高考不等式專題講解教學

高考重難點專題突破之——不等式綜述（內(nèi)容、地位、作用）：在蘇教版高中數(shù)學教科書必修系列中，直接涉及“不等式”內(nèi)容的部分為必修5第三章《不等式》。另外，在實際教學過程中，在學到必修5《不等式》之前的某些章節(jié)（如集合、函數(shù)的值域等），無論文理科班，基于教學內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性和完整性，老師們基本上都要對選修4-5中的部分基礎(chǔ)性內(nèi)容進行選講。所以“不等式”的內(nèi)容主要來自必修5第三章《不等式》以及選修系列4-5《不等式選講》。綜合來看，不等式的內(nèi)容主要可分為不等式的求解、證明和應用三部分，它們又分別以一元二次不等式的求解、均值不等式相關(guān)的證明、不等式在應用題以及線性規(guī)劃中的應用為主。不等式是中學數(shù)學的主干內(nèi)容之一，它不僅是中學數(shù)學的基礎(chǔ)知識，而且在中學數(shù)學中起著廣泛的工具性作用，對學生們步入大學之后的數(shù)學學習也具有基礎(chǔ)性的鋪墊作用。在歷年的高考中，不等式雖很少單獨命題（理科附加卷除外），但無論從它所涉及到的知識點或是題量來看，有關(guān)不等式的試題分布范圍極廣（甚至有些題目很難界定其中對不等式的考查所占到的比重，所以我們也很難準確給出高考中不等式所占分值），試題不僅考查了不等式的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法，還考查了運算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的應用能力等數(shù)學素養(yǎng)。在高考命題趨勢上，不等式的考查極其突出工具性，淡化獨立性、突出解，是不等式命題的總體取向。高考中不等式試題的落腳點主要有：一，不等式的性質(zhì)，常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等結(jié)合起來，考查不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等；二，不等式的證明，多以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識為背景，在知識網(wǎng)絡的交匯處命題，綜合性強，能力要求高；三，解不等式，往往與公式、根式和參數(shù)的討論聯(lián)系在一起，考查學生的等價轉(zhuǎn)化能力和分類討論能力；四，不等式的應用，以當前經(jīng)濟、社會生產(chǎn)、生活為背景與不等式綜合的應用題是高考的熱點，主要考查學生閱讀理解能力以及分析問題、解決問題的能力。考試要求與教學建議：必修5部分新課標在對“必修5”《不等式》一章的說明中指出：“不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學研究的重要內(nèi)容……掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認識基本不等式及其簡單應用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系?！庇纱?，我們大致可以看出教材對于本部分的基本要求以及高考的考查要點。本部分的課標建議課時為大約16課時。相應的說明與建議主要有：一元二次不等式教學中，應注重使學生了解一元二次不等式的實際背景。求解一元二次不等式，首先可求出相應方程的根，然后根據(jù)相應函數(shù)的圖象求出不等式的解；也可以運用代數(shù)的方法求解。鼓勵學生設(shè)計求解一元二次不等式的程序框圖。不等式有豐富的實際背景，是刻畫區(qū)域的重要工具?？坍媴^(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個基本步驟，教學中可以從實際背景引入二元一次不等式組。線性規(guī)劃是優(yōu)化的具體模型之一。在本模塊的教學中，教師應引導學生體會線性規(guī)劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，不必引入很多名詞。不等式選講部分此部分文理科考生的對待方式見的異同我們已在“綜述”部分有所講解，次不贅述。本專題主要介紹幾個數(shù)學中重要的不等式以及數(shù)學歸納法。本專題特別強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。從文理科學習之間的異同的角度，我們可以將本專題內(nèi)容分為兩部分：前半部分，文理科同等要求，且均在必修過程中已基本講解到位；后半部分，只對理科生做簡單要求，即高考時所考題目難度不大，基本上可直接套用公式，或只需經(jīng)簡單并行即可套用公式，同時，也不是必做題。下面，我們把新課標中的內(nèi)容與要求重點性的摘錄于此，以供諸位師生探討，同時也作為本部分內(nèi)容的一個基本總結(jié)，后文將不再詳細展開。理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明三角不等式等。認識柯西不等式的幾種不同形式。了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單問題。會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。

考點歸納與題型講解之“不等式的求解”（一）、不等式的性質(zhì)1、不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟練運用，要弄清每一個條件和結(jié)論，學會對不等式進行條件的放寬和加強。2、兩個實數(shù)的大?。?；；3、不等式的基本性質(zhì)：(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式．不等號的方向不變．如果，那么.(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．如果，那么（或）.（3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．如果,,那么（或）由上面三條可以衍生出如下的性質(zhì)：（1）（對稱性）（2）（傳遞性）（3）（加法單調(diào)性）（4）（同向不等式相加）（5）（異向不等式相減）（6）（7）（乘法單調(diào)性）（8）（同向不等式相乘）（異向不等式相除）（倒數(shù)關(guān)系）（11）（平方法則）（12）（開方法則）4．例題：（1）已知，，則的取值范圍是______（答：）；（2）已知，且則的取值范圍是______（答：）（二）解一元一次不等式（組）1．一元一次不等式1.1定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1．系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，a，b為已知數(shù))．1.2解一元一次不等式的一般步驟(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)化系數(shù)為1．說明：解一元一次不等式和解一元一次方程類似．不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變，這是解不等式時最容易出錯的地方．2.一元一次不等式組2.1定義：含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組．說明：判斷一個不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個條件：①組成不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式，且未知數(shù)相同；②不等式組中不等式的個數(shù)至少是2個，也就是說，可以是2個、3個、4個或更多．2.2一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中，幾個不等式解集的公共部分．叫做這個一元一次不等式組的解集．一元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來確定．2.3.不等式組解集的確定方法，可以歸納為以下四種類型（設(shè)a>b）不等式組圖示解集（同大取大）（同小取?。ù笮〗徊嫒≈虚g）無解（大小分離解為空）2．4.解一元一次不等式組的步驟(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集；(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集．3．例題講解【例1】解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.解:解不等式①得，解不等式②得，不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示如下：∴原不等式組的解集是.（三）解一元二次不等式（組）1：一元二次不等式的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式。比如：.任意的一元二次不等式，總可以化為一般形式：或.2：一般的一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集可以聯(lián)系二次函數(shù)的圖象，圖象在軸上方部分對應的橫坐標值的集合為不等式的解集，圖象在軸下方部分對應的橫坐標值的集合為不等式的解集.

設(shè)一元二次方程的兩根為且，，則相應的不等式的解集的各種情況如下表：(a>0)的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根注：表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，可先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；3：規(guī)律方法指導

3.1．解一元二次不等式首先要看二次項系數(shù)a是否為正；若為負，則將其變?yōu)檎龜?shù)；

3.2．若相應方程有實數(shù)根，求根時注意靈活運用因式分解和配方法；

3.3．寫不等式的解集時首先應判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應分類討論；

3.4．根據(jù)不等式的解集的端點恰為相應的方程的根，我們可以利用韋達定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系；

3.5．若所給不等式最高項系數(shù)含有字母，還需要討論最高項的系數(shù)（四）．解分式不等式1.形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)為整式且g(x)不為０）的不等式稱為分式不等式。通俗的說就是分母中含未知數(shù)的不等式稱之為分式不等式。2.歸納分式不等式的解法：（不知道分母正負的時候）化分式不等式為標準型：方法：移項，通分，右邊化為0，左邊化為的形式將分式不等式進行形如以下四類的等價變形：（1）（2）（3）（4）3.例題講解：解不等式：.解法1：化為兩個不等式組來解：∵x∈φ或，∴原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來解：∵，∴原不等式的解集是 點評：提倡用解法2，避免分類討論，提高解題速率。變式1：解不等式解：的解集是{x|-7<x3}變式3：解不等式解：注：如果知道分母的正負，則可以去分母，化分式不等式為整式不等式。（五）．解高次不等式（可分解的）1.解高次不等式的步驟：（1）因式分解（2）未知數(shù)系數(shù)化正（3）穿根（從右上角開始，奇穿偶回）2.穿根法使用步驟：①將不等式化為形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；②求方程各根，并在數(shù)軸上表示出來（從小根到大根按從左至右方向表示）。③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.++++++xnxn-1x3x2xxnxn-1x3x2x1---說明：注意不等式若帶“=”號，點畫為實心，解集邊界處應有等號；3.例題講解：例1.解不等式：.解：∵++，用穿根法（零點分段法）畫圖如下：++++---1123---1123∴原不等式的解集為{x|-1<x1或2x<3}.例2解不等式：.解：①檢查各因式中x的符號均正；②求得相應方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個根穿一次（自右上方開始），如下圖：④∴原不等式的解集為：{x|-1<x<2或2<x<3}.說明：∵3是三重根，∴在C處穿三次，2是二重根，∴在B處穿兩次，結(jié)果相當于沒穿.由此看出，當左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時，n為奇數(shù)時，曲線在x1點處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時，曲線在x1點處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.（六）解無理不等式1.基本概念：根號下含有未知數(shù)的不等式。2、無理不等式的類型（高考對這方面的要求不太高）3.根式不等式的解法3.1類型一：例：解不等式解：原不等式可化為，根據(jù)根式的意義及不等式的性質(zhì)，得：解得 所以，原不等式的解集為3.2類型二：注：第一個花括號內(nèi)的f(x)大于等于0可以省略。例2解不等式解：原不等式可化為根據(jù)根式的意義及不等式的性質(zhì)，得解這個不等式組（1），得解這個不等式組（2），得所以，原不等式的解集為3.3類型三：例3解不等式解：原不等式可化為根據(jù)根式的意義及不等式的性質(zhì)，得解這個不等式組，得3.4類型四：例4解不等式解：由原不等式可得：解得解法小結(jié)：解無理不等式的主要思路是去根號。但去根號的時候要注意下根號里的數(shù)和根號外的數(shù)的正負！（七）解絕對值不等式的常用方法解含有絕對值的不等式的關(guān)鍵是想法把它轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式，常見的解法有以下幾種：1、利用絕對值的定義例1：解不等式.解：原不等式于：（Ⅰ）或（Ⅱ）由（Ⅰ）得：或（Ⅱ）得∴原不等式的解集為：.解不等式.解：原不等式即：，由絕對值的意義可知，亦即，所以，即原不等式的解集為.評注：利用絕對值的意義求解有些不等式時可另辟蹊徑，化繁為簡.解不等式分析：不等式左邊可化掉無理式。解：原不等式等價于或或原不等式的解集為2、利用絕對值的性質(zhì)例1：解不等式.解：原不等式等價于即:由①得 由②得∴原不等式的解集為：.3、利用平方法例1：解不等式.解：將原不等式兩邊平方為：∴原不等式的解集為：.例2、解不等式解：原不等式變?yōu)椋旱葍r于，即∴原不等式的解集為4、利用分段討論法（即零點分段法）例1：解不等式.解：當時，不等式化為：∴當時，不等式化為：∴當時，∴綜上所述，不等式的解集為：.例2.解不等式分析：如何去掉兩個絕對值的符號？首先找出零點，第一個絕對值的式子的零點為5，第二個式子的零點為，兩個零點把數(shù)軸分成三段，故可分為三段討論。解：原不等式變?yōu)椋杭础嘣坏仁降慕饧癁樽ⅲ豪么朔ń忸}時要注意x的系數(shù)為正。5、利用絕對值的幾何意義例1：解不等式.解：不等式表示數(shù)軸距A（3）、B（-2）兩點的距離之和大于5的點，方程表示在數(shù)軸上距A、B兩點的距離之和等于5的點?！嘣坏仁降慕饧癁椋?6、利用不等式組法（即等價轉(zhuǎn)化法）例1：已知關(guān)于x的不等式有解，求a的取值范圍。解：令則，可將原不等式變?yōu)椴坏仁浇M，因原不等式有解，如圖，易得。例2：已知關(guān)于x的不等式的解集為R，求a的取值范圍。解：令，由上知，故可將原不等式等價變?yōu)椴坏仁浇M，如圖，易得.7、利用數(shù)形結(jié)合法例1解不等式解畫出和的圖像，如圖所示，求出他們的交點的橫坐標分別是和因為，所以原不等式的解是的交點的橫坐標，由圖像知：原不等式的解是或.例2若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：在同一坐標系中分別畫出函數(shù)與的圖象（如下圖），顯然，要使不等式對一切恒成立，須，即的取值范圍是.例3若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：在同一坐標系中分別畫出函數(shù)及（如下圖），由于不等式恒成立，所以函數(shù)的圖象應總在函數(shù)圖象的下方，因此，函數(shù)的圖象也必須經(jīng)過點，所以.評注：運用數(shù)形結(jié)合的方法求解絕對值不等式問題，既直觀形象，又簡單易行.8利用利用定比分點法例1解不等式.解：在數(shù)軸上取，其中，使P為的內(nèi)分點即可，這就順利地去掉了絕對值符號，由即：即：解不等式：.等價于整式不等式：又故不等式的解集為：9、利用絕對值不等式注：主要指絕對值的三角不等式例1解不等式：.解析：首先應有，所以原不等式等價于，由于在不等式中，成立的條件是，所以原不等式等價于，而，所以，因此得，故原不等式的解集為.評注：要特別注意不等式中各部分等號及不等號成立的條件，利用這些條件可以解決一些絕對值不等式或方程問題.例2若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：令，則只須求出函數(shù)的最小值即可.由于（當時等號取到），即的最小值等于3，所以不等式恒成立時，的取值范圍是.評注：此處用絕對值不等式求最值，避免了對函數(shù)的分段討論，顯得非常簡單.（八）．用數(shù)學思想方法解不等式注：再解不等式時，有時充分借用常見數(shù)學思想，如整體思想、等價變形思想、補集思想、方程與函數(shù)思想等等，進行求解，會起到事半功倍的效果。讀者可自行對照相關(guān)題型研究、學習，此不詳細列舉。例1解不等式：（1）；（2）．分析：如果多項式可分解為個一次式的積，則一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況．解：（1）原不等式可化為把方程的三個根順次標上數(shù)軸．然后從右上開始畫線順次經(jīng)過三個根，其解集如下圖的陰影部分．∴原不等式解集為（2）原不等式等價于∴原不等式解集為說明：用“穿根法”解不等式時應注意：①各一次項中的系數(shù)必為正；②對于偶次或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下圖．典型例題二例2解下列分式不等式：（1）；（2）分析：當分式不等式化為時，要注意它的等價變形①②（1）解：原不等式等價于用“穿根法”∴原不等式解集為。（2）解法一：原不等式等價于∴原不等式解集為。解法二：原不等式等價于用“穿根法”∴原不等式解集為典型例題三例3解不等式分析：解此題的關(guān)鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：一是根據(jù)絕對值的意義二是根據(jù)絕對值的性質(zhì)：或，因此本題有如下兩種解法．解法一：原不等式即∴或故原不等式的解集為．解法二：原不等式等價于即∴．典型例題四例4解不等式．分析：這是一個分式不等式，其左邊是兩個關(guān)于二次式的商，由商的符號法則，它等價于下列兩個不等式組：或所以，原不等式的解集是上面兩個不等式級的解集的并集．也可用數(shù)軸標根法求解．解法一：原不等式等價下面兩個不等式級的并集：或或或或或．∴原不等式解集是．解法二：原不等式化為．畫數(shù)軸，找因式根，分區(qū)間，定符號．符號∴原不等式解集是．說明：解法一要注意求兩個等價不等式組的解集是求每組兩個不等式的交集，再求兩組的解的并集，否則會產(chǎn)生誤解．解法二中，“定符號”是關(guān)鍵．當每個因式的系數(shù)為正值時，最右邊區(qū)間一定是正值，其他各區(qū)間正負相間；也可以先決定含０的區(qū)間符號，其他各區(qū)間正負相間．在解題時要正確運用．典型例題五例5解不等式．分析：不等式左右兩邊都是含有的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解．解：移項整理，將原不等式化為．由恒成立，知原不等式等價于．解之，得原不等式的解集為．說明：此題易出現(xiàn)去分母得的錯誤解法．避免誤解的方法是移項使一邊為０再解．另外，在解題過程中，對出現(xiàn)的二項式要注意其是否有實根，以便分析不等式是否有解，從而使求解過程科學合理．典型例題六例6設(shè)，解關(guān)于的不等式．分析：進行分類討論求解．解：當時，因一定成立，故原不等式的解集為．當時，原不等式化為；當時，解得；當時，解得．∴當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．說明：解不等式時，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因為當時，原不等式化為，此時不等式的解集為，所以解題時應分與兩種情況來討論．在解出的兩根為，后，認為，這也是易出現(xiàn)的錯誤之處．這時也應分情況來討論：當時，；當時，．典型例題七例7解關(guān)于的不等式．分析：先按無理不等式的解法化為兩個不等式組，然后分類討論求解．解：原不等式或由，得：由判別式，故不等式的解是．當時，，，不等式組(1)的解是，不等式組(2)的解是．當時，不等式組(1)無解，(2)的解是．綜上可知，當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是．說明：本題分類討論標準“，”是依據(jù)“已知及(1)中‘，’，(2)中‘，’”確定的．解含有參數(shù)的不等式是不等式問題中的難點，也是近幾年高考的熱點．一般地，分類討論標準（解不等式）大多數(shù)情況下依“不等式組中的各不等式的解所對應的區(qū)間的端點”去確定．本題易誤把原不等式等價于不等式．糾正錯誤的辦法是熟練掌握無理不等式基本類型的解法．典型例題八例8解不等式．分析：先去掉絕對值號，再找它的等價組并求各不等式的解，然后取它們的交集即可．解答：去掉絕對值號得，∴原不等式等價于不等式組∴原不等式的解集為．說明：解含絕對值的不等式，關(guān)鍵是要把它化為不含絕對值的不等式，然后把不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解．典型例題九例9解關(guān)于的不等式．分析：不等式中含有字母，故需分類討論．但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論．解：原不等式可化為．(1)當（即或）時，不等式的解集為：；(2)當（即）時，不等式的解集為：；(3)當（即或1）時，不等式的解集為：．說明：對參數(shù)進行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數(shù)加以分類、討論．比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根，，因此不等式的解就是小于小根或大于大根．但與兩根的大小不能確定，因此需要討論，，三種情況．典型例題十例10已知不等式的解集是．求不等式的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先確定系數(shù)的正負，然后求出方程的兩根即可解之．解：(解法1)由題可判斷出，是方程的兩根，∴，．又的解集是，說明．而，，∴．∴，即，即．又，∴，∴的解集為．(解法2)由題意可判斷出，是方程的兩根，∴．又的解集是，說明．而，．對方程兩邊同除以得．令，該方程即為，它的兩根為，，∴，．∴，，∴方程的兩根為，．∵，∴．∴不等式的解集是．說明：(1)萬變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項系數(shù)的正負，求出相應的方程的根；(2)結(jié)合使用韋達定理，本題中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系數(shù)，，的關(guān)系也用，表示出來；(3)注意解法2中用“變換”的方法求方程的根．典型例題十二例12若不等式的解為，求、的值．分析：不等式本身比較復雜，要先對不等式進行同解變形，再根據(jù)解集列出關(guān)于、式子．解：∵，，∴原不等式化為．依題意，∴．說明：解有關(guān)一元二次方程的不等式，要注意判斷二次項系數(shù)的符號，結(jié)合韋達定理來解．典型例題十三例13不等式的解集為，求與的值．分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，，的兩根為，．解法一：設(shè)的兩根為，，由韋達定理得：由題意：∴，，此時滿足，．解法二：構(gòu)造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應為同解不等式，故需滿足：∴，．說明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系，同時還考查逆向思維的能力．對有關(guān)字母抽象問題，同學往往掌握得不好．典型例題十四例14解關(guān)于的不等式．分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因為含有字母系數(shù)，所以還考查分類思想．解：分以下情況討論(1)當時，原不等式變?yōu)椋?，?2)當時，原不等式變?yōu)椋孩佗佼敃r，①式變?yōu)?，∴不等式的解為或．②當時，①式變?yōu)椋凇?，∴當時，，此時②的解為．當時，，此時②的解為．說明：解本題要注意分類討論思想的運用，關(guān)鍵是要找到分類的標準，就本題來說有三級分類：分類應做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏．另外，解本題還要注意在討論時，解一元二次不等式應首選做到將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解．典型例題十五例15解不等式．分析：無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉(zhuǎn)化為或，而等價于：或．解：原不等式等價于下面兩個不等式組：①②由①得，∴由②得∴，所以原不等式的解集為，即為．說明：本題也可以轉(zhuǎn)化為型的不等式求解，注意：，這里，設(shè)全集，，則所求不等式的解集為的補集，由或．即，∴原不等式的解集是．四．考點歸納與題型講解之“不等式的證明”①或②③④⑤⑥⑦（一）比較法證明不等式例1若，證明（且）．分析1用作差法來證明．需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明．解法1（1）當時，因為，所以．（2）當時，因為，所以．綜合（1）（2）知．分析2直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號．解法2作差比較法．因為，所以．說明：解法一用分類相當于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對值符號；解法二用對數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快．例2設(shè)，求證：分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難．考慮到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式．證明：，∵，∴∴.∴又∵，∴.說明：本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法).作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小.（二）綜合法證明不等式例1對于任意實數(shù)、，求證（當且僅當時取等號）分析這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有，展開后很復雜。若使用綜合法，從重要不等式：出發(fā)，再恰當?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明：∵（當且僅當時取等號）兩邊同加，即：（1）又：∵（當且僅當時取等號）兩邊同加∴∴（2）由（1）和（2）可得（當且僅當時取等號）．說明：此題參考用綜合法證明不等式．綜合法證明不等式主要是應用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解．例2若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：【分析】根據(jù)本題的條件和要證明的結(jié)論，既可用分析法由可用綜合法?！咀C法一】（綜合法）：，，，又∵a、b、c是不全相等的正數(shù)，∴有?！嗉础咀C法二】（分析法）要證即證成立。只需證成立。∵，，?！啵?）又∵a、b、c是不全相等的正數(shù)，∴（*）式等號不成立?！嘣坏仁匠闪ⅰ＃ㄈ┓治龇ㄗC明不等式例1已知，求證：＞0.分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程.證明一：(分析法書寫過程)為了證明＞0只需要證明＞∵∴∴＞0∴＞成立∴＞0成立證明二：(綜合法書寫過程)∵∴∴＞＞0∴＞成立∴＞0成立說明：學會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?，混合應用時，應用語言敘述清楚.例2、若，且，求證：分析這個不等式從形式上不易看出其規(guī)律性，與我們掌握的定理和重要的結(jié)論也沒有什么直接的聯(lián)系，所以可以采用分析的方法來尋找證明途徑．但用“分析”法證不等式，要有嚴格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分條件，直到推出的條件是明顯成立的（已知條件或某些定理等）．證明：為要證只需證，即證，也就是，即證，即證，∵，∴，故即有，又由可得成立，∴所求不等式成立．說明：此題考查了用分析法證明不等式．在題目中分析法和綜合法是綜合運用的，要注意在書寫時，分析法的書寫過程應該是：“欲證……需證……”，綜合法的書寫過程是：“因為（∵）……所以（∴）……”，即使在一個題目中是邊分析邊說明也應該注意不要弄混．例3設(shè)、為正數(shù)，求證．分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法．證明：要證，只需證，即證，化簡得，．∵，∴．∴．∴原不等式成立．說明：1．本題證明易出現(xiàn)以下錯誤證法：，，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且來討論，結(jié)果無效．2．用分析法證明數(shù)學問題，要求相鄰兩步的關(guān)系是，前一步是后一步的必要條件，后一步是前一步的充分條件，當然相互為充要條件也可以．（四）反證法證明不等式例1若，求證．分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡、宜用反證法．證法一：假設(shè)，則，而，故．∴．從而，∴．∴．∴．這與假設(shè)矛盾，故．證法二：假設(shè)，則，故，即，即，這不可能．從而．證法三：假設(shè)，則．由，得，故．又，∴．∴，即．這不可能，故．說明：本題三種方法均采用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實矛盾．一般說來，結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等字句，或結(jié)論以否定語句出現(xiàn)，或結(jié)論肯定“過頭”時，都可以考慮用反證法．例2已知，求證：中至少有一個不小于。【分析】由于題目的結(jié)論是：三個函數(shù)值中“至少有一個不小于”，情況較復雜，會出現(xiàn)多個異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁冗，而結(jié)論的反面構(gòu)成三個同向不等式，結(jié)構(gòu)簡單，故采用反證法為宜?！咀C明】（反證法）假設(shè)都小于，則，而，相互矛盾∴中至少有一個不小于。[思維點拔]用反證法證明命題時，推導出的矛盾可能多種多樣。有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實相違背等等，推導出的矛盾必須是明顯的。（五）三角換元法證明不等式例1已知，求證．分析：聯(lián)想三角函數(shù)知識，進行三角換元，然后利用三角函數(shù)的值域進行證明．證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)．∵，∴可設(shè)，，其中．∴．由，故．而，，故．說明：1．三角代換是最常見的變量代換，當條件為或或時，均可用三角代換．2．用換元法一定要注意新元的范圍，否則所證不等式的變量和取值的變化會影響其結(jié)果的正確性．（六）放縮法證明不等式例1設(shè)是正整數(shù)，求證．分析：要求一個項分式的范圍，它的和又求不出來，可以采用“化整為零”的方法，觀察每一項的范圍，再求整體的范圍．證明：由，得．當時，；當時，，……當時，．∴．說明：1、用放縮法證明不等式，放縮要適應，否則會走入困境．典型例題如證明．由，如果從第3項開始放縮，正好可證明；如果從第2項放縮，可得小于2．當放縮方式不同，結(jié)果也在變化．放縮法一般包括：用縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮??；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮后便于求和．例2、證明不等式：， 解因為對于任意自然數(shù)，都有，所以， 從而不等式得證．點評：放縮法是一種證明的技巧，要想用好它，必須有目標，目標可以從要證的結(jié)論中考察．如本題中注意到所要求證的式子左右兩端的差異，以及希望把左式化簡的目標．例3已知，，，求證：三數(shù)不都大于．分析：此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明．假設(shè)命題不成立，則三數(shù)都大于，從這個結(jié)論出發(fā)，進一步去導出矛盾．證明：假設(shè)三數(shù)都大于，即，，．又∵，，，∴，，．∴①又∵，，．以上三式相加，即得：②顯然①與②相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證．說明：一般情況下，如果命題中有“至多”、“至少”、“都”等字樣，通常情況下要用反證法，反證法的關(guān)鍵在于“歸謬”，同時，在反證法的證明過程中，也貫穿了分析法和綜合法的解題思想．例4求證．分析：此題的難度在于，所求證不等式的左端有多項和且難以合并，右邊只有一項．注意到這是一個嚴格不等式，為了左邊的合并需要考查左邊的式子是否有規(guī)律，這只需從下手考查即可．證明：∵，∴．說明：此題證明過程并不復雜，但思路難尋．本題所采用的方法也是解不等式時常用的一種方法，即放縮法．這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵．（七）基本不等式法證明不等式例1如果，，，求證：．分析：注意到不等式左邊各字母在項中的分布處于分離狀態(tài)，而右邊卻結(jié)合在一起，因而要尋求一個熟知的不等式具有這種轉(zhuǎn)換功能（保持兩邊項數(shù)相同），由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我們用如下的結(jié)合法證明．證明：∵．∴．說明：分析時也可以認為是連續(xù)應用基本不等式而得到的．左右兩邊都是三項，實質(zhì)上是公式的連續(xù)使用．如果原題限定,,,則不等式可作如下變形：,進一步可得到：．顯然其證明過程仍然可套用原題的思路，但比原題要難，因為發(fā)現(xiàn)思路還要有一個轉(zhuǎn)化的過程．例2已知是不等于1的正數(shù)，是正整數(shù)，求證．分析：從求證的不等式看，左邊是兩項式的積，且各項均為正，右邊有2的因子，因此可考慮使用均值不等式．證明：∵是不等于1的正數(shù)，∴，∴．①又．②將式①，②兩邊分別相乘得，∴．說明：本題看起來很復雜，但根據(jù)題中特點，選擇綜合法求證非常順利．由特點選方法是解題的關(guān)鍵，這里因為，所以等號不成立，又因為①，②兩個不等式兩邊均為正，所以可利用不等式的同向乘性證得結(jié)果．這也是今后解題中要注意的問題．例3已知，，，，且，求證．分析：從本題結(jié)構(gòu)和特點看，使用比較法和綜合法都難以奏效．為找出使不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試，待思路清晰后，再決定證題方法．證明：要證，只需證，只需證．∵，，，∴，，，∴，∴成立．∴．說明：此題若一味地用分析法去做，難以得到結(jié)果．在題中得到只需證后，思路已較清晰，這時改用綜合法，是一種好的做法．通過此典型例題可以看出，用分析法尋求不等式的證明途徑時，有時還要與比較法、綜合法等結(jié)合運用，決不可把某種方法看成是孤立的．例4、已知、、，，求證分析顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式變得較復雜而不易得到證明．由于右邊是一個常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧．證明：∵∴∵，同理：，?！嗾f明：此題考查了變形應用綜合法證明不等式．題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應用，但有時要首先對代數(shù)式進行適當變形，以期達到可以“湊倒數(shù)”的目的．（八）化歸法證明不等式例1在中，角、、的對邊分別為，，，若，求證．分析：因為涉及到三角形的邊角關(guān)系，故可用正弦定理或余弦定理進行邊角的轉(zhuǎn)化．證明：∵，∴．由余弦定理得∴，∴=說明：三角形中最常使用的兩個定理就是正弦和余弦定理，另外還有面積公式．本題應用知識較為豐富，變形較多．這種綜合、變形能力需要讀者在平時解題時體會和總結(jié)，證明不等式的能力和直覺需要長期培養(yǎng)．（九）判別式法法證明不等式例1：已知，求證：都屬于?！咀C明】由已知得：，代入中得：∵，∴△≥0，即解得，即y∈。同理可證x∈，z∈。變式：設(shè)，且，求證：因為，而所以，所以a，b為方程（1）的二實根而，故方程（1）有均大于c的二不等實根。記，則解得。[思維點拔]在比較法