高中數(shù)學(xué)-3.1.1　兩角和與差的余弦教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

兩角和與差的余弦教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)三維目標(biāo)】1、知識(shí)目標(biāo)理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程；熟記兩角和與差的余弦公式；運(yùn)用兩角和與差的余弦公式，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。2、能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；培養(yǎng)學(xué)生逆向思維和思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。3、情感目標(biāo)通過(guò)觀察、對(duì)比體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和諧美，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的能力；學(xué)會(huì)從已有知識(shí)出發(fā)主動(dòng)探索未知世界的意識(shí)及對(duì)待新知識(shí)的良好情感態(tài)度。4、教學(xué)重點(diǎn)兩角和與差的余弦公式的理解與靈活運(yùn)用。5、教學(xué)難點(diǎn)兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程，特別是一般性的推廣。6、突破措施先由特殊情形引入再向一般性過(guò)渡，充分挖掘?qū)W生的思考和探究能力，以達(dá)到對(duì)公式的深入理解和靈活運(yùn)用。高考等級(jí)要求C級(jí)學(xué)法設(shè)計(jì)獨(dú)立思考，生生交流探究，小組合作知識(shí)鏈接誘導(dǎo)公式平面向量的數(shù)量積一、知識(shí)鏈接1、已知點(diǎn)QUOTEP(x,y)P(x,y)為角QUOTEαα的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則QUOTEcosα=cosα=________，QUOTEsinα=___________sinα=___________，即點(diǎn)QUOTEPP的坐標(biāo)為____________。2、已知QUOTEa=x1，y1,b=(x2,y2)a=x1，y1,b=(x2,y2),則QUOTEa?b=a?b=________=____________；若QUOTEaa與QUOTEbb的夾角為QUOTEθ【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)向量相關(guān)知識(shí),為本節(jié)課的兩角差的余弦公式推導(dǎo)埋下伏筆.二、問(wèn)題引入QUOTEsinα+π2=sinα-πQUOTEcosα+π2=cosα+π2=QUOTEcosQUOTEcosα-π=cosα-π=QUOTEcosα-π2=【設(shè)計(jì)意圖】教科書以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題（求電視發(fā)射塔的高度）作為引子，目的在于提出問(wèn)題，引入研究課題。同時(shí)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活有關(guān)，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。解決這個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題需要用方程的思想分析問(wèn)題，考慮到我班學(xué)生的實(shí)際情況，這樣做一定程度會(huì)搶去這節(jié)課主要研究?jī)?nèi)容的風(fēng)頭。而且，在這個(gè)問(wèn)題中要解決的與這節(jié)課要研究的的聯(lián)系不夠直接。利用誘導(dǎo)公式來(lái)引入,研究當(dāng)公式中的特殊角QUOTEπ2π2和QUOTEππ被一般角QUOTEββ取代時(shí),QUOTEcosα+β=?,cosα-β=?cosα+β=?,cosα-β=?，一來(lái)可以節(jié)省時(shí)間，二來(lái)引出課題更加直接，更加自然，同時(shí)，吸引學(xué)生興趣，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。三、公式探究y-1-111xO在平面直角坐標(biāo)系中做一個(gè)單位圓，設(shè)角QUOTEαα，QUOTEββ的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A、B，設(shè)與的夾角為QUOTEθθ，y-1-111xO1、根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得QUOTEOA?OBOA?OB2、點(diǎn)A的坐標(biāo)是_____點(diǎn)B的坐標(biāo)是________.向量的坐標(biāo)是___________，的坐標(biāo)是___________.y-1-111BAxO3、根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得y-1-111BAxO4、，的夾角與角QUOTEα、βα、β的關(guān)系：QUOTE（1）α-β∈[0,π]（1）QUOTE（2）α-β∈[π,2π]（2）5、當(dāng)QUOTEα-βα-β在全體實(shí)數(shù)范圍時(shí)，如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換？【設(shè)計(jì)意圖】教師通過(guò)提問(wèn)引發(fā)學(xué)生思考，并讓學(xué)生分組活動(dòng)，相互討論，合作學(xué)習(xí)，運(yùn)用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想將問(wèn)題層層深入，最后達(dá)到推導(dǎo)的完備。從而讓學(xué)生體驗(yàn)探究的過(guò)程，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)。四、認(rèn)識(shí)公式，深化理解提問(wèn)：⑴.細(xì)心觀察公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征？⑵.公式中α，β的角的取值范圍如何？學(xué)生觀察與思考得出：①公式中兩邊的符號(hào)正好相反（一負(fù)一正）；②公式右邊同名三角函數(shù)乘積的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生認(rèn)識(shí)公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，深化理解公式實(shí)質(zhì)，為靈活運(yùn)用公式奠定基礎(chǔ)。第一關(guān)：小試身手請(qǐng)用特殊角分別代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（選擇的特殊角可以是30°60°45°等）(1)；(2)；(3)；……問(wèn)題預(yù)測(cè)：學(xué)生動(dòng)筆自由嘗試、主動(dòng)探索。有的同學(xué)說(shuō)會(huì)求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至可能有的同學(xué)會(huì)說(shuō)他驗(yàn)證了cos30°=sin60°…….（讓同學(xué)感受獲得公式后的第一份喜悅）由于初學(xué)公式的應(yīng)用，我選擇其中之一作示范。第二關(guān)：再接再厲若β固定，分別用代替α，你將會(huì)發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)同學(xué)發(fā)現(xiàn)余弦的誘導(dǎo)公式可用C(α±β)公式得到證明：初步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)C(α±β)公式是誘導(dǎo)公式的推廣。（從而讓同學(xué)感受獲得公式后的第二份喜悅）第三關(guān)：各顯神通倘若讓你對(duì)C(α±β)公式中的α、β自由賦值，你又將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？(1)；(2)(3)(4)……問(wèn)題預(yù)測(cè)：可能有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)cos2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α，這是以后要學(xué)的二倍角公式，還有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ，甚至有調(diào)皮的同學(xué)發(fā)現(xiàn)cos0=cos(α-α)=cos2α+sin2α=1，這就無(wú)意中證明了平方關(guān)系，……，（據(jù)此，讓同學(xué)感受到C(α±β)公式的強(qiáng)大功能）。（必要時(shí)，教師可適當(dāng)提示）。注：按課本編排未必能讓同學(xué)注意公式中α,β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才賦予C(α+β)公式的強(qiáng)大生命力）。于是我設(shè)計(jì)上述三個(gè)有層次的A,B,C級(jí)的問(wèn)題，留時(shí)間先讓同學(xué)用特殊角自由賦值，逐漸摸索、嘗試，不斷總結(jié)、歸納。這樣更能使同學(xué)親自感受公式的強(qiáng)大功能，并掌握賦值法。五、公式逆用設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)變式訓(xùn)練，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)公式的理解，使學(xué)生掌握公式的正用，逆用，變角使用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，體現(xiàn)思維的創(chuàng)新意識(shí)。六、數(shù)學(xué)運(yùn)用例題已知QUOTEcosα=-45(π2<α<π)cosα=-45(π2<α<π),求QUOTEcos?(π6-α)解：因?yàn)镼UOTEcosα=-45,且π2<α<πcosα=-45,且π因此QUOTEcosπ6-α=cosπcos【設(shè)計(jì)意圖】由學(xué)生先練，然后巡堂了解，及時(shí)用投影將學(xué)生的解答、反饋、展示講解。本例題是運(yùn)用公式求值的練習(xí)，但使用公式前必須求相應(yīng)角的正、余弦值。強(qiáng)調(diào)運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求值時(shí)，一定要弄清角的范圍，準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，從而養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。通過(guò)基礎(chǔ)題目的練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的理解和應(yīng)用。跟蹤訓(xùn)練：課本P135練習(xí)B2【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生板書，規(guī)范學(xué)生步驟。七、課時(shí)總結(jié):（2分鐘）1、牢記公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)會(huì)逆用公式。不符合公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的，常通過(guò)誘導(dǎo)公式變形使之符合。2、強(qiáng)調(diào)公式中α、β的任意性，是本節(jié)內(nèi)容的主線，它賦予了公式的強(qiáng)大生命力。注：逆用公式是學(xué)生認(rèn)識(shí)和掌握公式的重要標(biāo)志。通過(guò)步步加深的練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的理解和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生積極參與思維，培養(yǎng)學(xué)生觀察，比較等思維能力，同時(shí)滲透了一種化歸思想。八、達(dá)標(biāo)檢測(cè)：（5分鐘）cos80°cos20°+sin80°sin20°，初步學(xué)會(huì)逆用公式。cos130°cos5°-sin130°sin5°cos215°-sin215°，為二倍角公式埋下伏筆。（2004全國(guó)高考題）設(shè)，若，則，利用高考題的引用讓學(xué)生串連三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。⑴.⑵.-⑶.⑷.⑸.九、作業(yè)布置1、教材第135頁(yè)，練習(xí)A2,3；練習(xí)B2,3,4,5.2、探究：知道了，你覺(jué)得也有類似的規(guī)律嗎？十、板書設(shè)計(jì)兩角和與差的余弦兩角差的余弦公式兩角和的余弦公式例題變式練習(xí)十一、教后反思：《兩角和與差的余弦》學(xué)情分析1知識(shí)分析必修4前兩章剛學(xué)習(xí)了《平面向量》和《三角函數(shù)》的知識(shí)，學(xué)生對(duì)前兩章知識(shí)尚記憶深刻，為第三章第一節(jié)“兩角差的余弦公式”的學(xué)習(xí)做了充足的知識(shí)準(zhǔn)備；但”兩角差的余弦公式”推導(dǎo)過(guò)程中QUOTEθθ與QUOTEα、βα、β的關(guān)系，學(xué)生獨(dú)立探究有一定的困難，需要老師合理引導(dǎo)、并讓學(xué)生小組討論合作學(xué)習(xí)來(lái)完成.2能力分析從平時(shí)的課堂教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生小組討論和探究合作學(xué)習(xí)的能力，但由于部分學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱，課堂參與程度不高，因此通過(guò)合理分組，讓學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好且課堂積極活躍的學(xué)生帶動(dòng)小組內(nèi)其他學(xué)生一起完成新課學(xué)習(xí)。從學(xué)生的歸納總結(jié)和語(yǔ)言表達(dá)能力來(lái)看，學(xué)生具有了一定的歸納總結(jié)的能力，但對(duì)數(shù)學(xué)中邏輯嚴(yán)密的一般結(jié)論，還不能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá).3學(xué)習(xí)習(xí)慣與態(tài)度所帶班級(jí)屬于理科班，學(xué)習(xí)紀(jì)律性比較好，聽(tīng)課認(rèn)真，動(dòng)筆演算等能力比較好，課堂氣氛較為活躍；但是作為部分學(xué)生膽子小，回答問(wèn)題方面不是很活躍，需要合理分組合作。兩角和與差的余弦效果分析1教學(xué)設(shè)計(jì)起點(diǎn)低，目標(biāo)高，立意新本節(jié)課在遵循教材總體設(shè)計(jì)思路的前提下，對(duì)問(wèn)題的引入作了調(diào)整，由最簡(jiǎn)單的、學(xué)生最易遇到的問(wèn)題入手，顯得自然、干脆，起點(diǎn)較低，便于學(xué)生理解。本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的思維活動(dòng)在三個(gè)層面上展開(kāi)：一是從問(wèn)題形成到公式的探求過(guò)程；二是以公式作為思維對(duì)象，通過(guò)應(yīng)用不斷深化的過(guò)程；三是在回顧反思環(huán)節(jié)對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程和結(jié)果的回顧反思，促成學(xué)生認(rèn)知上的升華。整個(gè)教學(xué)過(guò)程以公式探究和應(yīng)用為載體，緊緊抓住思維的“關(guān)鍵點(diǎn)”來(lái)“教思維”，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維的感悟，目標(biāo)高，立意新。2教學(xué)過(guò)程真實(shí)、流暢，退讓得當(dāng)基于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理，整節(jié)課的設(shè)計(jì)和實(shí)施都站在學(xué)生的角度去思考、觀察、審視、操作.在問(wèn)題的提出、解決、拓展等方面，學(xué)生能用接近水平的真實(shí)方式進(jìn)行探究，力求還原真實(shí)的、曲折的探究過(guò)程，再現(xiàn)了科學(xué)研究中經(jīng)常遇到的“有心栽花花不開(kāi)，無(wú)心插柳柳成蔭”的現(xiàn)象。在此課中，為了促進(jìn)學(xué)生思維自然流淌，教師在教學(xué)中不斷采用“退”的策略，“退”是退回學(xué)生思維的實(shí)際狀況，促進(jìn)知識(shí)的自然生長(zhǎng).“退”是為了“進(jìn)”，力求在退中發(fā)展學(xué)生的思維能力，在退中增強(qiáng)學(xué)生的情感體驗(yàn)，在退中讓學(xué)生的發(fā)展更為自然。兩角和與差的余弦教材分析本節(jié)課選自人教版.必修四.第三章第一節(jié),是學(xué)習(xí)了第一章三角函數(shù)和第二章平面向量后的內(nèi)容,其的中心任務(wù)是通過(guò)以知的向量和三角恒等變換知識(shí),探索建立兩角差的余弦公式，通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu).功能及其運(yùn)用，同時(shí)本節(jié)內(nèi)容也是第三章其他十個(gè)公式的推導(dǎo)基礎(chǔ)，因此推導(dǎo)得到兩角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源頭。過(guò)去教材曾用余弦定理證明兩角和的余弦公式，雖能對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，但過(guò)程繁瑣，不易被學(xué)生接受。由于向量工具的引入，新教材選擇了兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，這樣處理使得公式的得出成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)算，大大地降低了思考的難度，也更易于學(xué)生接受。從知識(shí)產(chǎn)生的角度來(lái)看，在學(xué)習(xí)了《三角函數(shù)》及《平面向量》后再學(xué)習(xí)由這些知識(shí)推導(dǎo)出的新知識(shí)也更符合知識(shí)產(chǎn)生的規(guī)律，符合人們認(rèn)知的規(guī)律。從知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值來(lái)看，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，是新教材的顯著特點(diǎn)，課本中豐富的生活實(shí)例為學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待生活、體驗(yàn)生活即數(shù)學(xué)理念，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?；谏鲜龇治?，本節(jié)課遵循教材安排意圖為原則，讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的思維過(guò)程，即先用數(shù)形結(jié)合的思想，借助單位圓中的三角函數(shù)線，推出角α，β，α－β均為銳角時(shí)公式成立。對(duì)于α，β為任意角時(shí)的情況，運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行探究，使得公式的得出成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)算過(guò)程，學(xué)生易于理解和掌握。然后通過(guò)有梯度的練習(xí)、變式訓(xùn)練、分層作業(yè)等鞏固公式。山東省諸城實(shí)驗(yàn)中學(xué)2016級(jí)高一課時(shí)教（學(xué)）案學(xué)科：數(shù)學(xué)姓名使用時(shí)間：2017年4月____日編號(hào)課題:§3.1.1兩角和與差的余弦編制:_王桂娟審核__趙金言___學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知識(shí)目標(biāo)：理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程，熟記兩角和與差的余弦公式，運(yùn)用兩角和與差的余弦公式，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。2能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；培養(yǎng)學(xué)生逆向思維和發(fā)散思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。3.情感目標(biāo)：通過(guò)觀察、對(duì)比體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和諧美，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的能力，學(xué)會(huì)從已有知識(shí)出發(fā)主動(dòng)探索未知世界的意識(shí)及對(duì)待新知識(shí)的良好情感態(tài)度。重點(diǎn)：應(yīng)用兩角和與差的余弦公式求值和證明；難點(diǎn)：兩角和的余弦公式的推導(dǎo)。一、知識(shí)鏈接1、已知點(diǎn)QUOTEP(x,y)P(x,y)為角QUOTEαα的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則QUOTEcosα=cosα=________，QUOTEsinα=___________sinα=___________，即點(diǎn)QUOTEPP的坐標(biāo)為____________。2、已知QUOTEa=x1，y1,b=(x2,y2)a=x1，y1與QUOTEbb的夾角為QUOTEθθ，則QUOTEcosθ=cosθ=___________=______________，其中QUOTEθθ的范圍為_(kāi)_____________。二、問(wèn)題引入QUOTEsinα+π2=QUOTEcosα+π2=cosα+π2=QUOTEcosQUOTEcosα-π=cosα-π=QUOTEcosα-π2=三、兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)y-1-111xO在平面直角坐標(biāo)系中做一個(gè)單位圓，設(shè)角QUOTEαα，QUOTEββ的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A、B，設(shè)與的夾角為QUOTEθθ，y-1-111xO1、根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得QUOTEOA?OBOA?OB2、點(diǎn)A的坐標(biāo)是_____點(diǎn)B的坐標(biāo)是________，向量的坐標(biāo)是___________，的坐標(biāo)是___________.y-1-111BAxO3、根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得y-1-111BAxO4、，的夾角與角QUOTEα、βα、β的關(guān)系：QUOTE（1）α-β∈[0,π]（1）QUOTE（2）α-β∈[π,2π]（2）5、當(dāng)QUOTEα-βα-β在全體實(shí)數(shù)范圍時(shí)，如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換？結(jié)論歸納：1、差角的余弦公式：2、符號(hào)簡(jiǎn)記為：3、思考：如何推導(dǎo)兩角和的余弦公式？和角的余弦公式：簡(jiǎn)記為：四、公式應(yīng)用過(guò)關(guān)小試身手(1)(2)(3)再接再厲各顯神通(1)(2)五、公式逆用六、數(shù)學(xué)運(yùn)用已知QUOTEcosα=-45(π2<α<π)cosα=-45(π2<α<π),求QUOTEcos?(π6-α)七、課時(shí)總結(jié)八、當(dāng)堂檢測(cè)cos80°cos20°+sin80°sin20°cos130°cos5°-sin130°sin5°cos215°-sin215°設(shè)，若，則。（2004年全國(guó)高考題）。兩角差的余弦公式教學(xué)反思兩角差的余弦公式是任意角三角函數(shù)知識(shí)的延伸，是后繼內(nèi)容兩角和與差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知識(shí)基礎(chǔ)。一、反思教學(xué)理念：新課程理念的靈魂是三個(gè)教學(xué)目標(biāo)的整合，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。知識(shí)可以通過(guò)傳授獲得，技能可以通過(guò)訓(xùn)練掌握,態(tài)度和情感價(jià)值觀需要學(xué)生參與獲得。這樣，課堂教學(xué)中，要重視學(xué)生的參與、體驗(yàn)過(guò)程。但老師的指導(dǎo)作用也不可忽視，沒(méi)有老師的引導(dǎo)，學(xué)生的行動(dòng)