高考復(fù)習(xí)-3-3誘導(dǎo)公式及恒等變化（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

3.3誘導(dǎo)公式及恒等變化(精講)(基礎(chǔ)版)

?？焖伦兣疾蛔?，符號看桑隈

(1)大角變小角，度過360?；?n;(2)?或90。的倍數(shù)即邱,keZ

雄使喈■國22

導(dǎo)

奇變伍不變，符號看象限解釋如下：

公

式

奇變：T的奇數(shù)倍,三府函數(shù)要變名稱；俑不變：g的伍數(shù)倍，三角的數(shù)要不變名稱

解析符號看以限：三角函數(shù)名爵前面是否加"尸.看原函數(shù)在角所在象限的正負(fù)

sin(ai/)=sinacospicosasin^；

cos(?J/)=cosaco$加sinasi/；

,—tano=ttanB

tan(儂⑼=---------J

兩角和差1*tanatanp

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos-a-sin-a=2cos-a-1=1-2sin-a

誘?2tana

導(dǎo)tan2a=-------------

1-tan2a

公二倍角

恒

式

等,1+cos2a*￡，1-cos2a

變

恒cos-a=-----------或s?Ta=

化22

等降摹公式4

變sinacosa=-sin2a

化

正切的變形公式

tana+tanp=tan(a+p)(l-tanatanp)

))

公式變形tana-tanp=tan(a—p(l+tanatanp

與=>誘導(dǎo)公式

利盾二e

(1)找特殊角:a二倍角關(guān)系A(chǔ)4*>a同倍角：：：：：》*特殊角

非如n兩角和差

2

(2)角的關(guān)系：題目求的角=特殊角與條件的角相加減

(3)給三角名：題目求什么給什么

(4)公式化簡：利用恒等變化化簡

角的

樹湊

房皮呈掰

考點一誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)運用誘考點三公式綜合的基礎(chǔ)運用

導(dǎo)

公

式

考點二兩角和差與兩倍角的基礎(chǔ)運用考點四角的拼湊

例題剖析

考點一誘導(dǎo)公式基本運用

734

【例1-1］（2022?寧夏）已知cos1等）=（)

6

D.f

C.

2

=cos12^+—=cosrv'故選：。

I6J

sin(24+a)cos(乃+a)sin('+a

【例1-2］（2022?廣西南寧）化簡:()

cos(-a)cos(一乃+a)tan(-a-%)

A.sinaB.C.一——D.-cosa

cosasina

【答案】D

sin(24+a)cos(4+a)sin(；+a

【解析】sina(-cosa)cos?包吧=-cosa,故選：口

cos(-a)cos(-萬+a)tan(-a-乃)cosa(-cosa)(-tana)tana

.溫馨提示

總結(jié)：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”

【一隅三反】

計算tan1

1.(2022?北京)一二一J的結(jié)果是（)

一也c.受

A.-1B.D.I

2

【答案】D

【解析】tanf-'c乃)文

一阮+一=tan—=i故選:D.

、4J4

3

2.（2022?寧夏中衛(wèi)?一模）已知cos（i+a）=—1,則sin（a-2/r）=（）

B-434

AC.土二D.±-

-?55

【答案】D

3,344

【解析】111COS（TT+a）=-cosa=~~^，可得cosa=g,則5由0=±1故5抽（？-2兀）=5訪。=±不故選：D

3兀

,,,…cos（兀+a）sin（2兀+a）coa—cc

3.（2022?江西省臨川）化簡'''）2）

sin（-7c-a）cos（-7r-a）sin（27t-a）

A.1B.-1C.tanaD.一tana

【答案】B

cos（7T+a）sin（2714-a）cos一二---a-cosasinacos:+a

【解析】【JIJ（2________________12J_-cosasinasin<2

-sincoscr（-sincr）

sin（一兀一a）cos（-7t-a）sin（27i-a）-sin（7r+df）cos（7t+a）sin（-a）

cossinasin?

二T故選：B

-sincosasincr

考點二兩角和差與二倍角公式基本運用

【例2-1］（2022?四川省岳池中學(xué)）sin27°cos18°+cos27°sin18°=（）

、.昱B.2C；D.-也

2222

【答案】A

萬

【解析】sin27°cos180+cos270sin18°=sin（27°+18°）=sin45°=^-：A

【例2-2］（2022?四川省瀘縣第一中學(xué)）cos47°cosl370+sin47°sinl37°的值等于（）

A.。B.1C,-1D.1

【答案】A

【解析】COS47°cos1370+sin470sin1370=cos（137°-47°）=cos900=0?故選:A.

【例2-3］（2022.貴州.模擬預(yù)測（理））sin（-^jcos^=（

）

1

A.B.C.D

424-i

【答案】A

4,故選：人

【例2-4】（2022?重慶八中）（多選）下列選項中，值為g的是（）

A.cos18°cos420-sin18°sin42°B.2cos2150-1

Dtan300+tan15°

C.2sinl50sin75°

?1-tan30°tan15°

【答案】AC

1

【解析】A.cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos(18+42)=cos60

2

2cos215°-1=cos30=^-

B.

2

C.2sin15°sin75o=2sinl5°cosl5o=sin30=-

2

tan30°+tanl50\i44?'生AC

D.---------------=tan(30+15)=tan45=1；故t選：AC

1-tan30°tan15°----\)

【一隅三反】

1.(2022?江蘇省響水中學(xué))sin74°cos140-cos74°sin14°=()

A.BB.1C.-3D.--

2222

【答案】A

【解析】sin74°cosl4°-cos74°sinl4°=sin(74°-14°)=sin60°=-^-.故選：A

2.（2022?廣東?佛山一中）（多選）下列等式成立的是（）

V2

A.sin2750-cos275°=—B.—sinl50+-cosl5°=

2222

c1-tan15_73

C.sin75°cos75°=-u.--------7

41+tan153

【答案】ACD

【解析】對于A：sin2750-cos275°=-cos150°=-cos(180°-30°)=cos30°=.故A正確;

對于B：1sin15°+—cos15°=cos60°sin15°+sin60°cos15°

22

=sin(15°+60°)=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°

￥>4+冬<9型，故B錯誤;

對于C：sin750cos75°=sin1500=sin(180°-30°)=1sin30°=1,故C正確:

1-tan150tan450-tan15°石

對于D：=tan(45°-15°)=tan30°=故D正確;

14-tan1501+tan45°tan15°

故選：ACD

3.（2022?河南焦作?二模）已知cos2x+Gsin2x=石，則x的值可以是（)

【答案】c

【解析】因為cos2x+Gsin2x=2sin（2x+7）=G,所以sin（2x+?）=當(dāng)，

對于A,若x=0,貝Usin（2xO+￥]=Lw3,所以A不正確，

I6J22

對于B,若x=5,則5m（2乂2+2]=5m2=1^巫，所以B不正確，

6I66J22

對于C,若》=工，貝Ijsin（2x2+三]=cos&=正，所以C正確，

4V46J62

對于D,若》=個，Wljsinf2x-+-^=sin—=1^—,所以D不正確，故選：C

3I36J622

4.（2022?甘肅）y/3tan87°tan330-tan870-tan33°=.

【答案】6

【解析】由題，tan120。=tan（87。+33。）=:n87：tan：：：=一行,

'）1-tan87°tan33°

/.tan870+tan33°=-6+Gtan87°tan33°,

故原式可化為Gtan87otan33o+百一Gtan87Otan33o=G，故答案為：百

考點三公式的綜合基礎(chǔ)運用

3

【例3T】（2022?北京?一模）已知sina=g，則sin（萬一2a>tana=（）

32「32「18門18

A.—B.----C.—D.----

25252525

【答案】C

【解析】因為Sinag所以sing㈤5=?&=2"叱黑=2sin2a=2噌）吟

故選：C

【例3-2］（2022?陜西?二模）己知a為銳角，若sin（a+/）=-；,則cos（a-￡卜（）

,&+4口近-4-72+44-72

\.-----D.-----\_z.-------LJ.------n---------

6666

【答案】A

【解析】sinfa+y—=-cosa,故cosa=2，又a為銳角，則sina=Jl-cos。a=

333

cosL/'cossJinasii』變+如1><正=叵3故迄A.

I4)4432326

sin(兀-2a)+sina-k—

1.3cos2a-\

L例3-3](2022?河南)已知sinc*，-------------二：T"，mi貝1J------z-------=______?

兀

21-cos2ca-cos(-2-0--2--1---\-a22sin~a+\

I2

2

【答案】-r

sin2a+cosa_2sinacos?4-cosa_cosa(1+2sina)_1

【解析】由題意，個.°(兀)2sin2a+sinafsina(l+2sina)2,即tana=2,

2sina-cos—+a\7

12)

2222222

er,,3cosa-l3cosa-(sina+cosa)2cosa-sina2-tana2-42、…自、」2

以---------=-----------------------=--------------=---------=------=----故**Al>--------

'2sin2a+12sin26z+(sin2a+cos2?)3sin2a+cos2a3tan2a+13x4+113'、13

.方法總結(jié)

1.弦切互化，異名化同名，異角化同角，降黑或升早.

2.在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)

式時，一般需要升次.

【一隅三反】

/、2

1.（2022?寧夏六盤山高級中學(xué)二模）已知sin（乃+a）+cosa=§,則sin2a=（）

A.1542

B.-C.-D.-

9999

【答案】B

245

【解析】由已知可得cosa-sina=§,等式兩邊平方得l-2sinacosa=1-sin2a=§,解得sin2a=,.

故選：B.

2.（2022.安徽蚌埠?三模）已知tana=2,則9（丁。）+2。3（5+。）的值為（）

sin（7t+a）-COS（TT-a）

；C.fD.-1

A.3B.-3

3

【答案】A

cosa-2sina1-2tana

【解析】原式=罰=3.故選：A

一sina+cosa-tana+1

右

一

3.（2022?山東?模擬預(yù)測）若&€仁,萬），sina=口2a+-

3

立

直

A.4亞B.-4^/5C.-

2020

【答案】D

【解析】因為sin(z=—.所以cosa=-],

U/33

5_4

22

rr,.吟sin[2a+.?os2asina-cosa=號故選：D

所以tan2a+—=-----；---------y=----------=

I2)(c41-sin2a2sinacosa

'，cosl2a+yI

4.（2022?陜西?二模）角a頂點與原點重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線2x+y=0上，則

sinf--cr^lcosfcr--1=

UJI4j---------

3

【答案】--

【解析】因為角a終邊在直線2x+y=0上，所以tana=-2,

???"卜）呼一小in仔-a）cos仔一小Rs陪一小喉一+河2七一回

\.(7T.\1/2八21COS2a111113

=：；s叫--2a=-2cos-a-l=cos-a——=--------------=----------=-------=——

2,212、'2cos,a+sin2a21+taiTa21+4210

3

故答案為：

,、sin(-a-7r)cos(5i-a)tan(27r-a)

5(2022?遼寧?撫順縣高級中學(xué)校)已知a是第三象限角，且以,)=設(shè)―.

cosl--altan(-^--?)

⑴化簡〃a);

⑵若tan(%-e)=-2,求〃a)的值.

【答案】(l)/(a)=-cosa(2)"a)=。

sin(萬一a)cos(乃一a)tan(-a)sinacosa

【解析】（1）Q。為第三象限角,則〃々）=——-------------i―；——《-----——-=-----------------=-cosa.

sinatan(-a)sina

(2)tan(;r-a)=-tana=-2,所以，tana=2,

sina

tana==2

cosa

由已知可得〈sin?a+cos?a=1解得8$。=一亭，貝ij/(a)=-cosa=^y-.

cosa<0

考點四角的拼湊

【例4T】(2022.廣東.一模)已知a為銳角，且cos(a+f)=-《，則cos(a+￥)=()

424

A.--B.；C.-3D.2

2222

【答案】C

【解析】山a為銳角得f<a+f<￥，所以sin(a+工)=Jl-cos2(a+工)=也,

4444V42

cos(a+—)=cos(a+-+—)=-sin(a+—)=-.故選：C.

44242

【例4-2](2022?四川眉山市彭山區(qū)第一中學(xué))已知sin(a-焉j+cosa=|,貝ijcos(a+g

)

4334

A.B.C.D.

5555

【答案】B

【解析】由題sinacos￡-cosasin2+cosa='|,則立sina+」cosa=。，即sin[a+：]=；,所以

66522516J5

【例4-3].(2022.遼寧撫順.一模)已知sin仔一a]=L，則cos(2a-g]的值是()

77C88

A.-9-B.9--9-D.9-

B

【例4-4](2022?廣西?桂林十八中)若a,尸小。身，且sina*,sin(a-?)=-|,貝ijsin^=.

【答案】

65

【解析】由ae[o,g),月.sina=2，可得cosa=3，

rrjr3714

而一5＜。一夕＜5,由sin(a—￡)=一不可知：一,＜。一/＜0,cos(a—〃)=q,

故sinp=sin[a-(a-0)1=sinacos(a一〃)一cosasin(a—〃)=

故答案為：花

【一隅三反】

3

1.（2022?江西九江?二模）已知sina+?則cosa+

5~6)

3

【答案】-1

【解析】cos^a+^J=cosl++y=-sin（a+5）=-|.故答案為：-|

2.（2022?北京市房山區(qū)房山中學(xué)）已知85（73。+。）=當(dāng)，貝i]cos（107?！＃?.

【答案】

3

【解析】85（107。-。）=85[180。-（73。+9）]=-85（73。+6＞）=-@.故答案為：--

33

3.（2022?河南?模擬預(yù)測）已知cos（a+q）+cosa=t,則