高中數(shù)學導數(shù)知識點歸納總結(jié)及例題復習

導數(shù)考試內(nèi)容：

導數(shù)的背影．導數(shù)的概念．多項式函數(shù)的導數(shù)．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：（1）了解導數(shù)概念的某些實際背景．（2）理解導數(shù)的幾何意義．（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值．§14.導數(shù)知識要點導數(shù)導數(shù)導數(shù)的概念導數(shù)的運算導數(shù)的應用導數(shù)的幾何意義、物理意義函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值常見函數(shù)的導數(shù)導數(shù)的運算法則1.導數(shù)（導函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)是函數(shù)定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應的增量；比值稱為函數(shù)在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數(shù)，記作或，即=.注：①是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零.②以知函數(shù)定義域為，的定義域為，則與關(guān)系為.2.函數(shù)在點處連續(xù)與點處可導的關(guān)系：⑴函數(shù)在點處連續(xù)是在點處可導的必要不充分條件.可以證明，如果在點處可導，那么點處連續(xù).事實上，令，則相當于.于是⑵如果點處連續(xù)，那么在點處可導，是不成立的.例：在點處連續(xù)，但在點處不可導，因為，當＞0時，；當＜0時，，故不存在.注：①可導的奇函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為偶函數(shù).②可導的偶函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為奇函數(shù).3.導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為4.求導數(shù)的四則運算法則：（為常數(shù)）注：①必須是可導函數(shù).②若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.例如：設(shè)，，則在處均不可導，但它們和在處均可導.5.復合函數(shù)的求導法則：或復合函數(shù)的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果＞0，則為增函數(shù)；如果＜0，則為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有=0，則為常數(shù).注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.7.極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有＜，則是函數(shù)的極大值，極小值同理）當函數(shù)在點處連續(xù)時，①如果在附近的左側(cè)＞0，右側(cè)＜0，那么是極大值；②如果在附近的左側(cè)＜0，右側(cè)＞0，那么是極小值.也就是說是極值點的充分條件是點兩側(cè)導數(shù)異號，而不是=0①.此外，函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值?。ê瘮?shù)在某一點附近的點不同）.注①：若點是可導函數(shù)的極值點，則=0.但反過來不一定成立.對于可導函數(shù)，其一點是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導，則導數(shù)值為零.例如：函數(shù)，使=0，但不是極值點.②例如：函數(shù)，在點處不可導，但點是函數(shù)的極小值點.8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.注：函數(shù)的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導數(shù)：I.（為常數(shù)）（）II.III.求導的常見方法：①常用結(jié)論：.②形如或兩邊同取自然對數(shù)，可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.③無理函數(shù)或形如這類函數(shù)，如取自然對數(shù)之后可變形為，對兩邊求導可得.導數(shù)中的切線問題例題1：已知切點，求曲線的切線方程曲線在點處的切線方程為（）例題2：已知斜率，求曲線的切線方程與直線的平行的拋物線的切線方程是（）例題3：已知過曲線上一點，求切線方程過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設(shè)切點，再求切點，即用待定切點法．求過曲線上的點的切線方程．例題4：已知過曲線外一點，求切線方程求過點且與曲線相切的直線方程．練習題：已知函數(shù)，過點作曲線的切線，求此切線方程．看看幾個高考題1.（2009全國卷Ⅱ）曲線在點處的切線方程為 2.（2010江西卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為 3.（2009寧夏海南卷）曲線在點（0,1）處的切線方程為。4.（2009浙江）（本題滿分15分）已知函數(shù)．（I）若函數(shù)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值；5.（2009北京）（本小題共14分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處與直線相切，求的值；.1函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)1．利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)單調(diào)性:一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導，如果在這個區(qū)間內(nèi)，則為這個區(qū)間內(nèi)的；如果在這個區(qū)間內(nèi)，則為這個區(qū)間內(nèi)的。2．利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求出函數(shù)的導數(shù)；(3)解不等式f￠(x)＞0，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f￠(x)＜0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【例題講解】求證：在上是增函數(shù)。確定函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).【課堂練習】1．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3２．已知函數(shù)，則（）A．在上遞增B．在上遞減C．在上遞增D．在上遞減３．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________．函數(shù)圖象及其導函數(shù)圖象函數(shù)在定義域內(nèi)可導，其圖象如圖，記的導函數(shù)為，則不等式的解集為_____________函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_____________如圖為函數(shù)的圖象，為函數(shù)的導函數(shù)，則不等式的解集為______若函數(shù)的圖象的頂點在第四象限，則其導函數(shù)的圖象是（）函數(shù)的圖象過原點且它的導函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線，則圖象的頂點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限O12xyO12xyxyO12xyO12xyxyyO12yO12xO12xABCD設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y=f(x)的圖象如下左圖所示，則導函數(shù)y=f(x)的圖象可能為()（安微省合肥市2010年高三第二次教學質(zhì)量檢測文科）函數(shù)的圖像如下右圖所示，則的圖像可能是 （）xoy(2010年3月廣東省深圳市高三年級第一次調(diào)研考試文科)已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如右圖，則的圖象可能是()xoy（2010年浙江省寧波市高三“十?！甭?lián)考文科）如右圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時間變化的可能圖象是（）(A) (B) (C) (D)(2008廣州二模文、理)已知二次函數(shù)的圖象如圖1所示,則其導函數(shù)的圖象大致形狀是（）（2009湖南卷文）若函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是 ()yabyababaoxoxybaoxyoxybA．B．C．D．（福建卷11）如果函數(shù)的圖象如右圖，那么導函數(shù)的圖象可能是 ()（2008年福建卷12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是 （）(2008珠海一模文、理)設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖像畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）A． B． C． D．xyx4O oO(湖南省株洲市2008屆高三第二次質(zhì)檢)已知函數(shù)xyx4O oO函數(shù)有1個極大值點，1個極小值點函數(shù)有2個極大值點，2個極小值點函數(shù)有3個極大值點，1個極小值點函數(shù)有1個極大值點，3個極小值點(2008珠海質(zhì)檢理)函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)極小值點的個數(shù)是（）(A).1 (B).2