材料力學(xué)馬紅艷材力

材力11-327內(nèi)容 圖乘法11.6

互等定理要求 掌握?qǐng)D乘法

,互等定理練習(xí) 圖乘法5，思考互等5作業(yè)

11-

19(a)

，21(a)，32F1F2

Fn平衡結(jié)構(gòu)在虛位移中，外力虛功等于桿件的虛應(yīng)變能。虛功原理

QNM

d

T

d

F

d

F

d

l

Fi

Δi

1Δ2ΔnΔ原問(wèn)題:求Δ加單位力KΔα實(shí)際位移狀態(tài)作為虛位移單位載荷法1

Δ

F

dl

M

d

T

d

FQ

d

1KΔαd(⊿l

)FNFNdxF

d

x

N

EAdΔl

EIM

d

xd

PT

d

xd

GIEAd

x

MM

d

x

TT

d

xEI

GIPΔ

FN

FNdxTdφMohr積分對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)

MM

d

x

M

CMohr積分等于載荷彎矩圖的面積ω乘以它的形心坐標(biāo)處的單位力彎矩值M

C

.此結(jié)論可以推廣到其他內(nèi)力的Mohr積分計(jì)算。xMxxcCωMM

C圖乘法虛功原理單位載荷法導(dǎo)出莫爾積分（線彈性）非線彈性圖乘法（等剛度直桿)其他單位載荷法的思想：不在原結(jié)構(gòu)上計(jì)算位移，而是另取一個(gè)結(jié)構(gòu)，上面只有單位力作用。運(yùn)用虛功原理，虛位移取原問(wèn)題的實(shí)際位移。Mohr積分是單位載荷法在線彈性結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用，其要點(diǎn)為：構(gòu)造一個(gè)虛力狀態(tài)，計(jì)算出單位力引起的內(nèi)力方程FN

,M

,FQ

,T.計(jì)算原結(jié)構(gòu)中實(shí)際載荷引起的內(nèi)力方程FN

,M,FQ

,T

.對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)計(jì)算Mohr積分。圖乘法是Mohr

積分的一種簡(jiǎn)單算法，適用于等剛度直桿。要點(diǎn)為：繪原結(jié)構(gòu)在實(shí)際載荷作用下的內(nèi)力圖。繪單位力作用下的內(nèi)力圖。圖乘：Mohr積分等于載荷內(nèi)力圖的面積，乘以它的形心坐標(biāo)處的單位力內(nèi)力值。例1

試求圖示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移。EI為常數(shù)。[解]作載荷彎矩圖和單位彎矩圖。BACqll2Mql

28C1ql

28C2C31M

l21

1

ql

2

l

2

ql

2

l

1

l

ql

2

3l

l

l

EI

2

8

3

3

8

4

3

2

8 8

wC

()

128EIql

4

l3

l42

4l

3M圖8ql

2CBA2ql23qlqlql21CBA111qlCBAll2IIqM

圖l2l

l3

2例2

試求圖示剛架結(jié)點(diǎn)B的水平位移uB

。EI為常數(shù)。[解]作載荷彎矩圖和單位彎矩圖。

2

3

3l

l

8

2ql

2

3

2EI

21

ql

2

l

2l

1

ql

2

l

2l

EI

2uB()48EI4

25ql

ql

232l

FaaaaA

BCDMFa2a

aaaCD1

A

B

1Maa（靠近）

aΔ

ABFa2

2a

EI

2

1

1Fa2EI3

例3

試求圖示剛架A，B

兩點(diǎn)的相對(duì)線位移△AB

。EI為常數(shù)。[解]作載荷彎矩圖和單位彎矩圖。w

(

)

?

2Fa

?

a

?

2a

Fa

?

a

?

2a

2

a

1

a

?

Fa

2a

1

2

a

1

B

EI

2

3

2EI

2

3

3

2

3

3

2EI

3Fa

3Faa2FaMM2a例4

試求圖示外伸梁B點(diǎn)的豎向位移。BACEI2EIBACEI2EI1Faa[解]作載荷彎矩圖和單位彎矩圖。截面突變處應(yīng)分段ll211

1

l

Fll1lFll

33FEI

2232223

22kwC

Ml2l3l33()8EI

4k

Fl

9FBA例5試求圖示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移。B為彈簧支座，彈簧常數(shù)為k，梁的EI為常數(shù)。[解]作載荷彎矩圖和單位彎矩圖。F2FB

3FΔB2k

3FC1C2MFl2BAC2F

B

3

EI

F

Δ

i

iMMdxMd

Fi

Δi

1

wC

F

B

ΔBCwCBBCEI

Δw

MMdx

F§11.6

互等定理一、功的互等定理Δiij位移命名FiiΔijΔjjiΔjiFjj先加Fi后加FjΔjijiFiFji ii2j

jj2W

1

F

Δ

1F

Δi

ij

F

ΔΔiiΔij先加Fj后加FiΔjjFjjj

jj2W

1

F

Δi

ii2j

ji

1

F

Δ

F

ΔΔjjΔjiW

WFi

Δij

Fj

ΔjiiΔijΔiiFi功的互等定理Δiij位移命名FiiΔijΔjjiΔjiFjjFi

Δij

Fj

ΔjiFi

Δij

Fj

Δji功的互等定理甲力在乙力引起的位移上作的功（虛功），等于乙力在甲力引起的位移上作的功（虛功）。一般地，對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)甲力系的力在乙力系引起的相應(yīng)位移上所作的功，等于乙力系的力在甲力系引起的相應(yīng)位移上所作的功。注：力系、位移均為廣義的；適用于線彈性結(jié)構(gòu)。Fi

i

j

=

Fj

ji

i

j

=

jiFj＝FiΔiijΔjiFiiΔijΔjjiFjj二、位移互等定理-----功的互等定理的特殊情況δi

j=δji

iij

ji1i

ij

jji1j若Fj＝Fi=1，則位移記為δij

，δji位移互等定理一個(gè)力Fj(廣義的)與另一個(gè)力Fi(廣義的)若數(shù)值相等，則Fj在另一個(gè)力Fi作用處引起的位移

i

j

，數(shù)值上等于Fi在Fj作用處引起的位移

j

i

。Δij

Δji一個(gè)單位力(廣義的)在另一個(gè)單位力(廣義的)作用處引起的位移，等于另一個(gè)單位力在這一個(gè)單位力作用處引起的位移。

ij

ji討論關(guān)于互等定理?

=

?FiijΔjiFjiΔijFi

Δij

Fj

ΔjiΔiijΔjj討論關(guān)于互等定理?

=

?

B1M

A2M

A2

B1

A1B2討論關(guān)于互等定理?

=

?MiΔiAFii

AiAii

iAF

Δ

M

AΔi1討論關(guān)于互等定理?

=

?11

21

12211

21

222

121CACB討論關(guān)于互等定理百分表懸臂梁受力如圖示?，F(xiàn)用百分表測(cè)量梁在各處的撓度，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一實(shí)驗(yàn)方案。移動(dòng)百分表；固定百分表？FAFBCACAB關(guān)于互等定理固定百分表？FFBDD思考圖示靜不定結(jié)構(gòu)的鉸鏈A拆除后，裝配應(yīng)力消除，A,B兩點(diǎn)分別A