第一章隨機與概率03節(jié)

第一章

概率論的基本概念等可能概型§3

等可能概型(古典概型)一、定義生活中有這樣一類試驗，它們的共同特點是：§

樣本空間的元素只有有限個(有限性)；§

每個基本事件發(fā)生的可能性相同(等可能性)。比如：足球比賽中扔硬幣挑邊，圍棋比賽中猜先。這類試驗稱為等可能概型。它是概率論發(fā)展初期最主要的研究對象，所以也稱為古典概型。1P{ei

}

=nP{e1}

=

P{e2}

==P{

en

}.2.

古典概型概率公式:若事件A包含k個基本事件,即A

={e1,e2,…ek

},則：(滿足概率的三性質(zhì))等可能概型第一章

概率論的基本概念二、古典概型中概率計算公式1.

基本事件概率公式：(設S

={e1,e2,…en

})niP{e

}

=

1第一章

概率論的基本概念等可能概型例1.

將一硬幣拋擲三次.事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”,求

P

(A1

),

P

(A2

)。(n

=8,古典概型)解：S={HHH,HHT,HTH,THH,

HTT,THT,TTH,TTT}.=

;k

3n

8P

(

A

1)

=1A

={HTT,THT,TTH},

k

=

3，第一章

概率論的基本概念等可能概型(摸球模型,抽樣問題)例2

設袋中有只4白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只球.試求取到的兩只球都是白球的概率；取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率A={兩只白球}B

={兩只黑球}C

={至少一只白球}D

={兩球同色}解：(1)6=4

·

3

2

4

=A

2A

2P

(

A

)

=522

!2

6

2

!6

·

5

52

4

==

2

6

2

4

AAP

(

A

)

=第一章

概率論的基本概念等可能概型15P(C

)

=

P(B)

=

1

-

P(B)

=

14（3）C

=

B,

D

=

A

B6

·

5

15由于AB=F

，故由概率的有限可加性，所求概率是：15P(

D)

=

P(

A

B)

=

P(

A)

+

P(B)

=

7

（2）P(B)

=

2

·1

=

1(摸球模型,抽樣問題)例2

設袋中有只4白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只球.試求取到的兩只球都是白球的概率；取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率A={兩只白球}B

={兩只黑球}C

={至少一只白球}D

={兩球同色}第k次取出黑球,取法數(shù)為b第一章

概率論的基本概念等可能概型a

+

b例3

袋中有

a只白球，b只黑球．從中任意依次取出k只球,試求第

k

次取出的球是黑球的概率．解：A=“第k

次取出的球是黑球”從a+b只球中依次k只球,樣本點總數(shù)為：A

ka

+

b

-1前k

-1次取球,取法數(shù)為：Ak

-1a

+

b

-1事件A所含樣本點數(shù)為:b Ak

-1bAka

+

ba

+

bb

Ak

-1P(A)=

a

+

b

-1

=為不放回抽樣.對放回抽樣，結(jié)果相同。聯(lián)系摸獎？例4

把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,

求第1

至第4個杯子各放一個球的概率.第一章

概率論的基本概念等可能概型P(

A)

=

4·3·

2·1

=

110

·9

·8·7

210故球放入杯子模型，杯子容量有限解:

設A={第1至第4個杯子各放一個球}基本事件總數(shù):10·9·8·7,A

所含基本事件個數(shù):4·3·2·1,例5

把4個球放到10個杯子中(設杯子容量不限),

求事件B={每個杯子至多有一只球}的概率。第一章

概率論的基本概念等可能概型故

P(B)

=

10

·

9·

8·

7

=

0.504解:基本事件總數(shù):B

所含基本事件個數(shù):10·9·8·7,10

·10

·10

·10思考：逆事件C

={至少兩球在一個杯子}的概率？“一個班有64人，至少有兩人生日相同”的概率為多少？例6.將n只球隨機放入N(N?n)個杯子中(設杯子容量不限),求事件B={每個杯子至多有一只球}的概率。N

nAn故

p(B)=

N

.np20

23

30

40

50

64

1000.411

0.507

0.706

0.891

0.970

0.997

0.9999997思考：逆事件C

={至少兩球在一個杯子}的概率？模型擴展取N=365N

nAnp(C)=1-

p(B)

=1-

N

.解:

基本事件總數(shù):B

所含基本事件個數(shù):思考：“一個班級有64人，至少有兩人生日相同”的概率為多少？(99.7%)(杯子容量不限)第一章

概率論的基本概念等可能概型第一章概率論的基本概念等可能概型“概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）。常用之判斷假設是否正確。如在假設下一事件的概率很小，但事件發(fā)生，則認為假設不成立。三.實際推斷原理例7

（女士品茶）一位常飲奶茶的女士稱：她能從一杯沖好的奶茶中辨別出該奶茶是先放牛奶還是先放茶沖制而成.做了10次測試，結(jié)果是她都正確地辨別出來了.問該女士的說法是否可信？第一章

概率論的基本概念等可能概型1210=

0.0009766P(

A)

=解假設該女士的說法不可信，即純粹是靠運氣猜對的。在此假設下，每次試驗的兩個可能結(jié)果為：奶＋茶或茶＋奶且它們是等可能的，因此是一個古典概型問題。茶的先后次序}本點，故10次試驗一共有210個等可能的結(jié)果若記A

={10次試驗中都能正確分辨出放奶和放則A只包含了210個樣本點中一個樣由實際推斷原理，該女士的說法可信．實際推斷原理概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎不會發(fā)生第一章

概率論的基本概念幾何概型四、幾何概型能否突破古典概型中“基本事件總數(shù)有限”的限制，推廣到無限多的結(jié)果呢？首先看下面的例子。例8

(會面問題）甲、乙二人約定在0

點到5點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去設二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。解：X,Y

分別表示甲乙二人到達的時刻，于是0

￡

X

￡

5,

0

￡

Y

￡

5.二人會面的條件是：|

X

-Y|￡1,即點M落在圖中的陰影部分。所有點構(gòu)成一個正方形,即有無窮多個結(jié)果。每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點是等概率的。0

1

2

3

4

5yx54321y-x

=1y-x

=

-125.925142=25

-

2

·

·2=正方形的面積陰影部分的面積p

=P(

A)

=

SA

.S說明：當古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個時,就歸結(jié)為幾何概