第14講函數(shù)與方程試題（解析版）

第14講函數(shù)與方程

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=eT-x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.卜1,-；)B,C.(0,[D.]1)

【答案】D

【解析】解：：函數(shù)f(x)=ef-》，畫(huà)出尸0-,與》=》的圖象，如下圖：

，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是

故選：D.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)兀0=如+〃有一個(gè)零點(diǎn)是2,那么函數(shù)g(x)=Z>N—以的零點(diǎn)為

()

A.0或—B.0C.—D.0或2

222

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)_/(x)="x+6有一個(gè)零點(diǎn)是2,

所以b——2a,

所以^(x)=—lax2~ax=—+x).

令g(x)=O,得x/=0,X2=—

故選：A

3.(2022?安徽哈肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=2"+x,g(x)=log2x+x,/i(x)=2sinx+x的零

點(diǎn)分別為a,從c則a,6,c的大小順序?yàn)?)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】由/z(x)=2sinx+x=0得x=0,.?.c=0,

x

由/(x)=0得2=-x,由g(x)=0得log2x=-x.

在同?平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=2*、y=log2x,y=-x的圖象，

由圖象知。<0,b>0,:.a<c<b.

故選：D

4.(2022?重慶?三模)已知函數(shù)外力=，(9則函數(shù)g(x)=〃x)-g的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(J

|log2Jc|,A->0.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【解析】解：當(dāng)x40時(shí)，g(x)=(g)*_g=0,，x=l,因?yàn)閤40,所以舍去；

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=|k>g2x|-g=0,；.x=&或*=當(dāng)，滿足x>0.所以x=或x=[.

函數(shù)g(x)=〃x)-；的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：C

5.（2022?山東煙臺(tái)?三模）已知函數(shù)外力=J；：］：1\=。，若方程〃尤）=以-1有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.0<a<lB.0<6/<2C.a>\D.a>2

【答案】B

【解析】解：作出函數(shù)解幻的圖象如圖:

依題意方程/（司=奴-1有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即丁=/（力與丫=?-1有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)閥=ar-l必過(guò)（0,-1）,且〃0）=-1,

若時(shí)，方程〃句=奴-1不可能有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則必有a>0,

當(dāng)直線丁=依-1與y=inx在時(shí)相切時(shí)，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（七,%），則/'（X）」，即/'（%）=；,

則切線方程為y-yo='（x-x。），

艮［3y=J-.x+%_l=J-.x+lnXo_l,

???切線方程為y=ar-l,

??。=—且1叫-1=-1,則毛=1,所以〃=1,

大）

即當(dāng)”>0時(shí)y=ar-1與y=〃x）在（0,+s）上有且僅有個(gè)交點(diǎn)，

要使方程/。）=奴-1有旦僅有三個(gè)的實(shí)數(shù)解，

則當(dāng)%40時(shí)/（力=/+2》-1與y=ar-l有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線y=雙-1與/（x）=/+2x7切于點(diǎn)

(0,-1),此時(shí)/'(x)=2x+2,則/''(())=2,即a=2,

所以0<"2,

故選：B

6.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/"）=sin兀-l,aN0在（1,包）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則

\X7

下列選項(xiàng)中〃的可能取值為（)

A.0B.-CD.4

8-I

【答案】C

【解析】令g（x）=+:+上x(chóng)e(l,+oo),

（I_j----------\

由函數(shù)〃x）=sin7t-l,aN0在（1,例）上有且僅有i個(gè)零點(diǎn),

X

則方程g（x）=g+2Z,其中ZeN,有且只有一個(gè)解,

從而g（x）的值域?yàn)橛邢迏^(qū)間，故必有。=0,

從而有g(shù)（x）=的值域?yàn)椋?,0五）,

所以9夜限|，即太后,從而可以選T，故選項(xiàng)C正確.

故選：C.

7.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/⑸的定義域?yàn)椋?,+oo）,對(duì)任意x€（0,”o）,都有

,/(/(x)-log2x)=20.現(xiàn)已知/(a)=/'3)+17,那么()

A.ae(l,1.5)B.aG(1.5,2)C.aG(2,2.5)D.aG(2.5,3)

【答案】D

【解析】不妨設(shè)/(x)-log2*=，〃，則/(加)=20,所以，〃+log2機(jī)=20nm=16,得f(x)=IG+log；；》,

f'M='?

xln2

因?yàn)?(a)=r(a)+17,所以log,a--^--1=0.令g(a)=log,a——1,易得g⑷在(0,+oo)上單調(diào)遞

ain2a\n2

增，

27

In——1

因?yàn)閉

^(3)=log3-———>0

231n231n2

5哈2哈一213125c

In-------2,個(gè)

1024Jn4A-2＜。，

g(2.5)=log2.5-

22.5In251n2-~51n251n251n2

由零點(diǎn)存在定理知：6/e(2.5,3).

故選：D.

2Xn

8.(2022?遼寧?大連二十四中模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)x；g(x)=|x(x-2)|,若方程

lnx,x>0,

/(g(x))+g(x)-m=O的所有實(shí)根之和為4,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.m>\B.m,AC.m<\D.科,1

【答案】c

【解析】令f=g(x),d0,

當(dāng)初=1時(shí)，方程為〃，)+，—1=0,即

作出函數(shù)y=/(。及y=lT的圖象，

由圖象可知方程的根為/=0或/=1,即|x(x—2)1=0或|x(x-2)|=I,

作出函數(shù)g(x)=|x(x-2)|的圖象，結(jié)合圖象可得所有根的和為5,不合題意，故BD錯(cuò)誤;

當(dāng)帆=0時(shí)，方程為/(/)+，=0,即/(r)=T,

-2-1O\A23t

由圖象可知方程的根即k(x-2)|=tw(0,l),

結(jié)合函數(shù)g(x)=|x(x-2)|的圖象，可得方程有四個(gè)根，所有根的和為4,滿足題意，故A錯(cuò)誤.

故選：C.

l-x,xe[O,l),

9.(多選)(2022?湖南師大附中三模)已知函數(shù)〃x)=.

/(x)=/(x-2),若函數(shù)g(x)=f(x)-上在［0,+oo)上的零點(diǎn)從小到大恰好構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則％的可能

取值為()

C.0D.V2-1

【答案】ABD

【解析】由已知，/(x+2)=/(x),則，(x)的周期為2.其大數(shù)圖象如圖所示，由圖可知,

①當(dāng)4=0時(shí)，g(x)零點(diǎn)為I、3、5,7、…，滿足題意；

②當(dāng)％=1時(shí)，g(x)零點(diǎn)為0、2、4、6、…，滿足題意；

③當(dāng)上e(0,l)時(shí)，若零點(diǎn)從小到大構(gòu)成等差數(shù)列｛七｝,公差只能為1.

1X、—1(X.+1)—1I—1—

由1"二玄=二證正得飛=2-尬,此時(shí)人1一%=/一1：

④當(dāng)丘(fOMlZ)時(shí),函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn),不符合題意.

故選：ABD.

10.(2022?北京?高考真題)若函數(shù)f(x)=Asinx-Gcosx的一個(gè)零點(diǎn)為"，則4=；f

【答案】1一應(yīng)

【解析】?:畤=^A-曰=0,，A=1

/(x)=sinx-Gcosx=2sin(x-至

/(—)=2sin(---)=-2sin-=-42

121234

故答案為：1,-\/2

11.(2022?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力=2'『八，若方程。=。有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)

X-4A4-3,XSU

解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(1,5]

【解析】由題知：方程f(x)-。=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即〃x)=a有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

作出/(幻圖像(如圖所示)，即直線＞與曲線y=/(x)有4個(gè)公共點(diǎn).

易知：1vaW5.

故答案為：(1,5].

12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知f(x)=|lgx|-米-2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

(1)若&=0,則/(?有兩個(gè)零點(diǎn);

(2)弘＜0,使得/(x)有一個(gè)零點(diǎn)；

(3)弘＜0,使得/(x)有三個(gè)零點(diǎn)；

(4)弘＞0,使得/(x)有三個(gè)零點(diǎn).

以上正確結(jié)論的序號(hào)是

【答案】(1)(2)(4)

【解析】函數(shù)〃x)=llgx|-辰-2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y￥/gx|與直線y=Ax+2的交點(diǎn)的個(gè)數(shù);

作函數(shù)y=|lgx|與直線y=Ax+2的圖象如圖，

若無(wú)=0,則函數(shù)y=|lgx|與直線y=Ax+2的圖象在（0,1）與（1,+00）上各有一個(gè)交點(diǎn),則“X）有兩個(gè)零點(diǎn),

故（1）正確；

若k<0,則當(dāng)函數(shù)y=1lgx|與直線y=^+2的圖象相切時(shí)，/（X）有一個(gè)零點(diǎn)，故（2）正確；

當(dāng)《<0時(shí)，函數(shù)y=|lgx|與直線了=區(qū)+2的圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn)，故（3）不正確；

當(dāng)k>0且女足夠小時(shí)，函數(shù)y=|igx|與直線y=q：+2的圖象在（0,1）與（1,內(nèi)）上分別有1個(gè)、2個(gè)交點(diǎn)，故

（4）正確；

故答案為：（1）（2）（4）.

13.（2022?福建?廈門一中模擬預(yù)測(cè)）已知士,W,%,（不<不）是函數(shù)/（x）=（x-D（e*+e）+,〃（e'-e）

（機(jī)eR且加片0）的三個(gè)零點(diǎn)，則9-'-2工2+鼻+1的取值范圍是

【答案】（1,”）

［解析］顯然/⑴=0,設(shè)/（1一/）=_/（8,+0）+機(jī)（e-與—e）=O,

貝lJ/（l+Xo）=Xo（e'**+e）+w（el+Ai,-e）

=—e*'［-X0（e+e'-"）+，〃（e'-&-e）］=—xo）=O,

所以1是7（x）的零點(diǎn)，且另兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于x=l對(duì)稱，

所以=1，%+九3=2，

則e*1—2x>+七+1=e'1—X]+1,X]<1,

令g(x)=e"-'-x+l,x<l,

則g'(%)=e--1<O所以g(力在(YO,1)單調(diào)遞減,

所以g(x)>g(l)=l,即e"i-2/+w+l的取值范圍是(1,+?).

故答案為:(1,物).

14.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知f(x)=3，nr—4,若在［-2,0］上存在%,使〃%)=0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍.

【解】因?yàn)樵冢?2,0］上存在％,使/(為)=0,

所以有〃-2)?/(())<(),解得加4-1.故實(shí)數(shù)加的取值范圍為1口,-g.

15.(2022?上海?模擬預(yù)測(cè))設(shè)“eR,已知函數(shù)/(x)=or+-1.

(1)若。=1時(shí)，解不等式f(x)+lV/(x+l)；

(2)若fM在區(qū)間［1,2］上有零點(diǎn)，求〃的取值范圍.

【解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x+—!—；

x+i

不等式f(x)+lV/(x+l)即為工+總不+1<X+^+~x+2，

即擊U+l)t+2j<0>得-2VXV-1,

所以不等式的解集為(-2,-1)；

(2)由題意，令/。)=0,即方程6+*=0在區(qū)間［1,2］上有實(shí)數(shù)解.

整理得八一舟不，、蟲(chóng)1由l<x<2,得~64-x(x+l)4-2,-3一舟下Wj.

所以，”的取值范圍為［/，得.

16.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)“xhf-Zax+Z在(0,4)上至少有一個(gè)零點(diǎn).求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

【解】因?yàn)楹瘮?shù)〃力二幺-2妙+2在區(qū)間(0,4)上至少有一個(gè)零點(diǎn)，R/(0)=2>0,所以〃4)v0或

o<—<49

,2,解得。>工或亞4a<4，即

A=4a2-8>04

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［血，口).

【素養(yǎng)提升】

Inxr>0

1.(2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=尤"，則函數(shù)y=/U(x)+l］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

x2+2x,x<0

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

Inx---F1,x>0

【解析】令f=/(x)+l=JX,

(x+1)2,x<0

①當(dāng)f>0時(shí)，f(t)=lnt--,則函數(shù)f。)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

t

由于〃l)=-l<0,f(2)=ln2-g>0,由零點(diǎn)存在定理可知，存在46(1.2),使得/(fJ=0；

②當(dāng)t40時(shí),f(t)=t2+2t,由/⑺=產(chǎn)+2，=0,解得芍=-2,f3=0.

作出函數(shù)f=/(x)+l,直線"小》=-2、f=0的圖象如下圖所示：

由圖象可知，直線f=4與函數(shù)r=.f(力+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；

直線r=0與函數(shù)f=f(x)+l的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線r=-2與函數(shù)t=/(x)+l的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).綜

上所述，函數(shù)y=/［/(x)+l］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.

故選：D.

|log2x|,x>0,

2.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=|后.5八若方程八x)=。恰有四個(gè)不同的實(shí)

73sin7rx-cos%x,—<x<0.

數(shù)解，分別記為不工2，毛/4，則X+々+*3+8的取值范圍是()

1%219)「517、C8〃178c

A.L——612JB.L—3，—\2)C.[24JD..343J

【答案】A

log2x|,x>0,

【解析】解：/")=,

V3sin7VX-COS7TX,——<x<0.

3

當(dāng)一時(shí)/(x)=V3sin7TX—COS7TX得四一』=2sin^x--^-

I22

“口4、”5?,5|.1547T]1

令G.蕓點(diǎn),解得了=一§,當(dāng)工=一§時(shí)/1一§J=o2sin[一■-■——1=1,

當(dāng)x>0時(shí)/(%)=|1。82乂，令〃x)=2,解得工=4或x=(,

令〃x)=l,解得x=2或x=g,

因?yàn)榉匠蘤(x)=a恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即y=/(x)與y=”恰有四個(gè)交點(diǎn)，所以14a＜2,

148

不妨令石＜工2〈工3〈工4，則玉＜。＜七＜5＜24工4＜4，且4與巧關(guān)于工=一1對(duì)稱，所以再+/=-5,

又|log2司=|唾2七|，ep-log2x3=iog2x4,所以logzZ+log2毛二°，gpx3-x4=1,

所以工3=’,

①

81

所以“[+工2+W+冗4=一扇+—+工4,

3兀

因?yàn)椴?'+］在［2,4）上單調(diào)遞增，所以，+七€517

X及12,7

所以%+￡+七+匕w

故選：A

2sin2乃|x-a+—,x<a

3.（2022?天津?耀華中學(xué)二模）已知函數(shù)〃力=,I2，若函數(shù)/（x）在。y）內(nèi)恰有

X2一(2a+l)x+/+2,X>

5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）

757

A.B.C.D.

4,2?24

【答案】D

【解析】當(dāng)20時(shí)，對(duì)任意的尢20,/（力=/一（24+1卜+4+2在［0,+向上至多2個(gè)零點(diǎn)，不合乎題

意，所以，。>0.

函數(shù)卜=/一（2?+1）兀+/+2的對(duì)稱軸為直線犬=〃+；,A=（2a+l）2-4（a2+2）=4a-7.

所以，函數(shù)/（X）在出a+g）上單調(diào)遞減，在1

a+—,+8上單調(diào)遞增，且/（。）=2-4.

2

7

①當(dāng)△=4。一7<0時(shí)，即當(dāng)0<a<w時(shí)，則函數(shù)“X）在［%”）上無(wú)零點(diǎn)，

x-a+g

所以,函數(shù)f(x)=2sin2兀在［0,。）上有5個(gè)零點(diǎn),

111

當(dāng)04尤va時(shí),——a<x-a+-<—,則（1一2〃）乃“2萬(wàn)x-a+—<兀、

2222

由題意可得一5萬(wàn)<（1-2。）乃解得14a<3,此時(shí)。不存在;

②當(dāng)△=（）時(shí)，即當(dāng)4=（7時(shí)，函數(shù)“X）在（,+8）匕只有一個(gè)零點(diǎn),

4

當(dāng)xe0,(卜寸，/(x)=-2cos2^x,則0<2乃工71，則函數(shù)）在

<一“X0,（上只有3個(gè)零點(diǎn),

2

此時(shí)，函數(shù)/（X）在［0,+8）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,不合乎題意;

佇二丁時(shí),即當(dāng)時(shí)，函數(shù)十）在［…）上有2個(gè)零點(diǎn)，

③當(dāng)

則函數(shù)f(x)=2sin2萬(wàn)x-。+萬(wàn)