浙江省紹興市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

紹興市2021學(xué)年第二學(xué)期高中期末調(diào)測(cè)高二數(shù)學(xué)一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的計(jì)算求解即可【詳解】由題意，故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以.故選：A3.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由含存在量詞的命題的否定方法寫出命題的否定即可.【詳解】命題的否定在否定結(jié)論的同時(shí)，量詞作相應(yīng)改變，所以命題“，”的否定為，，故選：B.4.在中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】在中，考查“”和“”的推理關(guān)系，看誰可以推出誰，即可得到答案.【詳解】在中，當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，成立，當(dāng)時(shí)，不妨取，即不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A5.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，且的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】討論時(shí)和時(shí)，函數(shù)的圖象增減即可判斷出可能的圖象，即得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，為指數(shù)函數(shù)，且遞減，為冪函數(shù)，且在時(shí)遞增，遞增的幅度隨x的增大而增加的更快，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，為指數(shù)函數(shù)，且遞增，為冪函數(shù)，且在時(shí)遞增，遞增的幅度越往后越平緩，故C,D錯(cuò)誤,故選：B6.從名男生名女生中任選人參加學(xué)校組織的“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”的演講比賽，則在男生甲被選中的條件下，男生乙和女生丙至少一人被選中的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題是條件概率的理解與計(jì)算，男生甲被選中為事件，此時(shí)成為樣本空間，事件就是積事件，根據(jù)古典概型知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】設(shè)男生甲被選中為事件，男生乙和女生丙至少一人被選中為事件，由古典概型知識(shí)可知，.故選：C.7.已知平面向量，滿足，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，設(shè)與夾角為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可設(shè)，由題意求出，根據(jù)向量的幾何意義找到向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的區(qū)域，結(jié)合向量夾角的含義，找到與夾角最大時(shí)或夾角無限小時(shí)的位置，即可求得答案.【詳解】由題意可設(shè)，則由于對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，故恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，故，即，所以向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于如圖所示的直線外部的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界直線），設(shè)，，則,故，不妨假設(shè)向量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在上部分區(qū)域內(nèi)，則由圖可以看到當(dāng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于B處，即在直線上，且當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，所以，即最小值為，由圖可以看到，當(dāng)B點(diǎn)沿直線向外運(yùn)動(dòng)或在陰影部分中向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以無限趨近于0，故，因此的范圍是，當(dāng)B點(diǎn)位于直線上或下方的區(qū)域內(nèi)時(shí)，同理可求得的范圍是，故選：D8.已知，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】觀察，發(fā)現(xiàn)都含有，把換成，自變量在或其子集范圍內(nèi)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性，比較的大小.【詳解】令，，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以，又，所以，成立，所以即，令，，在為減函數(shù)，所以，即，令，，在為減函數(shù)，所以，即，所以，成立，令，則上式變?yōu)?，所以所以，所?故答案為：B.【點(diǎn)睛】比較大小題目，是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，通過觀察和構(gòu)造函數(shù)是基本的解題要求，難點(diǎn)在于構(gòu)造后的證明，需要平時(shí)多積累常見的結(jié)論，達(dá)到深入理解，舉一反三，融會(huì)貫通.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.已知，且，則下列不等式中，恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值判斷A，利用基本不等式判斷B、C、D.【詳解】解：對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，滿足，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：BCD10.設(shè)函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在上是增函數(shù)D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】先根據(jù)題意化簡(jiǎn)，由周期公式判斷A、整體代入思想求出函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)增區(qū)間判斷B，C，函數(shù)的平移變換判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期是，故A正確；對(duì)于B，令，則，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B不正確；對(duì)于C，令，解得：，令，，故C正確；的圖象向左平移個(gè)單位可得，的圖象關(guān)于對(duì)稱，向左平移可得關(guān)于對(duì)稱，故D不正確.故選：AC.11.在正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，的面積為定值D.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，確定點(diǎn)在面對(duì)角線上，通過證明面面平行，得線面平行；對(duì)于B選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，由等體積法，說明三棱錐的體積為定值；對(duì)于C選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，的底不變，高隨點(diǎn)的變化而變化；對(duì)于D選項(xiàng)，通過平移直線，找到異面直線與所成的角，在正中，確定其范圍.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，又平面，所以平面，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積為定值，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，過作于點(diǎn)，則，其大小隨著的變化而變化，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，因?yàn)榍?所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角是直線與所成角，在正中，的取值范圍為，D正確.故選：ABD.12.已知采用分層抽樣得到的樣本數(shù)據(jù)由兩部分組成，第一部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；第二部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)，則以下命題正確的是（）A.設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則B.設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則C.設(shè)總樣本的方差為，則D.若，則【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由放縮可得；對(duì)于B選項(xiàng)，舉例說明B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，舉例說明C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，代入總體方差計(jì)算公式，可得.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，則，B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，則，，C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，D正確.故選：AD.三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式先求出，再求，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.14.已知隨機(jī)變量，則___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即可求得答案.【詳解】由隨機(jī)變量，可知隨機(jī)變量X對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，故，故答案為：15.現(xiàn)要給1個(gè)小品類節(jié)目，2個(gè)唱歌類節(jié)目，2個(gè)舞蹈類節(jié)目排列演出順序，要求同類節(jié)目不相鄰，則不同的排法有___________種.【答案】48【解析】【分析】分1個(gè)小品類節(jié)目排在第一個(gè)位置、第二個(gè)位置、第三個(gè)位置、第四個(gè)位置、第五個(gè)位置時(shí)可得同類節(jié)目不相鄰的排法.【詳解】當(dāng)1個(gè)小品類節(jié)目排在第一個(gè)位置時(shí)，再安排唱歌類節(jié)目，當(dāng)排在第三第五位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第二第四位置；當(dāng)排在第二第四位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第三第五位置，所以同類節(jié)目不相鄰排法有種；當(dāng)1個(gè)小品類節(jié)目排在第二個(gè)位置時(shí)，再安排唱歌類節(jié)目，當(dāng)排在第一第四位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第三第五位置；當(dāng)排在第三第五位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第一第四位置，同類節(jié)目不相鄰排法有種；當(dāng)1個(gè)小品類節(jié)目排在第三個(gè)位置時(shí)，再安排唱歌類節(jié)目，當(dāng)排在第一第四位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第二第五位置；當(dāng)排在第一第五位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第二第四位置；當(dāng)排在第二第四位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第一第五位置；當(dāng)排在第二第五位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第一第四位置，所以同類節(jié)目不相鄰排法有種；當(dāng)1個(gè)小品類節(jié)目排在第四個(gè)位置時(shí)，再安排唱歌類節(jié)目，當(dāng)排在第一第三位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第二第五位置；當(dāng)排在第二第五位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第一第三位置，所以同類節(jié)目不相鄰排法有種；當(dāng)1個(gè)小品類節(jié)目排在第五個(gè)位置時(shí)，再安排唱歌類節(jié)目，當(dāng)排在第一第三位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第二第四位置；當(dāng)排在第二第四位置時(shí)，2個(gè)舞蹈類只能排在第一第三位置，所以同類節(jié)目不相鄰排法有種；則不同的排法有48種.故答案為：48.16.在三棱錐中，，二面角的平面角為，則它的外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】本題關(guān)鍵是找到三棱錐外接球球心，根據(jù)三棱錐外接球球心與截面圓圓心的連線，垂直于截面所在的平面，分別找到三棱錐兩個(gè)面的外心，過外心找到相應(yīng)面的垂線，這兩個(gè)垂線的交點(diǎn)即是三棱錐外接球球心.【詳解】如圖所示，由,得，，得，取分別取，，，中點(diǎn)，，，,連接，，，，則四邊形是邊長為菱形，且，，所以是二面角的平面角，故，則為正三角形，取，的中點(diǎn)為，連接，則，又，所以，又平面，所以，又，所以平面，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以是其外心，所以球心在直線上，同理可證，球心亦在直線上，由于為正三角形，所以的中心，即，的交點(diǎn)為三棱錐外接球球心，在中，，所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.四?解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.在二項(xiàng)式的展開式中（1）求各二項(xiàng)式系數(shù)和；（2）求含的項(xiàng)的系數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的各二項(xiàng)式系數(shù)和為求解即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開式的公式求解即可【小問1詳解】各二項(xiàng)式系數(shù)和為.【小問2詳解】因?yàn)榱?，解得，所以的?xiàng)的系數(shù)為.18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且.（1）求角；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得，進(jìn)而得；（2）結(jié)合已知，根據(jù)余弦定理得，再根據(jù)面積公式計(jì)算即可得答案.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，?因?yàn)?，所?【小問2詳解】解：因?yàn)榻獾?所以的面積為.19.如圖，已知四棱錐平面，（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，然后利用線面垂直的判定定理即得；（2）由題可知到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)直線與平面所成角為，可得，即得；或利用坐標(biāo)法即得.【小問1詳解】由題意平面，所以平面，平面，∴，又，所以平面.【小問2詳解】法一：由可知平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，又由（1）知平面，設(shè)直線與平面所成角為，由題可得，所以.法二：如圖，以為原點(diǎn)，分別以射線為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，∴，設(shè)平面的法向量為，由，得，可取設(shè)直線與平面所成角為，所以.20.已知函數(shù).（1）求在上的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由函數(shù)解析式，可得該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與開口方向，根據(jù)對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系的不同，進(jìn)行討論，得到不同情況下的函數(shù)單調(diào)性，可得最小值；（2）根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系，利用整體換元的解題方法，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求零點(diǎn)問題，根據(jù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)，將根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)取值范圍的不同，進(jìn)行討論，解得最后答案.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸方程為，且開口向上，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以.②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，上單調(diào)遞減，所以.綜上①②③，【小問2詳解】令，由題意可知一定有解，不妨設(shè)為，且，則等價(jià)于以下四種情況：①當(dāng)時(shí)，由解得，此時(shí)，不符合題意.②當(dāng)且時(shí)，需滿足此時(shí)無解.③當(dāng)時(shí)，需滿足解得.④當(dāng)時(shí)，需滿足解得.綜上①②③④，可得：或.21.某市為篩查新冠病毒，需要檢驗(yàn)核酸樣本是否為陽性，現(xiàn)有且份核酸樣本，可采用以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)：對(duì)k份樣本逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)k次；②混合檢驗(yàn)：將k份樣本混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則k份樣本全為陰性，因而這k份樣本只需檢驗(yàn)1次；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了確定其中的陽性樣本，就需重新采集核酸樣本后再對(duì)這k份新樣本進(jìn)行逐份檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)總次數(shù)為k+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的核酸樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的，且每份樣本結(jié)果為陽性的概率是.（1）若對(duì)k份樣本采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就檢驗(yàn)出2份陽性的概率（結(jié)果用p表示）；（2）若k=20，設(shè)采用逐份檢驗(yàn)的方式所需的檢驗(yàn)次數(shù)為X，采用混合檢驗(yàn)的方式所需的檢驗(yàn)次數(shù)為Y，試比較與的大小.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式即可求出恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就檢驗(yàn)出2份陽性的概率.（2）由題意知，.Y的可能取值為，求出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率即可求出，比較與0大小，即可求出答案.小問1詳解】記恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就檢驗(yàn)出2份陽性為事件，所以.【小問2詳解】由題意知，.Y的可能取值為，所以，所以.所以，令，解得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.22.已知函數(shù).（1）若，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.（2）方法一：由題意得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分，，三種情況求函數(shù)的最大值，使其最大值小于等于零，從而可求出的取值范圍.方法二：因?yàn)闀r(shí)恒成立，所以需首先滿足，解得，然后利用導(dǎo)數(shù)可證得，所以將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得其最大值小于等于零.方法三：因?yàn)闀r(shí)恒成立，所以需首先滿足，解得，則，然后利用可求得函數(shù)最大值小于等于零.方法四：先證明，然后將問題轉(zhuǎn)化為，令，然后只需利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，又，?/p>