誤差分析與數(shù)據(jù)處理應(yīng)用

誤差分析與數(shù)據(jù)處理應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類(lèi)評(píng)定方法：

（一）定義：用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的不確定度。（二）評(píng)定方法：用貝塞爾公式計(jì)算；標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類(lèi)評(píng)定方法：（一）定義：用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的不確定度。（二）評(píng)定方法（兩大類(lèi)）：

B類(lèi)評(píng)定方法獲得的不確定度，是設(shè)法利用與被測(cè)量有關(guān)的先驗(yàn)信息來(lái)進(jìn)行估計(jì)，這些先驗(yàn)信息如有關(guān)測(cè)量?jī)x器的示值誤差等。

1）B類(lèi)評(píng)定第一大類(lèi):類(lèi)似于已知擴(kuò)展不確定度（將其除以包含因子即可）。

2）B類(lèi)評(píng)定第二大類(lèi)：類(lèi)似于已知最大示值誤差（將其模除以即可。標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定小結(jié)第四章測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定第一節(jié)測(cè)量不確定度的基本概念與分類(lèi)第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定第三節(jié)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度第四節(jié)擴(kuò)展不確定度第五節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)的處理步驟和測(cè)量結(jié)果的表達(dá)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（combinedstandarduncertainty）

1、定義：

當(dāng)測(cè)量結(jié)果由若干個(gè)其他量的值求得時(shí)，測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度等于這些量的方差和（或）協(xié)方差加權(quán)和的正平方根，其中權(quán)系數(shù)按測(cè)量結(jié)果隨這些量變化的情況而定。

2、符號(hào)：用符號(hào)uc表示。

3、評(píng)定方法：

當(dāng)測(cè)量結(jié)果受多個(gè)因素影響而形成若干個(gè)不確定度分量時(shí)，測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度通過(guò)多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成得到。概念合成公式:ui——第ｉ個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量（A類(lèi)或B類(lèi)）m——不確定度分量的個(gè)數(shù)

——第ｉ和第j個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量之間的相關(guān)系數(shù)uc——合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成方法若各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量相互間獨(dú)立時(shí)，測(cè)量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算公式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：ui——第ｉ個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量（A類(lèi)或B類(lèi)）m——不確定度分量的個(gè)數(shù)uc——合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成方法例：50米的泳道，比賽官員要求檢查中間泳道的長(zhǎng)度。檢查時(shí)用高質(zhì)量殷鋼制成的帶尺，帶尺用恒定張力拉緊。帶尺的溫度效應(yīng)和彈力效應(yīng)很小，可忽略。查閱帶尺技術(shù)說(shuō)明，得知帶尺的分化刻度誤差不大于±3mm。6次測(cè)量值為：50.005,49.990,50.003,49.998,50.004,50.001,試求泳道長(zhǎng)度的估計(jì)值及它的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(x)。

分析:1）有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量？由6個(gè)測(cè)值得到的A類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u1；由帶尺的分化刻度誤差引起的B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u2；

計(jì)算舉例第7頁(yè)2）設(shè)被測(cè)量為x,測(cè)量的數(shù)學(xué)模型如何建立？為了評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，首先要根據(jù)測(cè)量方法和測(cè)量過(guò)程建立測(cè)量數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型只是計(jì)算被測(cè)量的函數(shù)關(guān)系式，我們以它作為基礎(chǔ)，導(dǎo)出測(cè)量結(jié)果不確定度的關(guān)系式。計(jì)算舉例3）如何將兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成？應(yīng)按標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成公式來(lái)合成，按兩個(gè)分量之間相互獨(dú)立處理：計(jì)算舉例例：數(shù)字電壓表制造廠說(shuō)明書(shū)中說(shuō)明：在1V內(nèi)示值最大允許誤差的模為14×10－6×（讀數(shù)）＋2×10－6×（范圍），求：1）當(dāng)測(cè)值為時(shí)B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

2）若按A類(lèi)方法評(píng)定已求出其重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)不確定度為,試求合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(V)。解：

1）求當(dāng)測(cè)值為時(shí)B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度最大允許誤差的模為：

14×10－6×（）＋2×10－6×（1V）=15μV

判斷為均勻分布，則：計(jì)算舉例對(duì)于間接測(cè)量的情況，Y=F(X1,X2,……Xm)時(shí)，有如下的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播律（公式）：式中：

uc(y)——輸出量估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

u(xi),u(xj)——輸入量估計(jì)值xi和xj

的標(biāo)準(zhǔn)不確定度函數(shù)F(X1,X2,…

）在(x1,x2,…,xm)處的偏導(dǎo)數(shù)，稱為靈敏系數(shù)，在誤差合成公式中稱其為傳播系數(shù)；ρij——Xi和Xj

在(xi,xj)處的相關(guān)系數(shù)間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成對(duì)于間接測(cè)量的情況的一個(gè)特例，Y=F(X1,X2,……Xm)，當(dāng)?shù)冢楹偷趈個(gè)輸入量xi

和xj

相互間均獨(dú)立時(shí)ρij＝0,這時(shí)間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播公式可簡(jiǎn)化為：式中：

uc(y)——輸出量估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

u(xi),u(xj)——輸入量估計(jì)值xi和xj

的標(biāo)準(zhǔn)不確定度函數(shù)F(X1,X2,…

）在(x1,x2,…,xm)處的偏導(dǎo)數(shù)，稱為靈敏系數(shù)，在誤差合成公式中稱其為傳播系數(shù)；間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成若函數(shù)為：y=x1+x2+…+xm,則各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的靈敏系數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）為1，測(cè)量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算公式可簡(jiǎn)化為：若y=x1+x2+…+xm,且xi

相互間獨(dú)立時(shí)，測(cè)量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算公式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成討論：合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播律（公式）有什么用途？

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播律（公式）的用途：

1）剛開(kāi)始評(píng)定各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量時(shí)，幫助找全應(yīng)該加以評(píng)定的各個(gè)A類(lèi)、B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量。

2）最后，用該合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播公式，確定如何由各不確定度分量，去最終計(jì)算出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。討論討論：分析前述的泳道測(cè)量不確定度合成有沒(méi)有考慮敏感系數(shù)？

為了評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，首先要根據(jù)測(cè)量方法建立測(cè)量數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是被測(cè)量的函數(shù)關(guān)系式，用它導(dǎo)出合成不確定度與各不確定度分量的關(guān)系式。前述例子，實(shí)際用的是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播公式的最簡(jiǎn)式。討論例：為確定鋁型材（矩形截面)的抗拉強(qiáng)度σ（單位MPa,1MPa＝1N/mm2

)，在拉力試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行拉斷測(cè)試試驗(yàn)。截面的寬度b＝12.5±0.2mm,，厚度h＝2.4±0.1mm,按要求制成5個(gè)試樣進(jìn)行拉斷試驗(yàn)，使用測(cè)量?jī)x器性能如下：拉力試驗(yàn)機(jī)：1級(jí)，最大允許誤差±1％，游標(biāo)卡尺(測(cè)寬）：最大允許誤差，千分尺(測(cè)厚）：最大允許誤差±4μm，測(cè)量模型：σ=F/bh，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78計(jì)算舉例第16頁(yè)一、抗拉強(qiáng)度σ平均值的兩種計(jì)算方法12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78計(jì)算舉例二、測(cè)量結(jié)果合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(c)的確定：計(jì)算舉例二、測(cè)量結(jié)果合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(c)的確定：計(jì)算舉例二、測(cè)量結(jié)果合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(c)的確定：計(jì)算舉例二、測(cè)量結(jié)果合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(c)的確定：計(jì)算舉例計(jì)算舉例計(jì)算舉例討論：

1）間接測(cè)量時(shí)不確定度分量的單位量綱為何不同？

2）兩種計(jì)算方法偏差為何較大？3）哪種計(jì)算方法更好些？計(jì)算舉例計(jì)算舉例原因：在同一組測(cè)值中，寬度b和厚度h一個(gè)大時(shí)，另一個(gè)則小，致使按公式σ＝F/bh計(jì)算出的σi相差不多，即：b和h可能負(fù)相關(guān)，F(xiàn)和h可能正相關(guān)，F(xiàn)和b可能負(fù)相關(guān)。若將相關(guān)考慮后應(yīng)有所改進(jìn)。哪種計(jì)算方法好？12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78計(jì)算舉例12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78計(jì)算舉例利用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度來(lái)計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：對(duì)于間接測(cè)量的情況，y=f(x1,x2,……xm)，當(dāng)數(shù)學(xué)模型為：

這時(shí)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)是被測(cè)量為各個(gè)輸入量的乘積，若第ｉ個(gè)和第j個(gè)輸入量xi

和xj

相互間均獨(dú)立,ρij＝0,則間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播公式如下式，可看出傳播系數(shù)計(jì)算較繁：間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成第28頁(yè)利用各不確定度分量的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度來(lái)計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度往往比較方便。間接測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成這時(shí)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算公式為：例：對(duì)于Y＝bX1X2X3，輸入量X1，X2，X3的估計(jì)值x1,x2,x3彼此獨(dú)立，若：urel(x1)=u(x1)/x1=0.25%,測(cè)量次數(shù)n1=10

urel(x2)=u(x2)/x2=0.57%,測(cè)量次數(shù)n2=5

urel(x3)=u(x3)/x3=0.25%,測(cè)量次數(shù)n3=15試求:其相對(duì)合成不確定度ucrel。計(jì)算舉例第30頁(yè)一、計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，一般應(yīng)先建立測(cè)量數(shù)學(xué)模型，而為了正確建立數(shù)學(xué)模型，則應(yīng)找全影響測(cè)量結(jié)果的各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量。二、為計(jì)算儀器最大允許誤差引起的不確定度對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的貢獻(xiàn)，在建立測(cè)量數(shù)學(xué)模型時(shí)，常采用其值為零而標(biāo)準(zhǔn)不確定度不為零的修正值Δ。三、當(dāng)利用不確定度傳播律來(lái)計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)，若各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量相互間獨(dú)立而不相關(guān)，則公式及計(jì)算都將簡(jiǎn)化。大多數(shù)測(cè)量場(chǎng)合該條件可滿足，但并不是所有的場(chǎng)合均可如此簡(jiǎn)化。故應(yīng)仔細(xì)分析各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量相互間的關(guān)系，并在設(shè)計(jì)測(cè)量試驗(yàn)時(shí)預(yù)先采取措施以爭(zhēng)取各分量相互間獨(dú)立。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度小結(jié)第四章測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定第一節(jié)測(cè)量不確定度的基本概念與分類(lèi)第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定第三節(jié)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度第四節(jié)擴(kuò)展不確定度第五節(jié)測(cè)量數(shù)據(jù)的處理步驟和測(cè)量結(jié)果的表達(dá)1、定義：

擴(kuò)展不確定度（expandeduncertainty）：確定測(cè)量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測(cè)量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間。（這個(gè)大部分實(shí)際是指超過(guò)90％）。

擴(kuò)展不確定度由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc乘以一個(gè)包含因子k得到。（k一般在2～3范圍內(nèi)選取）。

expandeduncertainty：quantitydefininganintervalabouttheresultofameasurementthatmaybeexpectedtoencompassalargefractionofthedistributionofvaluesthatcouldreasonablybeattributedtothemeasurand.

2、符號(hào)：用符號(hào)U,Up表示。記為：U=k*uc

或：Up=k*uc

注：擴(kuò)展不確定度UP的下標(biāo)p表示的是擴(kuò)展不確定度U的置信概率?；靖拍顬槭裁匆欢ㄒ勾藚^(qū)間包含合理賦予被測(cè)量之值分布的大部分？不包含大部分有什么問(wèn)題？合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的量綱是什么？相關(guān)系數(shù)的量綱是什么？包含因子的量綱是什么？擴(kuò)展不確定度的量綱是什么？思考包含因子k的確定：

包含因子k的大小由置信概率p和分布的類(lèi)型確定。1）如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，則按正態(tài)分布考慮。

這時(shí)相對(duì)應(yīng)的包含因子k與置信概率p的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

p=95%時(shí)k=1.96，擴(kuò)展不確定度符號(hào)：U95

(有時(shí)表示成α＝0.05)

p=99%時(shí)k=2.576，擴(kuò)展不確定度符號(hào)：U99(有時(shí)表示成α＝0.01)

有些場(chǎng)合也用：k=2這時(shí)p=95.45%

或k=3這時(shí)p=99.73%包含因子的確定置信概率的確定原則：

1）一般測(cè)量：選p=95%

2）重要的測(cè)量：選p=99%？2）重要的測(cè)量，或測(cè)量次數(shù)較小時(shí)，k由t分布確定：

包含因子k（t分布時(shí)常用符號(hào)t表示）由置信概率p(或α）、以及自由度ν從t分布表查出。包含因子的確定t分布特點(diǎn)：

1、當(dāng)測(cè)量次數(shù)n較小時(shí)，t分布更精確。

2、相同測(cè)量次數(shù)下，t分布k值比正態(tài)分布k值大。

3、相同置信概率下，自由度不同時(shí)查出的k的值不同。

實(shí)例自由度的概念自由度定義為計(jì)算總和中獨(dú)立項(xiàng)的個(gè)數(shù)，即總和的項(xiàng)數(shù)減去其中受約束的項(xiàng)研究自由度的意義自由度的大小直接反映了不確定度的評(píng)定質(zhì)量，自由度并非測(cè)量結(jié)果的自由度，而是所評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)偏差的自由度，也就是不確定度的自由度

不確定度的評(píng)定質(zhì)量取決于標(biāo)準(zhǔn)差的可信賴程度，標(biāo)準(zhǔn)差的信賴程度與自由度關(guān)系如下：

上式表明：自由度越大，標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)不確定度越小，標(biāo)準(zhǔn)差愈可信賴。自由度相對(duì)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差公式推導(dǎo)期望：標(biāo)準(zhǔn)差：若x1，x2，…，xn是來(lái)自某測(cè)量總體的一個(gè)測(cè)量樣本，滿足正態(tài)、獨(dú)立和相同測(cè)量條件，則有預(yù)備知識(shí)：分布若為獨(dú)立服從同分布N（0，1）的隨機(jī)誤差變量，則：

稱服從自由度為的分布，記為。相對(duì)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差公式推導(dǎo)設(shè)x1，x2，…，xn是來(lái)自某測(cè)量總體的一個(gè)測(cè)量樣本，滿足正態(tài)、獨(dú)立和相同測(cè)量條件，則有（1）根據(jù)貝塞爾公式，有代入（1）式，（2）（3）取的方差，有即有以下推導(dǎo)，注意到，用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并取一階近似：（4）（5）（6）取方差：（7）相對(duì)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差公式推導(dǎo)因此有：若單次測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x)的自由度為n-1,

請(qǐng)問(wèn)：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度是多少？

測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的自由度和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的自由度是否相同？為什么？

算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的自由度仍然是n-1。

因測(cè)量次數(shù)n相同，計(jì)算這兩者時(shí)所依據(jù)的信息量相同，故可靠程度應(yīng)相同。

從另一個(gè)角度考慮，因?yàn)樽杂啥圈捅硎镜氖遣淮_定度自身的不確定度的大小，自由度相對(duì)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差思考自由度的計(jì)算方法（評(píng)定）情況1）：對(duì)于一個(gè)測(cè)量樣本，自由度等于該樣本數(shù)據(jù)中的n個(gè)獨(dú)立測(cè)量個(gè)數(shù)減去待求量的個(gè)數(shù)1，即。情況2）：對(duì)某量X進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量，在用貝塞爾公式計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差是，需要計(jì)算殘差平方和中的n個(gè)殘差，因?yàn)閚個(gè)殘差滿足一個(gè)約束條件，即獨(dú)立殘差個(gè)數(shù)為n-1，即用貝塞爾公式估計(jì)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的自由度為n-1。情況3）：按估計(jì)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)定義的自由度稱為有效自由度，記為Veff，計(jì)算公式為：（常用于B類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定）自由度評(píng)定合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度：

當(dāng)各不確定度分量ui的自由度均已知時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc的自由度（常稱為有效自由度）計(jì)算公式為：自由度評(píng)定例：試求某被測(cè)量的合