高等代數(shù)第7章線性變換考研講稿

第七章線性變換講稿

§7.1線性變換的概念與判別

1.線性變換的定義:數(shù)域尸上的線性空間M的一個(gè)變換b稱為線性變換，如果對(duì)修中任意的向量a,4和數(shù)域尸中的任意數(shù)

k,都有：cr(a+/)=cr(a)+cr(P),crpa)=。

2.線性變換的相等

(1)設(shè)b"都是數(shù)域尸上的線性空間憶的線性變換，那么b=r當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)Vae%,有b(a)=r(a)。

(2)設(shè)都是數(shù)域P上的〃維線性空間憶的線性變換，因,。2,…，見(jiàn)是修的一組基，那么b=7當(dāng)且僅當(dāng)

CT(%)=?%)(4=1,2,…川。

3.線性變換的判別：設(shè)CT為數(shù)域P上線性空間P的一個(gè)變換，Va/e匕V左,/cP,那么：

(1)cr為憶的線性變換當(dāng)且僅當(dāng)cr(a+/)=cr(a)+cr(〃)，cr(Za)=hr(a)。

(2)cr為憶的線性變換當(dāng)且僅當(dāng)cr(Za+/￡)=加(a)+/b(/?)。

例1.(華中師大2011,3(1))設(shè)口是數(shù)域，%是數(shù)域口上所有次數(shù)小于〃的多項(xiàng)式加上零多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間,

令+〃x),證明7是憶上的線性變換。V=F[x\n

證明：首先說(shuō)明7是P上的變換：事實(shí)上，任取由次數(shù)定理知〃x+l)—/(x)eP且唯一，因此T是P

上的變換。

再證明T是憶上的線性變換：任取/(x),g(x)e%,任取AJe尸，由次數(shù)定理有/(x)+/g(x)e%。

設(shè)“x)=4f(x)+/g(x),則〃(x+1)=歹(x+l)+/g(x+l),于是有：

T(V(x)+/g(x))=T(A(x))=/?(x+l)-A(x)=(4f(x+l)+/g(x+l))-(V(x)+/g(x))

=%(/(x+l)-/(x))+/(g(x+l)-g(x))=5(/(x))+/T(g(x))

因此T是憶上的線性變換。

4.線性變換的性質(zhì)：設(shè)憶是數(shù)域尸上的線性空間，CT為憶的線性變換，X/a},a2,-,as,a^V,仁義,…,kfP。

(1)cr(0)=0,cr(-a)=-cr(a)

(2)線性變換保持向量的線性關(guān)系，即：若(7=左g+k2a2+???+ksas,那么0"(。)=尢(7(%)+%2。(％)+…+%。3)。

(3)若a，。2,…,4線性相關(guān)，那么。(%)。(%)，…，0■(4)也線性相關(guān)。

(4)設(shè)線性變換CT為單射，如果名。2,…,a,線性無(wú)關(guān)，那么…，0■(4)也線性無(wú)關(guān)。

5.兩種簡(jiǎn)便寫法

設(shè)憶是數(shù)域P上的線性空間，b為憶的線性變換。

⑴設(shè)，血，…,4，…，九是修中的兩個(gè)向量組，且:

B\入必+“力+…+鉆

夕2=。2』+。22,2+…+。2/

(7-1)

CM2%

將式(7-1)簡(jiǎn)記為：

/、

GlC2\…Cm\

(2”2,…,4)=(%,C2C：2NO

及,…/)'(7-2)

(Gs。2s…Cms)

由式(7-1)可得：

b(笈)=H%)+G2b優(yōu))+…+GO伉)

。(夕2)=。2。(%)+。22。(%)+…+4。(八)

<(7-3)

????????????

b(凡)=(％)+(％)+…+%。(九)

由式(7-2)知式(7-3)可簡(jiǎn)記為：

。21…Cm\

C

(b⑷HA),…,4月“))=((7(%)口優(yōu)),…，。仇))?2C；2m2(7-4)

（2）設(shè)囚,火，…,4是修中任意一組向量:

(7-5)

于是式（7-4）可寫成：

C\\C2\Cm\

b（自外…，以“）=。（%,差，…，九）OfC：2CT

(7-6)

JisC2s…Cms>

C\\C2\。加'

若設(shè)C=C；2C；2?■-°;2，那么式（71）就被寫成：

、C\sC2s…Cms）

—，乩）=（%-2,…，—）C(7-7)

式（7-1）就被寫成：

b（凡夕2,…,A,）=b（（%，72,…，九）c）=b（%，72,…，兀）C(7-8)

于是由式（7-2）可得式（7-6）,

6.設(shè)%是數(shù)域尸上的〃維線性空間，CT為修的線性變換。求b（4）,b（/72）,…，（以“）的秩

方法：若b（⑷=6（鳳）=…=b（￡,"）=0,那么“回）°（22）,…,b（4）的秩為0,否則:

①取憶的一組基…求b（尸［）,0■（月2）,…,<T（&）在基以區(qū),下的坐標(biāo)〃|,〃2,…，必

②求〃i，小,…,％的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組”,為，由線性空間之間的同構(gòu)映射的性質(zhì)知■（力）…,0（4）

就是。（自）,。（鳳），…口（4）的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，因此向量組。（4）口（片）/一0（凡）的秩等于廠。

7.線性變換舉例

（1）設(shè)憶是數(shù)域。上的任一線性空間，那么：

①憶的零變換o（o（a）=0,VaeP）是憶的線性變換；

②%的恒等變換或單位變換/（《a）=a,VaeFj是憶的線性變換；

③幕零線性變換：設(shè)（T是數(shù)域。上的線性空間憶的線性變換，如果存在正整數(shù)〃?，使得＜7加=。，就稱b為憶的尋零線

性變換;

④嘉等線性變換：設(shè)O■是數(shù)域P上的線性空間憶的線性變換，如果。2=。，就稱O?為憶的幕等線性變換。

（2）設(shè)「=尸"，任意取定數(shù)域P上的一個(gè)〃級(jí)方陣/，令:,則。為憶=尸"的線性變換。

(3)V=P[x],Z)(/(x))=/'(x)，V/(x)eP[x],則。為P=P[x]的線性變換。

（4）V=P"xn,4=（即）是憶中一固定矩陣，KX）=/X,VX€尸"、"是P=P'*"的線性變換。

8.可逆變換與可逆線性變換

1.線性空間的可逆變換：數(shù)域P上的線性空間憶的變換b稱為可逆的，如果有P的變換7存在，使：8=2=1（/是P

的恒等變換）此時(shí)變換7稱為b的逆變換，它是唯一的，記為7=（7-、

2.線性空間的可逆線性變換

1）可逆線性變換的定義：設(shè)憶是數(shù)域。上的線性空間，如果憶的變換b既是憶的線性變換又是憶的可逆變換，就稱b為

V的可逆線性變換，此時(shí)a的逆變換b-也是憶的線性變換。

2）線性變換可逆的判別：設(shè)b是數(shù)域尸上的線性空間憶的線性變換，那么：

單射：任取箱a手。，一定有（r（a）wcr（￡）,或若cr（a）=cr（4）一定有&=〃。

滿射：對(duì)任意的夕eP,必存在aeP,使得b（a）=￡。

1-1對(duì)應(yīng)或雙射：既是單射又是滿射。

（1）cr可逆當(dāng)且僅當(dāng)cr是P到憶的1-1又寸應(yīng)或雙射。

證明：必要性：任取a/eP,如果b(a)=b(〃)，兩端用作用：

(cr(a))=a~'(cr(^))ncr-lcr(a)=cr-lcr(^)=>z(a)==>a=/3

知CT是單射。

任取令q=crT(￡),就有<r(a)=c(crT(￡))=577(夕)="￡)=尸，因此cr是滿射。

綜上可知。是P到憶的1-1對(duì)應(yīng)或雙射。

充分性：因o■是憶到憶的1-1對(duì)應(yīng)或雙射，因此任取萬(wàn)eP,必存在唯一的aeP,使得(r(a)=￡。構(gòu)造:

r:T->V,T(0)=a

由a的唯一性可知？為憶的一個(gè)變換，且：

crr(7?)=cr(r(^))=cr(a)=,or=/

因b是憶到憶的L1對(duì)應(yīng)或雙射，所以對(duì)。(夕)€修，必存在唯一的7cP,使得

b(y)=。(夕)=>丁(。(尸))=7*(。(乃)=夕

于是有：

Q(4)=s(T((T(y)))=r((Tr)cr(/)=rz(T(/)=(rz)cr(/)=rcr(/)=r(cr(/))=°=Tb=i

綜上可知b可逆。

(2)若dim%=〃，是%的任意一組基，那么b可逆當(dāng)且僅當(dāng)。(%)0(%)「一。(％)也是憶的一組基。

證明：必要性：設(shè)40(囚)+左2b(%)+…+&,。(%)=0,因°是憶的線性變換，所以有：

b(占4+k2a2+-??+knan)=0=cr(O)

而O?可逆，因此b是憶到P的雙射(或上式左右兩端用err作用)，就得：

勺4+k2a2+…+knan=0

因/.a2,…,a”是「的一組基，所以線性無(wú)關(guān)，得左=h=…=k“=0=>4％),(7(%),…。(%)線性無(wú)關(guān),

又。(4),<7(4),…。(%)ev，且dim/=n,因此<7(?)。(4)，…，0'(%)也是「的一組基。

充分性：任取/ek,因(7(4)0(。2)，…,。(%)是%的一組基，所以/可由…，0'(%)線性表出，

設(shè)夕=4。(因)+/2。(％)+…+/。(%)，因o?是憶的線性變換，所以有/=<7(/烏+/2a2+…+/“％),而

[%+12a2+-??+l?an€V,因此cr是滿射。

任取a,夕eP,設(shè)。=.*。]+s2a2+…+s“a”，夕=4%+，2a2+…+'"%，如果。(1)=。(4)，那么有：

b(a)=sq(%)+S2<r(a2)+…+s°(a“)=o?(⑶=付(%)+/2b(4)+…+￡/(%)

一(耳——因)+(52T2)b(%)+…+(s〃F)」(a.)=0

因<7(四),(7(%)，…。(4)是%的一組基，所以貝。|),<7(%),…,b(a“)線性無(wú)關(guān),因此有：

s\-t\=S2-/2=.一=5〃_(=0n*=九$2=工2,…，s“=4na=，

知er是單射。

綜上可知cr是憶到P的雙射，因此<T可逆。

§7.2線性變換的運(yùn)算、矩陣

(一)線性變換的運(yùn)算

1.加法、乘法、數(shù)量乘法的定義：設(shè)憶是數(shù)域P上的線性空間，是P的兩個(gè)線性變換，任取左€尸，Vae%。

(cr+r)(a)=cr(a)+r(a),(or)(a)=cr(T(a)),?(a)=Azr(a),(-cr)(a)=-cr(a)

(T+7、or、hr與-cr都是憶的線性變換。

2.運(yùn)算規(guī)律：設(shè)憶是數(shù)域尸上的線性空間，G7,“都是憶的線性變換，左，/是尸中任意數(shù)。

1)加法：①交換律：cr+r=r+cr；②結(jié)合律：(b+r)+〃=cr+(r+〃)；③o+cr=cr；④cr+(-(r)=o。

2)數(shù)量乘法：①(kl)cr=k(lcr)；②lcr=cr。

3)加法與數(shù)量乘法：①(k+l)cr=kb+lcr；②％(cr+r)=Zcr+Ar。

4)乘法：①(or)〃=<7(r〃)；②不滿足交換律，即or=Q"不一定成立；

③不滿足消去律，即：由CTHO,OT=OW(Q=〃CT)不一定能推出7=勿；由OT=O不一定能推出b=O或7=0。

3.線性變換的多項(xiàng)式：設(shè)CT是數(shù)域P上的線性空間憶的線性變換，〃是正整數(shù)，為非負(fù)整數(shù)。

(1)o?的〃次暴：<r"=crcr…cr；

(2)及=，(，為憶的恒等變換或單位變換)；

(3)指數(shù)法則：/『=』,(〃)'=akl。

mmxmm

(4)b的多項(xiàng)式：g(x)=bmx+bm_xx~+?-?+blx+boeP[x],g(<r)=bma+bm_tcr~'+--+b^+bai

那么g(b)是V上的線性變換，g(cr)稱為線性變換cr的多項(xiàng)式。

(5)若cr可逆，定義b-"=(bT)”。

注意：設(shè)ST都是數(shù)域P上的線性空間P的線性變換，〃是正整數(shù)，一般說(shuō)來(lái)Hb"/'。

例2.(華東師大2016,四)給定線性空間V=尸上的兩個(gè)線性變換:

(7(%,工2，、3)=(2%—X2,Xt+X2,X1—演)，r(xpx2,x3)=(x2+x3,x2—X3,玉+x2),GV

求2。+弓TCT。

解：

(2cr+r)(x1(x2>x3)=2<7(石,％2，七)+7(%,毛,%3)=(4玉-2xz,2x}+2x2,2xt-2x3)+(x2+x3,x2-x3,X1+x2)

=(4x,-x2+%3,2X]+3X2-X3,3X1+X2-2x3)?

211]僅01、

cr(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)-110,r(xx,x)=111,V(xpx2,x3)eK

0-Jp23b-1

00,

于是:

(211、、211、、001、

TO(占,々,*3)=7(。('[，/，演))=丁(玉,吃,工3)—110(Xi，%,/)-110111

00-1(00-11-10

777

211、001Y(203、

1

0111(演，》2，七)10=(2%+》2-X3，%2+X3,3XJ

00T人1-101

77、一10,

例3.(華東師大2016,四)設(shè)8是〃維線性空間修上的線性變換，a是憶中的向量，已知正整數(shù)〃[滿足d"(a)H0,

<+1(a)=0,求證a,夕(a),…/"(a)線性無(wú)關(guān)。(北大教材第10題)

證明：設(shè)

m

kQa++???+km(p(a)=0①

因e"用(a)=0,所以對(duì)任意正整數(shù)s,有°'i'(a)=0,于是用d"作用①式兩端得：

d"H°a+M>(a)+…+幻，(。))="(0)=%序'"(。)+占。"”3)+--+(，+"'(。)=左"'3)=0

而”"(a)w0,因此得勺=0,代入①中得：

Ke(a)+…+%/"(a)=0②

用作用②式兩端得：

mmm+xn

夕”"(左9(a)+&M(a)+…(a))=(p''(0)nkx(p[a^+k2(p(a)+-??+/：?,^a^=kx(p'(a)=0

因*"(a)H0,得左=0。如此下去就得&=???=%,“=0。

綜上可知由％oa+K0(a)+…+A,"9"'(a)=0=>%o=k[=…=k“,=0=>…線性無(wú)關(guān)。

4.線性變換構(gòu)成的線性空間：設(shè)廠是數(shù)域P上的線性空間，令￡(%)=｛。匕為憶的線性變換｝,那么上(%)按線性變換的加

法和數(shù)量乘法做成數(shù)域P上的線性空間。

(-)線性變換的矩陣

1.線性變換的矩陣：設(shè)%,。2，.一，%是數(shù)域。上的〃維線性空間憶的一組基，b是P的一個(gè)線性變換，則基向量的像

b?可以由基囚,見(jiàn)，…，氏線性表出：

。3)=%烏+〃2區(qū)+-,+%%

b3)=+a22a2+???+an2a?

b(a“)—+-—+???+”.

由式(7-2)與式(7-5)知式(7-7)可簡(jiǎn)記為:

4%2…?1?

a2\a22…a2n

N川an2,,,冊(cè)〃

/、

%?%J

設(shè)/="；2…an2,將矩陣/稱為b在基名,4,…,a”下的矩陣。

、％”a2n1?,a,?,>

注意：”的第/列（J=L2,…恰好是b（aj在基因,。2,…,％下的坐標(biāo)。

2.線性變換的和、乘積、數(shù)量乘積、逆變換、負(fù)變換及多項(xiàng)式的矩陣：設(shè)/,。2,???，區(qū),是數(shù)域尸上的〃維線性空間「的一

組基，Vcr,re￡（r）,它們?cè)诨?，…，％下的矩陣分別為45,s為任意正整數(shù)。

（1）<7+7、OT、"與—cr在基G，%，％下的矩陣分別為，+5、45、4與一/。

（2）任取左eP,hr在基因，下的矩陣為心。

（3）若。為可逆線性變換，則crT在基四,見(jiàn)，％下的矩陣為力一二

m

（4）設(shè)=H---^平+旬為數(shù)域尸上的任一多項(xiàng)式，那么/（cr）=ama+am_xcr"'^----i-a^+agi

m'

在基因，％下的矩陣為/（4）=amA"'+am^AH---\-aAA+a0En。

（5）cr可逆當(dāng)且僅當(dāng)Z可逆（有限維線性空間上的線性變換可逆的判定定理）；

（6）令/：b14V（7GZ（r）,那么/是數(shù)域尸上的線性空間上（%）到數(shù)域尸上的線性空間尸"、"的

同構(gòu)映射，因此上于是是〃2維線性空間。

3.向量在線性變換下像的坐標(biāo)公式：設(shè)數(shù)域。上的〃維線性空間憶的線性變換b在修的基囚,。2，?一，%下的矩陣為/，

…,a”下的坐標(biāo)為（國(guó)…）則<T（J）在基因,%，…,％下的坐標(biāo)（%，％，…,”）可按公式

1）矩陣相似的定義：設(shè)43是數(shù)域P上的兩個(gè)〃級(jí)方陣，如果存在數(shù)域P上的“級(jí)可逆矩陣T,使得TT/T=5,就稱

在數(shù)域P上N相似于5,記為在數(shù)域。上/~6。注意：矩陣的相似與數(shù)域有關(guān)。

2）矩陣相似的性質(zhì)：設(shè)4&C都是數(shù)域尸上的〃級(jí)方陣，那么在數(shù)域P上：

性質(zhì)1：自反性：A-A；

性質(zhì)2：對(duì)稱性：若A?B,那么5?，；

性質(zhì)3：傳遞性：若N?5,B~C,則）?C；

性質(zhì)4：若T，T=B,那么對(duì)任意正整數(shù)左，有6"=7一，"7。

3）線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系：

（1）設(shè)數(shù)域尸上的〃維線性空間P的線性變換b在憶的兩組基與4,色,…/“下的矩陣分別為7與8,

到四,4,…，瓦的過(guò)渡矩陣為T,那么5即同一線性變換在不同基下的矩陣彼此相似.

事實(shí)上，因：

（4外…，夕.）=（%，。2,…,%）7

由式（7-8）可知:

又：

。(凡/，…――，…一)5

所以有：

)7=((%%，…。")T)5

推出：

一.,4,)7)5)廠)T6TT

而：

cr(G，

得：

A=TBT'B=TAT

(2)設(shè)46是數(shù)域。上的兩個(gè)"級(jí)方陣，且在數(shù)域P上N?6,憶是數(shù)域P上的任一〃維線性空間，那么存在P的線性

變換b,使得43為cr在憶的兩組基下的矩陣。

例4.(東北大學(xué)2010,六)設(shè)cr是線性空間/上的線性變換且滿足〃=2/(z為恒等變換)，令7=。2一2。+/。

證明：7都是可逆變換。

證明：cH==又;b也是憶上的變換nCT是可逆變換。而丁=b?-2cr+z=(。一/)?,

又：

(y~=2c=>/-1=(o■-z)(b+z)=(b+i)(b-z)=z=>+(b-i)-=(cr4-z)~=z2=i

而9+,)2也是P上的變換，知7=4—2b+/=(b-，)2是可逆變換。

例5.(遼寧大學(xué)2014,五)設(shè)b是數(shù)域P上的〃維線性空間憶上的線性變換，且滿足。2=b,證明：/(?為恒

等變換)為憶的一個(gè)可逆變換。

證明：取定憶的一組基名,％,…，%，設(shè)a在基因,下的矩陣為n,那么b+i在基a。?,％下的矩陣為

A+E,于是只需證明N+E可逆即可。

er2-(7=0為零變換)，而CT?一O■與。在基四。2,…,％下的矩陣分別為N?-/與O，知：

1―N=On/2—/—2E=—2En(/一2E)(Z+E)=—2E=>1—；(4—2E))(/+E)=E

nN+E可逆=>b+i為/的一個(gè)可逆變換。

(b,小

例6.(首都師大2014,四)設(shè)”為2階實(shí)方陣組成的線性空間，B='」GM,定義映射"為

3b4)

f(/A)、=AB-BA,驗(yàn)證/是線性映射。并寫出了在M的基｛fnOWO1WO0^foo\|｝下的矩陣。

/\/\

%,x,y.y,

證明：任取X=12,Y=■'72eM,任取后,/eR,有：

lx3x4)1為yj

f(kX+lY)=(kX+lY)B-B(kX+lY)=k(XB-BX)+l(YB-BY)=kf(X)+lf(Y)

所以/是線性映射。

、（\0）（0nfO0、（00}

，則有:

///

b2]<10、與bi0、0

’444b。

-陽(yáng)oj

3304

A<o0,\\0>\、也o;

c

（、fO1}紈c1、G’0bj%b4~hc

（）成—暫Ho=

fEi2=EnB-BEl2=^J10

%如0,o>、0%—b/

b>Kbf’00、"00、%0、%0、

（

fE2^=E2[B-BE2l=\J

%口J0>也也0>也匕

、

.、fO0、ap,b1o'’0O'’0b2\’0~b2

/（當(dāng)2）=EB-BE=0][410

22221b4.b40

”,也b儲(chǔ)也也7

所以：

/（E”）=0Eu+b2g2-4鳥(niǎo)+0/

/（g2）=+（，4-4）E]2+。E21+（-。3）*22

/（J）=（-力2）好+。媼2+（4-"）/+b2E22

/（萬(wàn)22）=041+（-,2）42+b?E21+0E22

/0瓦-，20、

10）（01）僅0）（00、bz0~b2

于是/在M的基，0）〔0oj\ioj\o》下的矩陣為:

0VJ04

I00J

例7.（遼師2013,十.（1））設(shè)憶是實(shí)數(shù)域上以4G，6，%為基底的線性空間，CT為憶的線性變換，滿足

，

O?（與）=￡]（，=1,2,3）,Cr（￡-4）=￡2,（1）寫出CT在基￡1,￡2,￡3，%下的矩陣。

解：由題設(shè)可知：＜7（￡,,.）=￡|=￡1+0f2+0￡3+0￡-4（Z=l,2,3）,cr（￡-4）=f2=0f,+￡2+（）￡3+Q￡4,所以CT在基

'1110、

0001

￡、,％,￡、,￡4下的矩陣為0

0000

、0000,

例8.（陜西師大2012,七，15分）設(shè)數(shù)域尸上的3維線性空間修上的線性變換b在憶的基與,？，,下的矩陣為

a\2a\3

aa

Ct2\2223，求b在憶的基￡[+￡2，￡2+￡3，*3下的矩陣。

-31。32“33/

4〃口叫100

解：因（T在/的基與,邑倨下的矩陣為?21。22。23，又佃+￡2?+￡3，？）=（與，J?。?10

a32a33）（011

OY'/

0a\2&、q00、

所以O(shè)?在%的基￡|+4,邑+G，/下的矩陣為110。21a22a231100

d

、01431a32。33,、°1"

由于:

’100

110

、011

0

3010a2\~a\\。22一〃12^23-^13

、0016]—。21+%1a32~a22a33~^23^^13>

因此:

得O■在/的基與++￡3，￡35的矩陣為:

000、

110

111>

a\\+a\2

a2\~a\\+々22_q2

\〃31一〃21+々I1+〃32一。22+a\2。32―a22+42+%3-〃23+a\3。33—。23+。13)

§7.3特征值、特征向量與對(duì)角矩陣

(-)矩陣的特征值與特征向量

1.矩陣的特征多項(xiàng)式：設(shè)/=(%)為數(shù)域。上的一個(gè)〃級(jí)方陣，力是一個(gè)文字，將矩陣/IE,,-/的行列式：

\Jfnn

^,~a\\a\2a\n

aa

I0rA2\^-221"。2n

|犯-/|=;：：

an\a?2…%一%”

稱為矩陣N的特征多項(xiàng)式，記為這是數(shù)域P上的一個(gè)〃次多項(xiàng)式，且：

，(/1)川紇—H=4"+(T)(卬+%2+…+/〃)獷+?一+(-1)”H

=r+(-i)tr(>i)r-1+---+(-iy,|/4|

注：將;IE“-/稱為矩陣N的特征矩陣，plE“-旬=0稱為矩陣/的特征方程。

2.矩陣的特征值與特征向量的定義：〃級(jí)方陣力的特征多項(xiàng)式/(冷=憶紇在復(fù)數(shù)域上的所有根都叫做/特征值。

設(shè)％eC是N的特征值，將齊次線性方程組(4)E“-N)x=O的每個(gè)非零解都叫做矩陣/的屬于特征值4的特征向量。

3.矩陣的特征值與特征向量的判定：設(shè)N為〃級(jí)方陣，4eC。

(1)4是矩陣Z的特征值當(dāng)且僅當(dāng)人(4)=體紇—川=0。

(2)4是矩陣N的特征值當(dāng)且僅當(dāng)存在OHaeC",使得Za=4)a。

(3)設(shè)%是矩陣/的特征值，0力。=(%,2,…,4)'wC",則a為矩陣/的屬于特征值4的特征向量當(dāng)且僅當(dāng)

(4g,-/)a=0,即a是齊次線性方程組(4)E“—N)x=0的一個(gè)非零解。

4.矩陣的特征值與特征向量的求法：設(shè)/為〃級(jí)方陣。

第一步：求力(X)=ME“-H在復(fù)數(shù)域上的所有根4,4,…，4,(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)；

第二步:設(shè)4,為…，4(i是矩陣z的所有不同的特征值，對(duì)4.(左=1,…,s),解齊次線性方程組(4％-z)x=o,

得其一個(gè)基礎(chǔ)解系九,小2,…，私/*(4=〃_尸(4?紇―/)),貝1」如,松，…，私，4就是與矩陣N的特征值4(左=1,…,S)相

對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量，矩陣力的屬于特征值人的全部特征向量為小〃-+5%2/2+…+，其中S%"%，…，1人為

不全為零的任意常數(shù)(復(fù)數(shù))。

5.重要結(jié)論：設(shè)/為〃級(jí)方陣。

(1)若4,為…,4是矩陣力的全部特征值，那么”的跡"(4)=4+4+…+%，”的行列式詞=44…4。

(2)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，相同的跡，相同的行列式。

(3)設(shè)4eC是矩陣N的特征值，X。是矩陣/的屬于特征值4的特征向量，g(x)為一復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，那么：

①g(4)為g(N)的特征值，X。為g(N)的屬于特征值g(4)的特征向量；

②如果z還是可逆矩陣，那么」-與回分別為/T和/*的特征值，x0為/T的屬于特征值的特征向量，x0為/*的

屬于特征值回的特征向量；

③設(shè)。是〃級(jí)可逆矩陣，則兒是。一，。的特征值，Q-X。是。的屬于特征值4的特征向量；

④若4，為…,乙是矩陣4的全部特征值，那么g（4），g（否），…，g（4.）就是g（z）的全部特征值，如果力還是可逆矩陣,

則工,1~,…,1-為的全部特征值，回，回，…，回為4的全部特征值。

444,444,

6.矩陣的特征子空間：設(shè)N為“級(jí)方陣。

1）矩陣的特征子空間的定義：設(shè)