高考數(shù)學(xué)大題沖關(guān)-高考解析幾何中的熱點題型

高考大題沖關(guān)系列(5)

高考解析幾何中的熱點題型

命題動向：圓錐曲線問題在高考中屬于必考內(nèi)容，并且常常在同一份試卷上

多題型考查.對圓錐曲線的考查在解答題部分主要體現(xiàn)以下考法：第一問一般是

先求圓錐曲線的方程或離心率等較基礎(chǔ)的知識；第二問往往涉及定點、定值、最

值、取值范圍等探究性問題，解決此類問題的關(guān)鍵是通過聯(lián)立方程來解決.

題型1最值、范圍問題?多角K究

角度1最值問題

例1(2019?全國卷II)已知點A(-2,0),5(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM

與BM的斜率之積為-；.記M的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程，并說明。是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PElx軸，垂足

為E,連接。E并延長交。于點G

①證明：△PQG是直角三角形；

②求△PQG面積的最大值.

1

-

解⑴由題設(shè)得上=2

A+ZA-Z

化簡得壬5=1(國#2),

所以C為中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點.

(2)①證明：設(shè)直線P。的斜率為3則其方程為)'="(%>0).

y=kx>2

由E+亞］得尤=±布袤

2

u=/■—r,則P(〃，uk),Q(-u,-uk),E(u,0).

y1+2K

于是直線QG的斜率為/方程為y=條-〃).

y=#一〃),

由

9+5=1，

得(2+正)好—2uk2x+廬“2一8=0.(*)

設(shè)G(XG,yc),則-〃和XG是方程(*)的解,

u(3k^+2)uJ^

故陽=:+王，由此得"=二平.

2+lc~uk

1

從而直線PG的斜率為“(3A‘2+2)k-

2+-j

所以PQ1PG,即△PQG是直角三角形.

i-------2叭候+1

②由①得曰。1=2吟/1+F,|PG|=*

所以△PQG的面積

8卜)

18k(l+k2)

s=-mPGl=--+2k-2+-=

1+2、+*

設(shè)t=k+

則由Q0得層2,當(dāng)且僅當(dāng)上=1時取等號.

Qf

因為s=j+分在［2,+8)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)f=2,即攵=1時，S取得最大值，最大值為華.

因此面積的最大值為華.

［沖關(guān)策略］處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法:

一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性

質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某

個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.

變式訓(xùn)練1（2020.海南高考）已知橢圓C:，+后=1（。乂＞0）過點頌2,3）,點

A為其左頂點，且AM的斜率為;.

⑴求。的方程；

（2）點N為橢圓上任意一點，求AAMN的面積的最大值.

解（1）由題意可知直線AM的方程為

y—3=—2）,即x—2y=—4.

當(dāng)y=0時，解得x=-4,所以。=4,

92

由橢圓C:.+方=1（。*0）過點M（2,3）,

49

可得證+講=1,解得〃=12.

所以。的方程為需+方=1.

（2）設(shè)與直線AM平行的直線方程為尤-2》=,%如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切

時，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點為N,此時△AMN的面積取得最大值.

聯(lián)立直線方程x-2），=m與橢圓方程器+5=1,

可得3（m+2）02+4;/=48,

化簡可得16）2+12my+3m2-48=0,

所以/=144"/一4X16（3稼一48）=0,

即m2=64,解得加=±8,

與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程為尤-2y=8,

直線AM的方程為九-2y=-4,

點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離,

8+412\/5

利用兩平行線之間的距離公式可得"=7『=母，

yi+4〉

由兩點之間的距離公式可得IAM=7(2+4)2+32=3小.

所以△AMN的面積的最大值為gx3小*喈=18.

角度2范圍問題

例2(2020.沈陽摸底)如圖，橢圓C:最+營=1(。泌〉0)的左、右焦點分別為

Fi,Fi,離心率為苧，過焦點A且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為

⑴求橢圓C的方程；

⑵點P(xo,yo)3)WO)為橢圓。上一動點，連接PR,PF2,設(shè)NQPB的平分

線PM交橢圓。的長軸于點M(〃z,0),求實數(shù)m的取值范圍.

解⑴將x=c1代入3+%=1中，

由/一,2=〃，可得y2=*,所以過焦點尸2且垂直于X軸的直線被橢圓C截

2b2

得的線段長為

(2tr

彳=1，卜=2,

由＜解得卜=1，

a~2，[c=小,

=/+,

所以橢圓。的方程為:+9=1.

(2)解法一：因為點P(xo,yo)(joWO),Fi(-小,0),

F2他,0),所以直線PR,的方程分別為

1\:yor-(xo+小)y+小加=0,

12：yOT-(xo-小)y-V5yo=0.

…工4fI"2yo+小yolI"2yo-小oyl

由就意可知由Bl；小＞="Bl(二;小產(chǎn)

由于點P為橢圓C上除左、右頂點外的任一點，

所以于+W=1,yoWO,

因為一yf3<m<y[3,-2<xo<2,

m+y]3A/3-m3

所以乃----=一君-，即機(jī)=不（），

2Xo+22-xo

33

因此一]</%<,

解法二：設(shè)|PB|="

tm+\[3

在△PF1M中，~~/8心=二~/Reh，

sinZPMF\smZMPF\

4-ryfs-m

在△PBM中，一一D…、=—―/八/二七，,

smZPMFisinZMPFi

因為NPMFi+NPMb2=兀，/_MPF\=AMPF2,

所以亡=宗于，解得加=/氏-2?。?

因為，6（a-c,a+c）,即，€（2—巾，2+小），

33

所以_]<，/<,

［沖關(guān)策略］圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范

圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個

參數(shù)之間的等量關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而

確定參數(shù)的取值范圍.

變式訓(xùn)練2設(shè)橢圓a+5=1(。動)的右焦點為F,右頂點為4已知兩+

13e

兩=兩，其中。為原點，e為橢圓的離心率.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)過點A的直線I與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于I的直線與I交

于點M,與y軸交于點H.若且NM0AW/K40,求直線/的斜率的取

值范圍.

113e113c

解⑴設(shè)尸(c,0),由兩+兩=兩，即/片而"，可得/-2=3,2,

?2

又/一/=〃=3,所以，2=1,因此/=4,所以橢圓的方程為『七=1.

(2)設(shè)直線/的斜率為攵(AWO),則直線/的方程為y=網(wǎng)x-2).

q+匯=1

設(shè)伏皿泗)，由方程組43'消去y,

y=k(x-2)

整理得(4d+3)f-16爐x+16^-12=0.

8s—6

解得x=2或x=耿2+3，

少8A2-6-12k

由題尋得XB=必2+3，從而"=4k2+3。

由⑴知,尸(1,0),設(shè)"(0,M,

19-4矛12k、

有麗=(-1,yn),BF=14下+3，軟2+3,

由BF_LHF,得而前=0,

4/—912bH9—4k2

所以而3+奴2+3=仇解得w=FF-

19一4好

因此直線M"的方程為＞=-講+一文.

設(shè)M(XM,加)，

0=3-2),

由方程組＜19-4R消去y,

[y=-kx+~i2F

,20一+9

解得刈=]2(3+])?

在△M4O中，ZMOAW/MAO^\MA\^\MO\,

、、、、20d+9

即(雙-2)-4-4+ylt,化簡得XM21,即]2(/+1，解得后-

所以直線I的斜率的取值范圍為

1-8,一唱u乎,+8.

題型2定點、定值問題/角"究

角度1定點問題

例3(2019?北京高考)已知拋物線C:f=-2py經(jīng)過點(2,-1).

(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)O為原點，過拋物線。的焦點作斜率不為0的直線I交拋物線C于兩點

M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點區(qū)求證：以A3為直徑的圓

經(jīng)過)，軸上的兩個定點.

解(1)由拋物線C：-2py經(jīng)過點(2,-1),得p=2.

所以拋物線C的方程為W=-4y,其準(zhǔn)線方程為y=l.

(2)證明：拋物線。的焦點為F(0,-1).

設(shè)直線I的方程為＞'=^--1(^0).

y=kx-1,

由19得f+4近一4=0.

x2=-4y

設(shè)M(x\,yi),N(X2,yi),則x\xi=-4.

直線OM的方程為＞=*.

A1

令y=-1.得點A的橫坐標(biāo)XA=-%

同理得點8的橫坐標(biāo)身=

設(shè)點0(0,n),則了!=(-：,

一1一〃,

DB=

口-1-〃1

—a—aXIX2,c

°A°8=赤+(〃+l)2

X\X2.、2

+(〃+1I/

工+5+1)2

-4+(〃+I)2.

令湯.訪=0,即-4+(〃+1)2=0,

解得n=1或〃=-3.

綜上，以A8為直徑的圓經(jīng)過)，軸上的定點(0,1)和(0,-3).

［沖關(guān)策略］(1)求解直線或曲線過定點問題的基本思路是：把直線或曲線方

程中的變量x,>當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方

程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)

于x,y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點.

(2)由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式>->'()=鼠x-xo),

則直線必過定點(次，>-o)；若得到了直線方程的斜截式丁=依+，找，則直線必過定

點(0,in).

22

變式訓(xùn)練3(2020.濱州二模)已知橢圓C:，+方=1伍泌〉0)的左頂點為A,

。為坐標(biāo)原點，|。川=小，C的離心率為坐

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知不經(jīng)過點A的直線/:y=依+皿%#0,胴€2交橢圓。于加，N兩點,

線段MN的中點為8,若|歡=2|荏|,求證：直線/過定點.

解⑴由已知|。4|=小，得。=小，

設(shè)橢圓。的半焦距為c,因為6=^=乎，所以c=也，

所以〃=3—2=1,

所以橢圓。的方程為會+V=L

(2)證明：由題意知A(-小，0).

y=kx+m,

聯(lián)立/2,

6+9=1,

得(33+1)幺+6kmx+3m2-3=0.

由題意知，J=(6M2-4(3k2+l)(3m2-3)=12+36k2-12/n2>0.(*)

設(shè)M(xi,yi),Ngp),

-6km3m2-3

貝“加+"2=^77,為由二^7P

因為|麗=2|魂|,8為線段MN的中點，所以AM1AN,

所以AM.AN=(xi+/)(x2++y\y2=0.

又yi=Axi+m,y2=kx2+m,

所以W=J^XiXi+m2+km(x\+xi),

所以(儲+1)xiX2+(km+小)(xi+xi)+m2+3=0.

(3加2-3)(d+])6km(km+小)

所以一北4—-3標(biāo)+1+療+3=0?

整理得3R-+2〃?2=o,得攵=W”?或％

當(dāng)％=坐〃?時，直線/的方程為y=9〃(x+小)，過定點A(-小，0),不符

合題意；

當(dāng)左=耳鼻〃時，直線/的方程為y=4&?(x+坐],過定點(-半，0),經(jīng)檢

驗，符合(*)式.

綜上所述，直線/過定點(-坐，0).

角度2定值問題

x2V2\12

例4(2020?山東高考)已知橢圓C：了+右=1(。9>0)的離心率為冷，且過點

42,1).

⑴求。的方程；

(2)點M,N在。上，且AM1AN,AD1MN,。為垂足.證明：存在定點Q,

使得DOI為定值.

a~2，

解(1)由題意可得.

層+戶=1，

=tr+C2,

y2y

解得屋=6,b2=c2=3,故橢圓方程為不+：=L

(2)設(shè)點M(xi,yi),Ngy2).

因為AM1AN,所以癡.病=0,

BP(xi-2)(x2-2)+(yi-1)(y2-1)=0.①

當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)方程為y=^+〃z,如圖1.

代入橢圓方程消去y并整理，得(1+2A2*+4%a+2加2一6=0,

4k”-6

Xi+X2=一]+2好，X—=]+2廬，②

根據(jù)y\=kx\+m,y2=kx2+m,代入①整理，可得

(/+1)x1x2+(km-k-2)(xi+X2)+(m-I)2+4=0,

、2nr-6(4km、

將②代入上式，得/2+1)不定+(切2—左一2)|一丁7朝+(，”—1>+4=0,

整理化簡得(2攵+3m+l)(2k+〃？-1)=0,

因為A(2,l)不在直線MN上，所以2A+〃—1W0,

所以2%+3〃z+1=0,kNl,

于是MN的方程為y—21,

所以直線過定點4I，-1).

當(dāng)直線MN的斜率不存在時，可得N(xi,-yi),如圖2.

代入(尤1-2)(X2-2)+(yi-1)(y2-1)=0得(XI-2)2+1-式=0,

結(jié)合總+'=1,解得xi=2(舍去)或xi=|,

此時直線MN過點礙-1).

因為AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊,

所以AE的中點滿足\DQ\為定值

AE長度的一半g

由于42,1),

故由中點坐標(biāo)公式可得Q

故存在點Q(*|

,使得DQI為定值.

[沖關(guān)策略]圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

（1）求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)

式、化簡即可得出定值.

（2）求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，

再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.

（3）求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)

行化簡、變形即可求得.

變式訓(xùn)練4（2020.濱州二模）已知橢圓C::+營=1（。?>°）經(jīng)過點（6，1），

離心率為乎.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/:），=依+々/0）與橢圓C相交于A,B兩點,若以04,0B為鄰

邊的平行四邊形。的頂點尸在橢圓C上，求證：平行四邊形。的面積為

定值.

解（1）因為橢圓。過點（也，1）,代入橢圓方程，

21

可得”+了=1,①

又因為離心率為坐,所以合乎,從而居=為2,②

聯(lián)立①②，解得。2=4,廬=2,

所以橢圓C的方程為￡+5=1.

（2）證明：把y=+r代入橢圓方程5+5=1,

得（2A2+1）9+4ktx+2（尸-2）=0,

所以/=（4切2-8（2標(biāo)+1）（戶一2）

=8[2（2^+1）-?]>0,

設(shè)A(xi,yi),5(x2,yi),

4kt2(產(chǎn)-2)

貝X\+X2=-2A2+1，Mr=2S+1

2t

所以yi+*=k(xi+X2)+It=2笠+],

因為四邊形OAPB是平行四邊形,

所以O(shè)P=OA+OB=(xi+X2,yi+yi)

(_^EL____

I2F+r2爐+i)

（4kt

所以P點坐標(biāo)為［一存IT，

又因為點p在橢圓上，

4"2〉,2^+1

所以（2M+。+（2如+1）2=1即廠=2

因為=AJ1+lc\x\-刈

=71+居7（XI+X2>-4X1X2

2啦+^12（2廬+1）—12小業(yè)+二

二，2^+1=,

又點。到直線/的距離c/=-r=,

勺1+公

所以平行四邊形OAPB的面積

SQAPB=2S^OAB=\AB\-d

2勒|黃72層+1r-

=76,

即平行四邊形OAPB的面積為定值.

題型3圓錐曲線中的探索性問題

例5（2020?海南高考調(diào)研）如圖，已知點F為拋物線C:/=2Pxs>0）的焦點，

過點F的動直線/與拋物線C交于M,N兩點，且當(dāng)直線I的傾斜角為45。時,|MN|

16.

(1)求拋物線。的方程；

(2)試確定在A-軸上是否存在點P,使得直線PM,PN關(guān)于x軸對稱？若存在,

求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解⑴當(dāng)/的斜率為1時，0),

的方程為y=

y=x一0,/

由，乙得f-3px+j=0.

)2=2px,

設(shè)M(xi,yi),Ngyi),貝無2=3p,

,\\MN\=xi+X2+/?=4/?=16,〃=4,

???拋物線c的方程為y2=8x.

(2)解法一：假設(shè)滿足條件的點P存在.設(shè)P(q,0),

由⑴知尸(2,0).

①當(dāng)直線/不與x軸垂直時,設(shè)I的方程為y=k(x-2)(ZW0),

y=k(x-2),

由J,得lex2-(4k1+8)x+=0,

IY=8x,

/=(4廬+8)2-4-^-4F=64廬+64>0,

4F+8

X\+X2=~m，X1X2=4.

??,直線PM,PN關(guān)于x軸對稱，??.kpM+kpN=0,

k(x\-2)k(x2-2)

又kpM=,kpN=.

k(x\-2)k(x2-2)

兩邊同時乘以3—a)(股一a),得

x\-aX2-a

8(a+2)

k(xi-2)(x2-a)+k(x2-2)(xi—a)=k\2x\xi-(a+2)(xi+X2)+4a]=-~~~飛?=

0,

-.a=-2,此時P(—2,0).

②當(dāng)直線/與x軸垂直時，由拋物線的對稱性，

易知PM,PN關(guān)于x軸對稱，此時只需尸與焦點尸不重合即可.

綜上，存在唯一的點尸(-2,0),使直線PM,PN關(guān)于x軸對稱.

解法二：假設(shè)滿足條件的點P存在.設(shè)P(a,0),由⑴知儀2,0),

顯然，直線/的斜率不為0,設(shè)/：x=my+2,

[x=my+2,

由T2o得y2-16=0,

6=8x,

貝/=(一8機(jī)A+4X16=64機(jī)2+64>0,

yi4-p=8m,yiy2=-16.

7皿,力

kPM=x\-a,KPN=xi-a,

kpM+kpN=0=(X2-ci)y\+(xi-d)yi=0,

(my2+2—d)y\+(my\4-2-a)yi-0.

2〃2yly2+(2-d)(y\+yi)=2mX(-16)+(2-a)X8m=0,

.'.a=-2,

存在唯一的點P(-2,0),使直線PM,PN關(guān)于x軸對稱.

[沖關(guān)策略]存在性問題的解題策略

存在性的問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若

結(jié)論不正確則不存在.

(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論.

(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.

(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.

變式訓(xùn)練5(2020.淄博二模)已知橢圓E:5+5=1(。?〉0)的左、右焦點分

別為Fl,Fl,離心率是勺，P為橢圓上的動點.當(dāng)NKP乃取最大值時，△PFIF'2

的面積是小.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若動直線/與橢圓E交于A,B兩點，且恒有次.為=0,是否存在一個以

原點。為圓