高中數(shù)學(xué)4-2-1指數(shù)函數(shù)的概念（分層作業(yè)）

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）

【夯實基礎(chǔ)】

一、單選題

1.(2022?全國?高一單元測試)已知函數(shù)/(?=$,則對任意實數(shù)x,有()

A./(-x)+f(x)-0B.f(-x)-f(x)=0

C.f(-x)+f(x)=\D./(-x)-/(x)=1

【答案】C

【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

111

【詳解】f(-x)+/(%)=—!—+—=—+—=1,故A錯誤，C正確;

'7V71+2-*1+2'1+2*1+2'

f(-x)-f(x)=——------5—2X12V-1,2

-----------=-----=]------不是常數(shù)，故BD錯誤;

八))1+2一*1+2*1+2*1+2*2*+1----2'+1

故選：C.

2.（2022?全國?高一專題練習(xí)）函數(shù)y=（a-2）2優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則（）

A.a=l或a=3B.a=lC.a=3D.。＞0且。工1

【答案】C

【分析】由指數(shù)函數(shù)的定義可得（。-2）2=1,同時a＞0,且awl,從而可求出。的值

【詳解】由指數(shù)函數(shù)定義知（。-2）2=1,同時a＞0,且awl,所以解得a=3.

故選：C

3.（2022?全國?高一課時練習(xí)）若y=（/-3a+3）優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則有（）

A.。=1或2B.a—\

C.。=2D.。＞0且awl

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念，由所給解析式，可直接求解.

【詳解】因為＞=（/-3〃+3）/是指數(shù)函數(shù),

a~—3。+3=1

所以,〃>0,解得〃=2.

a^\

故選：C.

4.(2022.全國?高一課時練習(xí))若函數(shù)f(x)=(a2-a-l)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則()

A.a=lB.a—1C.a=l或a=2D.a>0且awl

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義列出關(guān)于a的方程，進(jìn)行求解即可.

a2-a—\=\

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的定義，得F>0,解得a=2.

awl

故選：B

【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2022?云南昭通?高一期末)已知函數(shù)y=.f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，且周期為2,當(dāng)xe[0,l]時，

/(x)=2'-l,則/圖=()

A.8血-1B.20-1

C.72-1D.1-72

【答案】C

【分析】利用函數(shù)的周期性，則/(￡)=/(￡!，又根據(jù)函數(shù)在的解析式，求解的值，即可

得讖的值?

【詳解】解：由題可知〃x)=〃x+2),

所以若卜電+2x3卜/出，

又當(dāng)xw[0,l]時，/(x)=2J-l,所以==

即/0=忘-1.

故選：C.

6.(2022?全國?高一課時練習(xí))函數(shù)y=(a-2)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則()

A.a=l或a=3B.。=1C.a=3D.a>0且awl

【答案】c

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，得到。的方程，從而得到。的值.

【詳解】因為函數(shù)y=(“-2”，是指數(shù)函數(shù)

所以。一2=1,〃>0且"1,

解得。=3.

故選：C.

【點睛】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)的值，屬于簡單題.

7.(2022?黑龍江?嫩江市第一中學(xué)校高一期末)已知指數(shù)函數(shù)7。)=(2/-54+3)優(yōu)在R上單調(diào)遞增，則。

的值為()

A.3B.2C.4D.-

22

【答案】B

【分析】令系數(shù)為1,解出〃的值，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，可得答案.

【詳解】2a2_5a+3=l解得。=2,a=；,

又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a=2,/(x)=2，

故選：B

8.(2022?全國?高一課時練習(xí))函數(shù)y=(〃-3a+3)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則有()

A.a=l或a=2B.a=1C.a=2D.a>\,且a*2

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義得到〃-3a+3=l,排除。=1的情況得到答案.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的概念得/一3〃+3=1,解得a=l或a=2.

當(dāng)a=l時，底數(shù)是1,不符合題意，舍去；當(dāng)a=2時，符合題意.

故選：C.

二、填空題

_(-r,x<o

9.(2022?浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期末)己知函數(shù)/(*)=2,貝l」/"(4)]=.

-y/x,X>0

【答案】4

【分析】利用給定的分段函數(shù)，依次計算作答.

【詳解】函數(shù)/（x）=J2,則f（4）=-4=-2,所以/"（4）］=/（-2）=弓尸=4.

故答案為：4

10.（2022?全國?高一課時練習(xí)）若函數(shù)〃x）=（ga-3卜（a>0,且"1）是指數(shù)函數(shù)，則。=

【答案】8

【分析】根據(jù)指函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：因為函數(shù)/（x）=（；a-3）就是指數(shù)函數(shù)，

所以5。—3=1,所以a=8.

故答案為：8.

11.（2022?全國?高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是（填序號）.

①y=2?（五）、；②y=2"T；③5=圖；④尸爐；⑤y=3；⑥1=

【答案】③

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義逐個分析判斷即可

【詳解】①>=2?（夜］的系數(shù)不是1,不是指數(shù)函數(shù)；

②>=2'7的指數(shù)不是自變量x,不是指數(shù)函數(shù)；

③是指數(shù)函數(shù)；

④y=x'的底數(shù)是x不是常數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；

⑤丫=3T的指數(shù)不是自變量x，不是指數(shù)函數(shù)；

JJ

⑥y=j是黑函數(shù).

故答案為：③

-,、fl-x,x<0八，、

12.（2022?陜西?銅川陽光中學(xué)高一期末）設(shè)。>0且awl,函數(shù)/（"=，若=則。的

［a\vx>0n

值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)函數(shù)/（x）的解析式以及已知條件可得出關(guān)于實數(shù)〃的等式，由此可解得實數(shù)。的值.

/、fl-x,x<0八，、，、

【詳解】因為〃X）=<,，且=則。=1一（一1）=2.

故答案為：2.

13.（2022?全國?高一課時練習(xí)）若函數(shù)y=（/-3a+3W是指數(shù)函數(shù)，則。=.

【答案】2

【分析】由指數(shù)函數(shù)定義求解.

【詳解】由y=（/-3a+3）a*是指數(shù)函數(shù)，

a'-3a+3=1,

可得，a>0,解得a—2.

aH1,

故答案為：2.

14.（2022?湖南永州?高一期末）己知函數(shù)/（x）=a、（a>0且awl）,若“2）=4,則。=.

【答案】2

【分析】由已知函數(shù)的解析式，代入求解即可.

【詳解】解：因為函數(shù)（。>0且。*1）,/（2）=4,所以4=4,解得〃=2,

故答案為：2.

15.（2022.全國?高一課時練習(xí)）已知函數(shù)“X）是指數(shù)函數(shù)，且"2）=9,貝曠（；）=.

【答案】拒

【分析】依題意設(shè)f（x）="（。>0且,根據(jù)7（2）=9即可求出。的值，從而求出函數(shù)解析，再代入

計算可得.

【詳解】解：由題意，設(shè)="（a>0且"1）,

因為"2）=9,所以合=9,又a>0,所以。=3,

所以〃6=3'，所以/（￡|=6.

故答案為：G

16.(2022?全國?高一單元測試)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x+4)=/(x),當(dāng)x?0,2)時，

f(x)=2',則/(-9)=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)/(x+4)=/(x),可得函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性即

可得解.

【詳解】解：因為f(x+4)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

又因“X)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以〃一9)=一/(9)=一/(1)=一2.

故答案為：-2.

三、解答題

17.(2022?湖南?高一課時練習(xí))已知指數(shù)函數(shù)/(力="、的圖象經(jīng)過點(2,2),求/⑴的值.

【答案】0

【分析】先將點(2,2)代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的解析式，再求f(l)的值.

【詳解】指數(shù)函數(shù)〃x)="的圖象經(jīng)過點(2,2),則2=標(biāo)，解得

所以〃x)=(應(yīng))',貝療(1)=(及)'=0

18.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知函數(shù)f(x)=6?優(yōu)(“力為常數(shù)，a>0,且)的圖象經(jīng)過點A(l,6),

3(3,24).

⑴試確定函數(shù)的解析式；

(2)若關(guān)于x的不等式20在區(qū)間(f,1］上恒成立，求實數(shù)用的取值范圍.

【答案】⑴/(X)=3X2、

(2)|-oo.|

【分析】⑴根據(jù)題意,得到方程組“求得詞的值,即可求解;

(2)根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=在區(qū)間(-8山上的最小值不小于加，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得最小

值，即可求解.

(1)

解：因為函數(shù)/(x)=6?優(yōu)的圖象經(jīng)過點A0,6)和8(3,24),

可得L3結(jié)合。且"1,解得〃=21=3，

[b-a=24

所以函數(shù)“X)的解析式為“X)=3X2,.

(2)

?"2在區(qū)間(9』上恒成立,

只需保證函數(shù)y=在區(qū)間(fO,l]上的最小值不小于加即可,

因為函數(shù)y在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=i時，T3U取得最小值，最小值為竟，

所以只需加￡3即可，即實數(shù)"，的取值范圍為1-8怖.

6I6」

19.(2022?全國?高一專題練習(xí))設(shè)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時，〃x)=2'+2x+6(b為常

數(shù))，求〃-1).

【答案】-3

【分析】先由"0)=0求得6=-1,再由/(—1)=一/(1)求解即可.

【詳解】因為〃x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以/⑼=20+0+6=0,解得分=—1,所以當(dāng)*0時，

f(x)=T+2x-l,所以/(T)=_/(l)=_(2+2_l)=_3.

20.（2022?全國?高一專題練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2,9）,求/（x）.

【答案】f（x）=y

【分析】設(shè)出函數(shù)解析式，代入點（2,9）求解即可.

【詳解】設(shè)/（可="'（。＞。且。"），因為函數(shù)“X）的圖象經(jīng)過點（2,9）,代入可得必=9,

解得〃=3或。=-3（舍去）.故=

21.（2022?貴州黔東南?高一期末）已知函數(shù)"x）=（濟(jì)-2〃7-2）加是指數(shù)函數(shù).

⑴求實數(shù)機的值；

（2）解不等式（2+X）A＜（1-X）3

【答案】（l）"i=3

⑵仁,-3）

m2-2m-2=1,

【分析】（1）由題意可得機＞0,從而可求出實數(shù)加的值；

機w1,

2+x＞0

333

（2）由（1）可得（2+力5＜（1-力3,再由塞函數(shù)y=Q的單調(diào)性可得1-xNO,解不等式組可得答案

2+x＜\-x

（1）

m2-2m-2=i

由題可知,加＞0解得相=3

mw1

（2）

,33

由（1）W（2+x）i＜（l-x）i

???＞=］在［0,笆）上單調(diào)遞增，

2+x＞0

,解得-2,工＜-2，

2+X＜1-X

故原不等式的解集為-2,-g）

22.（2022.海南鑫源高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)/"）="（4>0且。#1）的圖象經(jīng)過點（2,9）

（1）求實數(shù)。的值；

（2）若〃2x-l）<3,求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】（1）3

⑵（一/）

【分析】⑴利用"2）=9求得a.

（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得實數(shù)x的取值范圍.

（1）

依題意a>0且"1，

f（2）=a2=9^a=3

⑵

/（力=3、在R上是增函數(shù)

且/（2x-1）<3=/⑴

/.2x-l<1

.\x<l

，所求的X取值范圍是（70,1）

23.（2022?北京豐臺?高一期末）一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒，能在短時間內(nèi)感染大量文件，使每個文

件都不同程度地加長，造成磁盤空間的嚴(yán)重浪費.這種病毒開機時占據(jù)內(nèi)存2KB,每3分鐘后病毒所占內(nèi)存

是原來的2倍.記x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為yKB.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

⑵如果病毒占據(jù)內(nèi)存不超過1GB（1GB=2">MB,lMB=2i°KB）時，計算機能夠正常使用，求本次開機計

算機能正常使用的時長.

【答案】⑴y=2捫（xeR*）

(2)57分鐘

【分析】(1)根據(jù)題意可得，y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)先根據(jù)題意，換算病毒占據(jù)的最大內(nèi)存1GB=2">KB,根據(jù)(1)中的解析式，列出不等式，可得答案.

(1)

因為這種病毒開機時占據(jù)內(nèi)存2KB,每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來的2倍.

所以x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為，得,=2「(xeR")

(2)

因為病毒占據(jù)內(nèi)存不超過1GB時，計算機能夠正常使用，

故有齊42?。，解得X457.

所以本次開機計算機能正常使用的時長為57分鐘.

—【能力提升】

一、單選題

1.(2022?全國?高一單元測試)Ax)是定義域為R的函數(shù)，且為奇函數(shù)，+為偶函數(shù)，則”2)

的值是()

.17-17〃47-47

A.――B.—C.—D.—

8484

【答案】A

【分析】利用函數(shù)的奇偶性列方程組求/(幻的解析式，進(jìn)而代入自變量求/(2)的值.

【詳解】由題意，/(-x)-(-x)2=f(-x)-x2=x2-f(x),即/(—x)+/(x)=2V

/(-x)+2-*=f(x)+2x,即/(x)-f(-x)=2T-2"

所以2f(x)=2x2+2-x-2X,可得f(x)=/+,

故/?(2)=22+2-2T_22T=—.

8

故選：A.

2.(2022.浙江寧波.高一期末)已知函數(shù)/。)=*2+〃a+〃，則存在北〃eR,對任意的xwR有()

A./(x)</(x+2022)B.2022f(f(x))>2022v

C.f(x2-l)<.f(x-2022)D./(VX2+2022)>

【答案】D

【分析】考慮到二次函數(shù)f(x)=x2+,nr+”的對稱軸的不同情況，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷每個選

項的正確與否.

【詳解】對于A,當(dāng)x+20224-最時，有/(x)>/(x+2022),故A錯誤；

對于B,/(/(*))為四次函數(shù)，y=2022f為指數(shù)函數(shù)，且是單調(diào)遞增，

當(dāng)x取很大的實數(shù)時，不存在使得2022/(/(x))22022"故B錯誤；

對于C,要使/(x2-1)</(%-2022),必須滿足|x2_i_(_g|Vx-2020-(-￡)|,

也即恒有2020|,當(dāng)x=100時,就有-舊X-2020|,說明C錯誤；

對于D,&+2022x(犬+2022)22022J2022，即Jx2+2022220222022,

x~+2022

此時，若，”20,則,那么對任意的xeR,/(&+2022卜/［恒成立,故D正確；

2、/(丁+2022J

故選：D.

3.(2022.寧夏.吳忠中學(xué)高一期末)設(shè)函數(shù)“X)對任意的xeR,都有〃—x)=/(x),/G-2)=-/(x),

且當(dāng)xe［—1,0］時，/(x)=2S則”2022)=()

A.—1B.1C.!D.—

22

【答案】A

【分析】由/(x-2)=-/(x)和〃T)=/(X)可得函數(shù)“X)的周期，再利用周期可得答案.

【詳解】由/(x-2)=-/(x)得/(x+2-2)=-/(x+2)=/(x),

所以八+4)=/(》+2)=-〃刈，即〃x+4)=/(x),

所以〃x)的周期為4,42022)=/(505x4+2)="2),

由f(x-2)=-/(x)得，(2-2)=-/(2)=2°=1,

所以〃2)=-1.

故選：A.

二、填空題

2019

4.(2022?陜西?西安高新第三中學(xué)高一開學(xué)考試)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=兩且x?0,2)

時，/(x)=3'，則/(2022)=

【答案】2019

【分析】先判斷函數(shù)的周期性，再利用周期性改變自變量的大小，將自變量轉(zhuǎn)化到已知對應(yīng)關(guān)系的區(qū)間上,

代相應(yīng)的解析式即可

,、/2019

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=同

則小+4)=濯g=〃x),

則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，

7019

〃2022)=〃2+2020)=/(2)=硒

又由xe[0,2)時，/(x)=3,,

貝4⑼=3。=1

貝I]/(2022)=2019,

故答案為：2019

5.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，如果/(3)=9/⑴，那么/(8)_f(4)(請在橫線

上填寫“＞"，“=”或，，＜”)

【答案】＞

【解析】由題意設(shè)/(x)=優(yōu)，根據(jù)〃3)="(1)求出解析式,即可比較〃8),八4)的大小.

【詳解】因為函數(shù)/(x)是指數(shù)函數(shù)，

設(shè)f(x)=ax,

則〃3)=/=%/=9/⑴，

解得。=3或。=-3(舍去)

所以/(x)=3，，是增函數(shù),

所以〃8)＞/(4),

故答案為：＞

【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，待定系數(shù)法求解析式，屬于容易題.

6.(2022?湖南?高一課時練習(xí))已知函數(shù)/。)=優(yōu)+/。＞0,且"1),其圖象像經(jīng)過點(-1,5),(0,

4),則/(-2)的值為.

【答案】7

【分析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再代入求值即可.

【詳解】解：由己知得卜解得一=5,

H+i[b=3

所以〃X)=(￡|'+3,所以/(一2)=(gJ+3=4+3=7.

故答案為7

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

7.(2022?河北滄州?高一開學(xué)考試)已知定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足/(x)=/(x+2),且當(dāng)xe(O,l)時,

2、

〃x)=

4'+1

⑴求/(1)和"T)的值;

(2)求在上的解析式.

【答案】(1)/(1)=。，/(-1)=。

2X

----0<x<l

4A+1

2X

⑵-------l<x<0

4X+1

0x=-1,0,1

【分析】(1)由奇偶性和〃x)=/(x+2),取41可得；

(2)取xw(-l,0),利用-xe(O,l),代入解析式結(jié)合奇偶性可解.

(1)

f(x)滿足f(x)=f(x+2),

.-./(l)=O,/(-l)=O.

⑵

由題意知，"0)=0.當(dāng)xe(-l,o)時，-xe(o,l).

由〃x)是奇函數(shù)，

,-./(x)=-/(-x)=——=—―,

7VV'4X+14V+1

-2V

---0cx<1,

4'+l

綜上，在［T,l］上，〃x)=卜亦-l<x<0,

0x=-1,0,1.

8.(2022?遼寧?大連二十四中高一期末)已知指數(shù)函數(shù)/(x)=a'(a>0,awl)過點(1,2),函數(shù)

g(x)=

⑴求g(l)，g(R的值；

(2)判斷函數(shù)g(x)在R上的奇偶性，并給出證明；

(3)已知g(x)在［0,內(nèi))上是單調(diào)函數(shù)，由此判斷函數(shù)y=g(x),xeR的單調(diào)性(不需證明)，并解不等式

g(2x+l)>g.

【答案】⑴g(-l)=g⑴=；；

⑵g(x)為偶函數(shù)，證明見解析；

(3)g(x)增區(qū)間為(0,小》),減區(qū)間為(F,0)；不等式解集為(e,-l)u(0,+8).

【分析】(1)由指數(shù)函數(shù)過點求參數(shù)。，即可得g(x)的解析式，進(jìn)而求g(l),g(-l)的值：

(2)利用奇偶性定義判斷g(x)的奇偶性；

(3)由題設(shè)及(1)(2)結(jié)論即可判斷y=g(x)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性、奇偶性求不等式的解集.

⑴

由題設(shè)，/(1)=?=2,則8(6=%.汽，

所以g(-l)=_lx^-j_g(l)=lx|"^=:.

6''2-|+13v2+13

(2)

2X-1

g(x)=2'+]'"'xcR，定義域關(guān)于原點對稱.

又g(-X)=|=7^(T)==g(x),

故g(x)為偶函數(shù)；

(3)

由g(0)=0且g(O)<g(l)，g(x)在[0,行)上單調(diào),

所以(0,e)為g(x)單調(diào)增區(qū)間,

而g(x)為偶函數(shù)，則g(x)單調(diào)減區(qū)間為(f,0)

由g(2x+l)>g可得：g(2x+l)>g⑴，QP|2X+1|>1,解得—1)=(0,e).

9.(2022?全國?高一單元測試)如圖所示的函數(shù)尸的圖象，由指數(shù)函數(shù)/Xx)="與基函數(shù)g(x)=f“拼接”

而成.

(1)求尸(x)的解析式；

(2)比較4?與V的大小;

(3)已知(機+4)-"<(3-2%)-〃，求m的取值范圍.

12

【答案】(1)F(x)=<(2)ab<ba;(3)

11

a=一，X

16<16-4

【詳解】試題分析：(1)將分別代入f(x)=/,g(x)=f，求得,所以F(x)=

：1

b=-xz,x>—

24

1

(2)因為(；產(chǎn)所以運<(f即八

m4-4>0,

(3)由題意+4)5<(3.2m)3，根據(jù)定義域和單調(diào)性，有｛3-2加>0,解得-

m+4>3—2m,

試題解析：

-11

a4=-

2

(1)由題意得，1b1

=-

4-2

I

(2)因為g產(chǎn)<g,所以(1)32，(羊，即/

(3)由題意(/+4)二<(3—2/n)2，

w+4>0,

13

所以｛3-2機>0,解得—§<根<；,

w+4>3-2m,

19

所以，”的取值范圍是

考點：函數(shù)的單調(diào)性.

10.(2022?全國?高一期末)已知函數(shù)大》)=依十仇a>0,且厚1).