平穩(wěn)過程的譜密度

關(guān)于平穩(wěn)過程的譜密度第1頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/302主要內(nèi)容一、平穩(wěn)過程的（自）譜密度及性質(zhì)二、平穩(wěn)過程的互譜密度及性質(zhì)三、譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系四、傅立葉變換的性質(zhì)第2頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/303譜密度的概念在物理學(xué)中，信號通常是波的形式，例如電磁波、隨機(jī)振動或者聲波。當(dāng)波的頻譜密度乘以一個適當(dāng)?shù)南禂?shù)后將得到每單位頻率波攜帶的功率，這被稱為信號的功率譜密度（powerspectraldensity,PSD）或者譜功率分布（spectralpowerdistribution,SPD）。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特數(shù)（W/Hz）表示，或者使用波長而不是頻率，即每納米的瓦特數(shù)（W/nm）來表示。第3頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/304一、平穩(wěn)過程的（自）譜密度定義3.5設(shè)是一個平穩(wěn)過程，如果含參變量的廣義積分

存在，那么，稱為平穩(wěn)過程的（自）譜密度第4頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/305維納-辛欽公式證明了如下結(jié)果：當(dāng)相關(guān)函數(shù)絕對可積，即時，存在，且相關(guān)函數(shù)

這表明譜函數(shù)是相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，而是的傅立葉逆變換.第5頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/306

通常記作對于平穩(wěn)序列，（自）譜密度定義為容易看出上式右端是一個傅立葉級數(shù)。第6頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/307赫爾格洛茨證明了如下結(jié)果：當(dāng)相關(guān)函數(shù)滿足時，存在（即上述傅立葉級數(shù)收斂），且相關(guān)函數(shù)第7頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/308例3.11設(shè)是一個離散白噪聲時間序列。例3.5中已經(jīng)證明了是一個平穩(wěn)序列，且相關(guān)函數(shù)于是，譜密度這個譜密度是常數(shù)，即平穩(wěn)序列的譜密度在各個頻率上具有相同的分量，由于物理上白光的譜為常數(shù)，因此，稱為白噪聲（序列）。第8頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/309例3.12設(shè)是一個離散白噪聲的滑動和。例3.6中已經(jīng)證明了是一個平穩(wěn)序列。為了方便，我們記求的譜密度。第9頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3010定理3.5（譜密度的性質(zhì)）設(shè)是平穩(wěn)過程的譜密度，（i）是取非負(fù)實(shí)數(shù)值的偶函數(shù)，即

（ii）（iii）巴塞伐等式第10頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3011

譜密度的引入使得對平穩(wěn)過程相關(guān)理論的研究不再局限于時間域內(nèi)，它可以同時也在頻率域內(nèi)進(jìn)行，傅立葉變換提供了兩者之間轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)工具。下面通過例題來說明兩者之間的相互換算。第11頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3012例3.13設(shè)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)其中，常數(shù)a>0.由定理3.5（ii）得到的譜密度第12頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3013例3.14設(shè)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)其中，常數(shù)a>0.易見當(dāng)常數(shù)時，即是例3.13。由定理3.5（ii）得到的譜密度第13頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3014在電子技術(shù)中，常常遇到脈沖現(xiàn)象。這類現(xiàn)象不能用普通函數(shù)來描述，需要引進(jìn)廣義函數(shù)。定義3.6如果函數(shù)滿足那么稱函數(shù)為狄拉克函數(shù)，簡稱為函數(shù)。第14頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/301515引入函數(shù)借助函數(shù)，將任意直流分量和周期分量在頻率點(diǎn)上無限值用函數(shù)表示。其傅立葉變換第15頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3016函數(shù)不是通常意義下的函數(shù)，但可以把它看成是下列矩形波的極限，記其中a>0。不妨認(rèn)為通常把用長度為1的有向線段來表示（見表3.1）。函數(shù)的一般形式是，它是的復(fù)合函數(shù)。對任意一個連續(xù)函數(shù)，必定滿足第16頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3017下面對這個公式作一個直觀解釋：設(shè)

由積分中值定理推得：第17頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3018

今后，我們允許平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)與譜密度（包括傅立葉變換及其逆變換）可以取作函數(shù)。必要時，還可以有形如的相關(guān)函數(shù)與譜密度，容易看出，它是m個函數(shù)的線性組合。第18頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3019例3.15設(shè)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)，其中常數(shù)

的譜密度

這個譜密度為常數(shù)。譜密度為常數(shù)且具有零均值的平穩(wěn)過程稱為白噪聲過程。這是一個連續(xù)白噪聲，不同于3.5中給出的離散白噪聲。白噪聲過程是一種理想化的數(shù)學(xué)模型。第19頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3020例3.16設(shè)平穩(wěn)過程的譜密度

的相關(guān)函數(shù)第20頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3021第21頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3022引理3.1傅立葉變換及其逆變換具有下列性質(zhì)：（i）線性性質(zhì)當(dāng)是常數(shù)時，（ii）位移性質(zhì)當(dāng)是常數(shù)時，第22頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3023例3.17設(shè)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)

求的譜密度例3.18設(shè)平穩(wěn)過程的譜密度求的相關(guān)函數(shù)第23頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3024有理譜密度的一般形式：

分子分母無實(shí)根，無公共根。對于有理譜密度，求相關(guān)系數(shù)可用待定系數(shù)法把譜密度分解成若干部分分式之和。第24頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3025例3.19設(shè)平穩(wěn)過程的譜密度

求其相關(guān)函數(shù)第25頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3026由于實(shí)際頻率不取負(fù)值，因此給出單邊譜密度的定義：利用只有正頻率部分的單邊功率譜，定理3.5（ii）可以寫成：第26頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3027第27頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3028定義3.7設(shè)是兩個平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過程，互相關(guān)函數(shù)為稱為平穩(wěn)過程的互譜密度。與（自）譜密度相似，第28頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3029用傅立葉變換及其逆變換來表示：由于互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)不同，因此，互譜密度與自譜密度也有很大差異。一般情況下，互譜密度取復(fù)數(shù)值，也不再是偶函數(shù)。這里都可以取函數(shù)第29頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3030定義3.6（互譜密度的性質(zhì)）設(shè)是兩個平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過程的互譜密度，（i）（ii）（iii）第30頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3031從定義和施瓦茨不等式第31頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3032例3.20設(shè)是兩個平穩(wěn)過程，記求：（1）的譜密度（2）的互譜密度第32頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2023/6/3033引進(jìn)互譜密度是為了在頻域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關(guān)性。從上述例題可以得到：當(dāng)