.162668.832761.9493.113.49%622456.83776.532718.832813.6694.833.49%632506.83788.992768.832865.4296.593.49%642556.83801.542818.832917.1798.343.49%652606.83814.192868.832968.92100.093.49%662656.83826.952918.833020.67101.843.49%672706.83839.832968.833072.41103.583.49%682756.83852.843018.833124.14105.313.49%692806.838663068.833175.89107.063.49%702856.83879.323118.833227.63108.803.49%712906.83892.823168.833279.38110.553.49%722906.91892.843168.913279.46110.553.49%732956.91906.533218.913331.18112.273.49%743006.91920.453268.913382.94114.033.49%753056.91934.613318.913434.67115.763.49%763106.91949.053368.913486.43117.523.49%773156.91963.83418.913538.17119.263.49%783206.91978.913468.913589.92121.013.49%793256.91994.433518.913641.67122.763.49%803306.911010.433568.913693.42124.513.49%813356.911026.993618.913745.14126.233.49%823406.911044.253668.913796.89127.983.49%833456.911062.373718.913848.65129.743.49%843506.911081.593768.913900.39131.483.49%853556.911102.333818.913952.14133.233.49%863606.911125.323868.914003.86134.953.49%873656.911152.363918.914055.61136.703.49%883706.911193.493968.914107.36138.453.49%表2無變位出油時理論值與實測值之間的絕對誤差和相對誤差流水號累加出油量/L油位高度/mm實測值/L理論值/L絕對誤差/L相對誤差11152.721150.723916.194052.80136.613.49%112102.721123.993866.194001.05134.863.49%113152.721101.153816.193949.32133.133.49%114202.721080.513766.193897.57131.383.49%115252.721061.363716.193845.84129.653.49%116302.721043.293666.193794.07127.883.49%117352.721026.083616.193742.35126.163.49%118402.721009.543566.193690.58124.393.49%119452.72993.573516.193638.84122.653.49%120502.72978.083466.193587.11120.923.49%121552.72962.993416.193535.36119.173.49%122602.72948.263366.193483.62117.433.49%123652.72933.843316.193431.89115.703.49%124702.72919.693266.193380.13113.943.49%125752.72905.783216.193328.37112.183.49%126802.72892.103166.193276.64110.453.49%127852.72878.613116.193224.89108.703.49%128902.72865.303066.193173.15106.963.49%129952.72852.153016.193121.41105.223.49%1301002.72839.142966.193069.65103.463.49%1311052.72826.272916.193017.92101.733.49%1321102.72813.522866.192966.19100.003.49%1331152.72800.872816.192914.4298.233.49%1341202.72788.332766.192862.6996.503.49%1351252.72775.882716.192810.9594.763.49%1361302.72763.512666.192759.2193.023.49%1371352.72751.212616.192707.4591.263.49%1381402.72738.982566.192655.7089.513.49%1391452.72726.812516.192603.9587.763.49%1401502.72714.702466.192552.2286.033.49%1411552.72702.642416.192500.4984.303.49%1421602.72690.612366.192448.7282.533.49%1431652.72678.632316.192396.9980.803.49%1441702.72666.682266.192345.2679.073.49%1451752.72654.752216.192293.5177.323.49%1461802.72642.842166.192241.7475.553.49%1471852.72630.962116.192190.0373.843.49%1481902.72619.082066.192138.2772.083.49%1491952.72607.212016.192086.5170.323.49%1502002.72595.351966.192034.7968.603.49%1512052.72583.481916.191983.0466.853.49%1522102.72571.611866.191931.3165.123.49%1532152.72559.721816.191879.5463.353.49%1542202.72547.821766.191827.8061.613.49%1552252.72535.901716.191776.0759.883.49%1562302.72523.951666.191724.3158.123.49%1572352.72511.971616.191672.5656.373.49%1582402.72499.961566.191620.8354.643.49%1592452.72487.901516.191569.0652.873.49%1602502.72475.801466.191517.3351.143.49%1612552.72463.651416.191465.6149.423.49%1622602.72451.431366.191413.8447.653.49%1632652.72439.151316.191362.1045.913.49%1642702.72426.801266.191310.3744.183.49%1652752.72414.361216.191258.6142.423.49%1662802.72401.841166.191206.8740.683.49%1672852.72389.221116.191155.1338.943.49%1682902.72376.491066.191103.3837.193.49%1692952.72363.641016.191051.6235.433.49%1703002.72350.67966.19999.9033.713.49%1713052.72337.55916.19948.1531.963.49%1723102.72324.27866.19896.3930.203.49%1733152.72310.82816.19844.6428.453.49%1743202.72297.18766.19792.9026.713.49%1753252.72283.33716.19741.1824.993.49%1763302.72269.24666.19689.4423.253.49%1773352.72254.88616.19637.7021.513.49%1783402.72240.21566.19585.9319.743.49%1793452.72225.21516.19534.2118.023.49%1803502.72209.81466.19482.4716.283.49%1813552.72193.94416.19430.6914.503.48%1823602.72177.54366.19378.9612.773.49%1833652.72160.48316.19327.2111.023.48%1843702.72142.62266.19275.479.283.49%

表3傾斜變位4.1°時出油時理論值與實測值對比流水號累加出油量/L油位高度/mm實測值/L理論值/L絕對誤差/L相對誤差11152.721150.723916.194052.80136.613.49%112102.721123.993866.194001.05134.863.49%113152.721101.153816.193949.32133.133.49%114202.721080.513766.193897.57131.383.49%115252.721061.363716.193845.84129.653.49%116302.721043.293666.193794.07127.883.49%117352.721026.083616.193742.35126.163.49%118402.721009.543566.193690.58124.393.49%119452.72993.573516.193638.84122.653.49%120502.72978.083466.193587.11120.923.49%121552.72962.993416.193535.36119.173.49%122602.72948.263366.193483.62117.433.49%123652.72933.843316.193431.89115.703.49%124702.72919.693266.193380.13113.943.49%125752.72905.783216.193328.37112.183.49%126802.72892.103166.193276.64110.453.49%127852.72878.613116.193224.89108.703.49%128902.72865.303066.193173.15106.963.49%129952.72852.153016.193121.41105.223.49%1301002.72839.142966.193069.65103.463.49%1311052.72826.272916.193017.92101.733.49%1321102.72813.522866.192966.19100.003.49%1331152.72800.872816.192914.4298.233.49%1341202.72788.332766.192862.6996.503.49%1351252.72775.882716.192810.9594.763.49%1361302.72763.512666.192759.2193.023.49%1371352.72751.212616.192707.4591.263.49%1381402.72738.982566.192655.7089.513.49%1391452.72726.812516.192603.9587.763.49%1401502.72714.702466.192552.2286.033.49%1411552.72702.642416.192500.4984.303.49%1421602.72690.612366.192448.7282.533.49%1431652.72678.632316.192396.9980.803.49%1441702.72666.682266.192345.2679.073.49%1451752.72654.752216.192293.5177.323.49%1461802.72642.842166.192241.7475.553.49%1471852.72630.962116.192190.0373.843.49%1481902.72619.082066.192138.2772.083.49%1491952.72607.212016.192086.5170.323.49%1502002.72595.351966.192034.7968.603.49%1512052.72583.481916.191983.0466.853.49%1522102.72571.611866.191931.3165.123.49%1532152.72559.721816.191879.5463.353.49%1542202.72547.821766.191827.8061.613.49%1552252.72535.901716.191776.0759.883.49%1562302.72523.951666.191724.3158.123.49%1572352.72511.971616.191672.5656.373.49%1582402.72499.961566.191620.8354.643.49%1592452.72487.901516.191569.0652.873.49%1602502.72475.801466.191517.3351.143.49%1612552.72463.651416.191465.6149.423.49%1622602.72451.431366.191413.8447.653.49%1632652.72439.151316.191362.1045.913.49%1642702.72426.801266.191310.3744.183.49%1652752.72414.361216.191258.6142.423.49%1662802.72401.841166.191206.8740.683.49%1672852.72389.221116.191155.1338.943.49%1682902.72376.491066.191103.3837.193.49%1692952.72363.641016.191051.6235.433.49%1703002.72350.67966.19999.9033.713.49%1713052.72337.55916.19948.1531.963.49%1723102.72324.27866.19896.3930.203.49%1733152.72310.82816.19844.6428.453.49%1743202.72297.18766.19792.9026.713.49%1753252.7228