高等代數(shù)第5章二次型考研講稿

第5章二次型第1次課講稿

§5.1基本概念

二次型的定義

f(xt,…，尤〃)=Za再Xj=X'AX(5-1)

?J=I

a\\a\2a\n'xj

其中…%X=?稱為一個(gè)〃元二次型。

an2…ann>

如果陶€尸，就稱/（玉,々,…為數(shù)域尸上的一個(gè)〃元二次型，如果P=R,就稱/（石,々,…,馬）為一個(gè)〃元

實(shí)二次型，如果尸=C就稱/（芭,々「）當(dāng)）為一個(gè)〃元復(fù)二次型。

a\\a\2a\n

如果z=a；a2?=H,就稱/為二次型/&,…,x?)的矩陣(它是唯一的)，此時(shí)Z的秩為

4%2?"a”.)

/(x15x2,???,%?)的秩。

如果那么因?yàn)?

f(xx,x2,---,xn}=Yjaijxixi=X'AX=^X'AX+X'AX)=^X'AX+[X'AX^=^X'AX+X'AX)=X'^A+A')^X

Z+H）,因此f（x],x2,--,xn）的矩陣為:（N+H）,其第i行第/列

元素與第j行第列元素都等于,（%+a）

，12

例1.求二次型/（工）=（苞,々,七）384x2的矩陣。

1-5

2

解：/（x）的矩陣為:

2一,'

115/2-3、

1384+3845/283

2

「52U1-51一3

2

例2.設(shè)二次型/(占戶2,…,x,,)=Z(a“X|+ai2x2+---+ainxn),4e=1,2,…川，證明/(再,&,…,x”)

/=1

a\\a\2a\n

的秩等于矩陣/="：■"的秩。

a?2???a,2

'X]代、

XX

證明：因a/+知》2+…=（%,《2,…，冊）.2，所以若設(shè)Z的行向量組為%,。2,…，a”，X=:，就有

/JU>

anX]+ai2x2+…+ainxn=atX,進(jìn)而有:

/(x,,x2,---,x?)=f(《X)'(a,X)=fX〈a；ajX

/=!/=I/=i

=X〈a；aJX+X，(a；a2)X+…+X〈a：a“)X

x但的]X

\/=17

X2

(a”a2’一'’（須，々，…

因所以HN是/（占,W,…,x,J的矩陣，因此/（玉/2,…,x“）的秩就等于HN的秩,

而因%.€R（i,/=l,2,3,〃），所以Z為〃階實(shí)方陣，于是Z'/的秩等于Z的秩，故/（國,&,…,蒼,）的秩等于Z的

秩。

,?斯八

a\2?0x,???x?

a\2a22,,?a2n—X]a.1?a\?

例3.設(shè)/==HeRnxn且Mb。，求/a，…]]的矩陣。

aaa

、%〃Q2n,,,nn?fn\.,,m,

FQx'

解：令X=(X|,…,x,J,那么/(玉,…,怎)=?0：

—X.A.

((X'A-'X

0第2行左乘0、

加到第1行I-x4

得:

2

’1-X'A-'X、(X'A-'X0、’1-X'A''0X，X'A-'X0

n

、0E.)U4Jl-X4、0E“-X—XA

而因：

（1-X才0X)_1-X'A-'0X，1-X'A''X'A-'X0

[0以人-X(X'A-'X)\A\

AJOEJi-X八A0-XA

0X'_X'A-'X-1,

，（xi，…，怎）°=(x^|T4|=X'(|^|A-')X=X'AX

—XA~-X力

因此/,&,工2,…,X,J的矩陣為/*。

二.標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形、非退化線性替換、正交線性替換、矩陣合同、二次型等價(jià)

（1）標(biāo)準(zhǔn)形：數(shù)域尸上的〃元二次型/（演,》2,…,匕）=￡與'為=XNX可經(jīng)非退化線性替換X=CT（C為數(shù)域

ij=\

P上的可逆矩陣）化成平方和形式：

將"戌+出w+…dny；稱為二次型/（x,,x2,--,x?）的標(biāo)準(zhǔn)形。

（2）規(guī)范形：①復(fù)二次型的規(guī)范形:z；+z；+-z；

②實(shí)二次型的規(guī)范形:yfH—yp2~yp2+\------y；

（3）非退化線性替換：X=CY,|C|^0；Y=C''X.

（4）正交線性替換：X=UY,U為正交矩陣（U為〃階實(shí)方陣，且U'U=UU'=E“），正交線性替換是非退化線

性替換。

（5）矩陣合同

①定義：數(shù)域P上“X〃矩陣45稱為合同的，如果有數(shù)域尸上的〃X”可逆矩陣C,使得6=CNC,止匕時(shí)

也稱46在數(shù)域尸上合同。

②矩陣合同的性質(zhì)：設(shè)4屬C都是數(shù)域P上的〃x〃矩陣。

性質(zhì)1：自反性：/與/合同，因/=ENE；

性質(zhì)2：對稱性：如果4與5合同，那么5與4合同，因如果3=CNC（|C|w0）,則/=

性質(zhì)3：傳遞性：如果/與6合同，且6與。合同，那么4與C合同，因如果5=耳4＜（山上0）,

。=今明（閭*0）,那么c=（4￡）Z（耳刃（山闈HO卜

（6）二次型等價(jià)

3

①定義：數(shù)域尸上兩個(gè)〃元二次型：^^*（力'=/）與卜5￥（6'=5）,如果存在一個(gè)非退化線性替換x=cy（C

是數(shù)域P上的〃X〃可逆矩陣），把XNX變成那么稱二次型XNX與F5F（在數(shù)域尸上）等價(jià)，記作

X'AX=Y'BYo

②性質(zhì)

性質(zhì)1：自反性：XNX與XNX等價(jià)，因X=EX將XNX化為XNX；

性質(zhì)2：對稱性：若XNX與y5y等價(jià)，則yay與XNX等價(jià)，因若x=cr（。是數(shù)域P上的〃義〃可逆矩陣）,

把X'AX變成,則非退化線性替換Y=CX將YBY變成XAX；

性質(zhì)3：傳遞性：如果XNX與HBF等價(jià)，且PBF與Z'FZ等價(jià)，則XNX與Z'FZ等價(jià)，因若X=CJ（G是

數(shù)域P上的“X〃可逆矩陣）把XNX變成,Y=C2ZIC2是數(shù)域尸上的〃x〃可逆矩陣）將F5F變

成Z'E資產(chǎn)'=/）,那么X=GC2y就將XNX化為Z&Z（F'=b）。

§5.2結(jié)論

①設(shè)…,當(dāng)）是數(shù)域p上的任一〃元二次型，則一定存在非退化線性替換x=cy（其中。是數(shù)域尸上的一

個(gè)〃階可逆矩陣）將/（x?x2,???,%?）化成標(biāo)準(zhǔn)形，即/（x,,x2,與d^+d2y}+---+dry^

（4，人,…4.eP\{0}/為/（陽,々,…，怎）的秩），等價(jià)的說法是對數(shù)域尸上的任一〃階對稱矩陣/，一定存在數(shù)

'4、

d

域P上的一個(gè)〃階可逆矩陣C,使得CNC='0,4d2…4=0，r為"的秩。

、0,

②如果〃元二次型/（X）=X'AX[A'=/）經(jīng)非退化線性替換X=CY化為了〃元二次型g（y）=Y'BY（B'=B）,

則有：

f（X）=X'AX=（CY）'A（CK）=Y'（C'AC）r=g（r）

而因（C%C）'=CNC,因此g（y）的矩陣6=CNC,知/（x）,g（y）的矩陣是合同的，反之，如果

/（X）=X4￥（/'=/）的矩陣/與g（y）=rBy（5'=5）的矩陣5合同，則有可逆矩陣C,使得CNC=3,那

么/（x）=XNX（/'=A）可經(jīng)非退化線性替換X^CY化成〃元二次型g（y）=Y'BY（B'^B）,等價(jià)的說法是數(shù)域

尸兩個(gè)〃元二次型等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們的矩陣在數(shù)域尸上合同。

③設(shè)/（司,》2,…,X”）是復(fù)數(shù)域C上的一個(gè)秩為r的〃元二次型，則一定存在非退化線性替換X=CJ（其中G是

復(fù)數(shù)域C上的一個(gè)〃階可逆矩陣）將/（X32,…,x“）化成規(guī)范形z：+Z；+…Z；,等價(jià)的說法是任一〃階復(fù)對稱矩陣

4

（EO}（EO\

A,一定〃階復(fù)可逆矩陣C,使得CZC=',即N在復(fù)數(shù)域上與r合同，其中尸為力的秩，于是

[0O）I。0）

兩個(gè)〃元復(fù)二次型等價(jià)（兩個(gè)〃階復(fù)對稱矩陣在復(fù)數(shù)域上合同）當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩。

④設(shè)…,X"）是實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)〃元二次型，則一定存在非退化線性替換萬=。2丫（其中G是實(shí)數(shù)域R

上的一個(gè)〃階可逆矩陣）將/&,和…,天）化成規(guī)范形"+…+片—%M——?，其中r為/（%,當(dāng)，…,X”）的秩，

p與q=r—.分別為實(shí)二次型/（花,々,…,天）的正負(fù)慣性指數(shù)，p_q=p_（r—p）=2p_r為實(shí)二次型

…，怎）的符號差，等價(jià)的說法是任一〃階實(shí)對稱矩陣力,一定〃階實(shí)可逆矩陣C,使得

、約、

CAC~E'-P,即“在實(shí)數(shù)域上與-E'-P合同，其中r為Z的秩，p與q=r—p分別為

O)O)

實(shí)對稱矩陣力的正負(fù)慣性指數(shù)，p—q=p-（r-p）=2p-尸為實(shí)對稱矩陣/的符號差，于是兩個(gè)〃元實(shí)二次型等價(jià)

（兩個(gè)〃階實(shí)對稱矩陣/在實(shí)數(shù)域上合同）當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)（或負(fù)慣性指數(shù)或符號差）。

，BC

例1.（陜西師大2014年，五，15分）設(shè)紇*，為正定矩陣，（加<〃）為實(shí)列滿秩矩陣，令/=

T

ro7

則/&,…,x“）=xrAx的正負(fù)慣性指數(shù)分別為n,m。

證明：因?yàn)榧v、“為正定矩陣，為實(shí)列滿秩矩陣，所以/為實(shí)對稱矩陣，因此/是實(shí)二次型

/（西廣2L-,怎）=*T/*的矩陣。又因?yàn)檎ň仃嚕詾閷?shí)可逆對稱矩陣，于是有:

，EO、

<-CrBl-CW,

BO、

知力與在實(shí)數(shù)域上合同，推出它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)。

OC

因?yàn)檎ň仃?，所以ST為正定矩陣，而C“x?，（加<〃）為實(shí)列滿秩矩陣，因此。丁5一1。為機(jī)階正定矩陣，于

是存在〃階實(shí)可逆矩陣P與加階實(shí)可逆矩陣0,使得

P'BP=紇,QT?6七)°=EmnQT=_/

（PO\

令尸=,則尸為"+機(jī)階實(shí)可逆矩陣，且:

I。Q）

y

JB。\fpT0丫5OYPO)(PBPO]fE?O、

2T10JQj[O0(—[0-E

(0-CrB'C)(0-CBCm>

5

BOy(EO\BOy

知與n在實(shí)數(shù)域上合同，因此的正負(fù)慣性指數(shù)分別為〃，用，知力的正

(ry

O-CB'C)O-EJO-CB'C7

負(fù)慣性指數(shù)分別為〃，加，得/（%,馬,…,x“）=xT/x的正負(fù)慣性指數(shù)分別為〃，加。

-為機(jī)階負(fù)定矩陣,

⑤任一〃元實(shí)二次型/（X）=X4X（H=/）都可經(jīng)正交線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形4%+其中

4,4,…,4,為/（x）的矩陣/的全部特征值，等價(jià)的說法是任一〃階實(shí)對稱矩陣力,一定存在〃階正交矩陣u,使

得

、

4

U'AU=U''AU4,即實(shí)對稱陣N正交合同于對角陣4

§5.3化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法

配方法

例L（東師2010年，5）用非退化線性替換將二次型/（當(dāng)/2，工3）=占》2一%%3+3》2工3化為標(biāo)準(zhǔn)形。

%=%+%\10>必

解：先將/（石,工2，W）化為含有平方項(xiàng)的二次型，令：｛%2=,一%，即々

1-10y2，得:

否=為100U

/（芭,W,玉）=中2-中3+3醇=（凹+8）（乂—必）一（凹+%）為+3（乂一歹2）%=歹：一貨+2弘%—4%%

接著將夕：-y\+2凹為一4%為按乂（或外）進(jìn)行配方:

/（七,乂2,七）="一貢+2凹乃—4y2y3=（爐+（2%）凹）+（一貨-”2%）=（乂+乃『一W+（-只-4為匕）

X、

（凹+為『

+法濘上施=（…）+3+（"）幻-為

平方項(xiàng)7\按%進(jìn)行配方

,2

4==乂+73>,=z,-z3'乂、p0

z2z

令：＜Z2=%+2%,得：，y=2-3'即：=01-2z

2y22

[o0Z

：Z1Jl3y

Z3=%.%=3J3,

22

得：,x2,x3)=Z,—Z2+3z,O

%)'11010-r’4、11-3、心、

所作的非退化線性替換為x21-1001-2Z21-11Z2

、00001>“3,00“3,

6

二.合同變換法（初等變換法）

由/fCNCQCwO）叫做對/做合同變換（北大教材第4版P216）,設(shè)C=<6…1,那么:

C/C=（4心…4）0（4巴…居）=（方…6或）/（4￡…兄）=…（g（4/耳）巴）…兄7）々

因此對z做合同變換z3c%c（|c|豐o）相當(dāng)于對/連續(xù)實(shí)行上次合同變換。

設(shè)CNC=5,就有：

（W上）’4—記）=5

以初上）=。

由上面這兩個(gè)式子可知：對矩陣，實(shí)行一系列的合同變換,同時(shí)對單位矩陣E實(shí)行同一系列的初等列變換，當(dāng)將Z化

為B時(shí)就將單位矩陣E化成了C。

注意：

i列/列

（\

i行

一一是對稱矩陣，所以P（i,j）'=P（z,j）

/行

1

是對角矩陣，所以P（i/））'=P（i（幻）

P(i(左))=k，行

1

7

Z,列/列，列/列

'1、fl、

1???ci行1訪

尸&/(，))=：，則尸&/?)'=：=P"i(c))

17行c???1/行

于是:

P(i,j)'AP(i,j)=P(i,j)AP(i,J)

P(i(k))'AP(i(,k))=P(i(Q)/P(z?⑹)

P(i,j(c)yAP(i,j(c))=P(j,/(c))JP(z,7(c))

知：

合同變換ZfP(i,jyAP(i,j)即：/.施J兩列交揄J.行>/億))'/「(」/)

合同變換ATP(i(k)yAP(i(k))即：/第一乘上"->/尸?(左))第不乘上木?>尸(，(左))'/尸?(后))

合同變換P(i,/(c))'4P(i,/(c))即：.一薪”/P(i，/(c))鬻蓊->P(4))'/P(港))

因此：合同變換zf6^6(4是初等矩陣)就是對列怎么操作了就對行怎么操作。

'4、

現(xiàn)在假設(shè)CNC=dr0(d4…d,wo),C=4￡…居，其中匕巴,…，我都是初等矩陣,

、0,

則有：

'4、

(桃…4)'/(4%-上)=40

、o,

E"』)=C

如何保證在對/實(shí)行一系列的合同變換的同時(shí)對E實(shí)行同一系列的初等列變換呢？如下做即可。

8

“107耳、P；A\P；P；APR

P=

ETEP'防~E2

7\77EPR

(((f心…出"p)p

E

12/7

仔4、、

4

\、、陽明…舄耳"A…九始

46…九P=o

EkEPRR

//>

OJ

C

7

例2.用合同變換法（或初等變換法）將/（苞,々,七）=七馬—/工3+3吃演化為標(biāo)準(zhǔn)形。

￡

0

2~2

23（A\

解：①求出/（須,》2，》3）=》也一再t3+3/七的矩陣/0；②構(gòu)做矩陣-并對Z做合同變

22E

3

_20

「527

（C'ACy

換，同時(shí)對E做相同的初等列變換將其化為一百,其中CNC為對角陣:

100

010

k001

A的主對角線元素全是0,需對其做合同變換將其主對角線上第1個(gè)元素化為不等于0,為此可在力選一不等于0的

元素，如果它不在第1行或第1歹人要將其所在行和列交換到第1行第1歹U,這里我們選/的第1行第2個(gè)元素工，

2

（A}

就不用交換行、列了，之后將-的第2列加到第1歹U,將得到的矩陣的第2行加到第1行：

E

\7

9

11(\11/1

0、_、11

222222

131313

000

222222

13第2列加到、3第2行加到、3

E0第1列?10第1行,10

\/2222

100100100

010110110

10

01701;<00

做了一次合同變換

在上面最后一個(gè)矩陣中用（1,1）位置的元素先將其所在的行它右邊的元素都化成0,之后再用它將其所在的列中

它下面位于第二行和第三行的兩個(gè)元素化為0（注意先做初等列變換，再做初等行變換，這樣簡單），即：

>

1_'100、'100、

|_

_

21_

_1-11

_0--1

_

|3_244

O|_

2_11-101-1

2_第1行乘上-?加到第2行

_第1列乘上加到第2列

3_

。_第1列乘上-1加到第3列》第1行乘上-1加到第3行,

|_

_1---11---1

2_22

100

1--11--1

11022

10。U1001J

、001；

做了兩次合同變換

在上面最后一個(gè)矩陣中（2,2）位置的元素不等于0,用它將其所在的行它右邊的元素化為0,之后再用它將其所

在的列中它下面位于第三行的那個(gè)元素化為0,即：

’100、’100、'100、

0--10--00--0

444

01-1013001

(C'ACy

第2列乘上4第2行乘上4、

加到第3列,加到第3行,

1---11---31---3~C

222\7

1--11-11-1

222

I。。UI。。dI。。U

做了一次合同變換

'1-1/2-3］仍、

③令入=。丫，即：

%2=11/21y2,就得:

、°o1

，（玉,馬,W）=必2_0/4）H境

三.用正交線性替換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

用正交線性替換化實(shí)二次型/（須,…,x,J=XZX（H=/）為標(biāo)準(zhǔn)形。對實(shí)對稱矩陣/求正交矩陣。，使得

10

CNC=CTZC=對角矩陣。

方法：①求z的特征多項(xiàng)式心上一H的根4，4,…

②對不同的特征值，求出線性無關(guān)的特征向量，即（4E-/）x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系：

③將屬于同一特征值的特征向量單位正交化，湊在一起得單位正交特征向量：回，夕2,…，氏。

’4、

令C=（￡”2,…,月），貝hC'AC=C'AC=4..。

等價(jià)地，令x=cy,則：怎）=4"+%$+…+4"

例3.用正交線性替換將實(shí)二次型/（西/2，毛）=丁+2對一2片+4%演化成標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交線性替換

和對應(yīng)的正交矩陣。

"102"

解：二次型/（%,%,天）的矩陣為/=020,由矩陣/的特征多項(xiàng)式：

(20-2J

Z-10-2

吠-4=02-20=(4-2)2(4+3)

-20/1+2

得Z的特征值4=4=2,4=-3。

對于4=4=2,解齊次線性方程組（2E「Z）x=0,得其基礎(chǔ)解系4=（2,0,1）',^,=（0,1,0/

對于4=一3,解齊次線性方程組（―3區(qū)一，）*=0,得其基礎(chǔ)解系￡=（1,0,-2）',

由于品友,芻已是正交向量組，因此將短女，當(dāng)單位化，可得7=（2/石,0,1/石）‘，名=（0」,0）',

,（2/石01心、

7，=（l/V5,0,-2/V5）\令矩陣0=（7，%,7）=010,則。為正交矩陣，進(jìn)而，在正交線性替換

J/V50-2/V5y

‘200、

X=QF下，有Q'ZQ=020,且二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為/=2弁+2月一3只。

、00-3,

,2-20、

例4.（東師2013年，五）/=一21-2,求正交矩陣7,使得T-/T為對角矩陣。

,0-20.

解：①求/的特征值:

11

2-220

2=2(22-32+2)-42-4(2-2)=23-322-62+8

I花「北22-1

022

其有理根只能是±1,±2,±4,±8,又:

1-3-68

1-2-8

1-2-80

2-220

得：設(shè)區(qū)一劃2Z—1223-322-62+8=(2-1)(22-22-8)=(2-1)(2-4)(2+2),于是Z的特征

022

值為4=1，44,4——2o

②對不同的特征值，求出線性無關(guān)的特征向量:

對4=1,解（1七3一））》=0：

’-120、<-120、’-120、q-20、

14—/=202->042021021

、02、021)、000,1000>

%=2X2

得（1每一/）》=0的一般解為.,它為自由未知量，于是得屬于特征值4=1的線性無關(guān)特征向量

產(chǎn)3=-2X

、2

1

、一27

對4=4,解（4七3-/）8=0：

220、11O'110、’10-2、

g_/=232012-?012012

024>024,000.000,

\

%=2X3

得(4K,—/)x=0一般解<專為自由未知量，于是得屬于特征值4