高中數(shù)學(xué)-3.1.1　兩角和與差的余弦教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

兩角和與差的余弦教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)三維目標(biāo)】1、知識目標(biāo)理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程；熟記兩角和與差的余弦公式；運(yùn)用兩角和與差的余弦公式，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。2、能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；培養(yǎng)學(xué)生逆向思維和思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。3、情感目標(biāo)通過觀察、對比體會數(shù)學(xué)的對稱美和諧美，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的能力；學(xué)會從已有知識出發(fā)主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態(tài)度。4、教學(xué)重點(diǎn)兩角和與差的余弦公式的理解與靈活運(yùn)用。5、教學(xué)難點(diǎn)兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程，特別是一般性的推廣。6、突破措施先由特殊情形引入再向一般性過渡，充分挖掘?qū)W生的思考和探究能力，以達(dá)到對公式的深入理解和靈活運(yùn)用。高考等級要求C級學(xué)法設(shè)計(jì)獨(dú)立思考，生生交流探究，小組合作知識鏈接誘導(dǎo)公式平面向量的數(shù)量積一、知識鏈接1、已知點(diǎn)QUOTEP(x,y)P(x,y)為角QUOTEαα的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則QUOTEcosα=cosα=________，QUOTEsinα=___________sinα=___________，即點(diǎn)QUOTEPP的坐標(biāo)為____________。2、已知QUOTEa=x1，y1,b=(x2,y2)a=x1，y1,b=(x2,y2),則QUOTEa?b=a?b=________=____________；若QUOTEaa與QUOTEbb的夾角為QUOTEθ【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)向量相關(guān)知識,為本節(jié)課的兩角差的余弦公式推導(dǎo)埋下伏筆.二、問題引入QUOTEsinα+π2=sinα-πQUOTEcosα+π2=cosα+π2=QUOTEcosQUOTEcosα-π=cosα-π=QUOTEcosα-π2=【設(shè)計(jì)意圖】教科書以一個實(shí)際問題（求電視發(fā)射塔的高度）作為引子，目的在于提出問題，引入研究課題。同時幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活有關(guān)，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。解決這個實(shí)際應(yīng)用問題需要用方程的思想分析問題，考慮到我班學(xué)生的實(shí)際情況，這樣做一定程度會搶去這節(jié)課主要研究內(nèi)容的風(fēng)頭。而且，在這個問題中要解決的與這節(jié)課要研究的的聯(lián)系不夠直接。利用誘導(dǎo)公式來引入,研究當(dāng)公式中的特殊角QUOTEπ2π2和QUOTEππ被一般角QUOTEββ取代時,QUOTEcosα+β=?,cosα-β=?cosα+β=?,cosα-β=?，一來可以節(jié)省時間，二來引出課題更加直接，更加自然，同時，吸引學(xué)生興趣，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。三、公式探究y-1-111xO在平面直角坐標(biāo)系中做一個單位圓，設(shè)角QUOTEαα，QUOTEββ的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A、B，設(shè)與的夾角為QUOTEθθ，y-1-111xO1、根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得QUOTEOA?OBOA?OB2、點(diǎn)A的坐標(biāo)是_____點(diǎn)B的坐標(biāo)是________.向量的坐標(biāo)是___________，的坐標(biāo)是___________.y-1-111BAxO3、根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得y-1-111BAxO4、，的夾角與角QUOTEα、βα、β的關(guān)系：QUOTE（1）α-β∈[0,π]（1）QUOTE（2）α-β∈[π,2π]（2）5、當(dāng)QUOTEα-βα-β在全體實(shí)數(shù)范圍時，如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換？【設(shè)計(jì)意圖】教師通過提問引發(fā)學(xué)生思考，并讓學(xué)生分組活動，相互討論，合作學(xué)習(xí)，運(yùn)用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想將問題層層深入，最后達(dá)到推導(dǎo)的完備。從而讓學(xué)生體驗(yàn)探究的過程，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)。四、認(rèn)識公式，深化理解提問：⑴.細(xì)心觀察公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征？⑵.公式中α，β的角的取值范圍如何？學(xué)生觀察與思考得出：①公式中兩邊的符號正好相反（一負(fù)一正）；②公式右邊同名三角函數(shù)乘積的和；③公式中α、β是任意的；④公式的逆用也要注意?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生認(rèn)識公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，深化理解公式實(shí)質(zhì)，為靈活運(yùn)用公式奠定基礎(chǔ)。第一關(guān)：小試身手請用特殊角分別代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（選擇的特殊角可以是30°60°45°等）(1)；(2)；(3)；……問題預(yù)測：學(xué)生動筆自由嘗試、主動探索。有的同學(xué)說會求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至可能有的同學(xué)會說他驗(yàn)證了cos30°=sin60°…….（讓同學(xué)感受獲得公式后的第一份喜悅）由于初學(xué)公式的應(yīng)用，我選擇其中之一作示范。第二關(guān)：再接再厲若β固定，分別用代替α，你將會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)同學(xué)發(fā)現(xiàn)余弦的誘導(dǎo)公式可用C(α±β)公式得到證明：初步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)C(α±β)公式是誘導(dǎo)公式的推廣。（從而讓同學(xué)感受獲得公式后的第二份喜悅）第三關(guān)：各顯神通倘若讓你對C(α±β)公式中的α、β自由賦值，你又將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？(1)；(2)(3)(4)……問題預(yù)測：可能有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)cos2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α，這是以后要學(xué)的二倍角公式，還有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ，甚至有調(diào)皮的同學(xué)發(fā)現(xiàn)cos0=cos(α-α)=cos2α+sin2α=1，這就無意中證明了平方關(guān)系，……，（據(jù)此，讓同學(xué)感受到C(α±β)公式的強(qiáng)大功能）。（必要時，教師可適當(dāng)提示）。注：按課本編排未必能讓同學(xué)注意公式中α,β的任意性，（而正是因α、β的任意性，所以才賦予C(α+β)公式的強(qiáng)大生命力）。于是我設(shè)計(jì)上述三個有層次的A,B,C級的問題，留時間先讓同學(xué)用特殊角自由賦值，逐漸摸索、嘗試，不斷總結(jié)、歸納。這樣更能使同學(xué)親自感受公式的強(qiáng)大功能，并掌握賦值法。五、公式逆用設(shè)計(jì)意圖】通過變式訓(xùn)練，進(jìn)一步加深學(xué)生對公式的理解，使學(xué)生掌握公式的正用，逆用，變角使用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，體現(xiàn)思維的創(chuàng)新意識。六、數(shù)學(xué)運(yùn)用例題已知QUOTEcosα=-45(π2<α<π)cosα=-45(π2<α<π),求QUOTEcos?(π6-α)解：因?yàn)镼UOTEcosα=-45,且π2<α<πcosα=-45,且π因此QUOTEcosπ6-α=cosπcos【設(shè)計(jì)意圖】由學(xué)生先練，然后巡堂了解，及時用投影將學(xué)生的解答、反饋、展示講解。本例題是運(yùn)用公式求值的練習(xí)，但使用公式前必須求相應(yīng)角的正、余弦值。強(qiáng)調(diào)運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求值時，一定要弄清角的范圍，準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號，從而養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。通過基礎(chǔ)題目的練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對公式的理解和應(yīng)用。跟蹤訓(xùn)練：課本P135練習(xí)B2【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生板書，規(guī)范學(xué)生步驟。七、課時總結(jié):（2分鐘）1、牢記公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)會逆用公式。不符合公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的，常通過誘導(dǎo)公式變形使之符合。2、強(qiáng)調(diào)公式中α、β的任意性，是本節(jié)內(nèi)容的主線，它賦予了公式的強(qiáng)大生命力。注：逆用公式是學(xué)生認(rèn)識和掌握公式的重要標(biāo)志。通過步步加深的練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對公式的理解和應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生積極參與思維，培養(yǎng)學(xué)生觀察，比較等思維能力，同時滲透了一種化歸思想。八、達(dá)標(biāo)檢測：（5分鐘）cos80°cos20°+sin80°sin20°，初步學(xué)會逆用公式。cos130°cos5°-sin130°sin5°cos215°-sin215°，為二倍角公式埋下伏筆。（2004全國高考題）設(shè)，若，則，利用高考題的引用讓學(xué)生串連三角函數(shù)的相關(guān)知識。⑴.⑵.-⑶.⑷.⑸.九、作業(yè)布置1、教材第135頁，練習(xí)A2,3；練習(xí)B2,3,4,5.2、探究：知道了，你覺得也有類似的規(guī)律嗎？十、板書設(shè)計(jì)兩角和與差的余弦兩角差的余弦公式兩角和的余弦公式例題變式練習(xí)十一、教后反思：《兩角和與差的余弦》學(xué)情分析1知識分析必修4前兩章剛學(xué)習(xí)了《平面向量》和《三角函數(shù)》的知識，學(xué)生對前兩章知識尚記憶深刻，為第三章第一節(jié)“兩角差的余弦公式”的學(xué)習(xí)做了充足的知識準(zhǔn)備；但”兩角差的余弦公式”推導(dǎo)過程中QUOTEθθ與QUOTEα、βα、β的關(guān)系，學(xué)生獨(dú)立探究有一定的困難，需要老師合理引導(dǎo)、并讓學(xué)生小組討論合作學(xué)習(xí)來完成.2能力分析從平時的課堂教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生小組討論和探究合作學(xué)習(xí)的能力，但由于部分學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱，課堂參與程度不高，因此通過合理分組，讓學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好且課堂積極活躍的學(xué)生帶動小組內(nèi)其他學(xué)生一起完成新課學(xué)習(xí)。從學(xué)生的歸納總結(jié)和語言表達(dá)能力來看，學(xué)生具有了一定的歸納總結(jié)的能力，但對數(shù)學(xué)中邏輯嚴(yán)密的一般結(jié)論，還不能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言來表達(dá).3學(xué)習(xí)習(xí)慣與態(tài)度所帶班級屬于理科班，學(xué)習(xí)紀(jì)律性比較好，聽課認(rèn)真，動筆演算等能力比較好，課堂氣氛較為活躍；但是作為部分學(xué)生膽子小，回答問題方面不是很活躍，需要合理分組合作。兩角和與差的余弦效果分析1教學(xué)設(shè)計(jì)起點(diǎn)低，目標(biāo)高，立意新本節(jié)課在遵循教材總體設(shè)計(jì)思路的前提下，對問題的引入作了調(diào)整，由最簡單的、學(xué)生最易遇到的問題入手，顯得自然、干脆，起點(diǎn)較低，便于學(xué)生理解。本節(jié)課的教學(xué)過程中，學(xué)生的思維活動在三個層面上展開：一是從問題形成到公式的探求過程；二是以公式作為思維對象，通過應(yīng)用不斷深化的過程；三是在回顧反思環(huán)節(jié)對整個學(xué)習(xí)過程和結(jié)果的回顧反思，促成學(xué)生認(rèn)知上的升華。整個教學(xué)過程以公式探究和應(yīng)用為載體，緊緊抓住思維的“關(guān)鍵點(diǎn)”來“教思維”，強(qiáng)化了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維的感悟，目標(biāo)高，立意新。2教學(xué)過程真實(shí)、流暢，退讓得當(dāng)基于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理，整節(jié)課的設(shè)計(jì)和實(shí)施都站在學(xué)生的角度去思考、觀察、審視、操作.在問題的提出、解決、拓展等方面，學(xué)生能用接近水平的真實(shí)方式進(jìn)行探究，力求還原真實(shí)的、曲折的探究過程，再現(xiàn)了科學(xué)研究中經(jīng)常遇到的“有心栽花花不開，無心插柳柳成蔭”的現(xiàn)象。在此課中，為了促進(jìn)學(xué)生思維自然流淌，教師在教學(xué)中不斷采用“退”的策略，“退”是退回學(xué)生思維的實(shí)際狀況，促進(jìn)知識的自然生長.“退”是為了“進(jìn)”，力求在退中發(fā)展學(xué)生的思維能力，在退中增強(qiáng)學(xué)生的情感體驗(yàn)，在退中讓學(xué)生的發(fā)展更為自然。兩角和與差的余弦教材分析本節(jié)課選自人教版.必修四.第三章第一節(jié),是學(xué)習(xí)了第一章三角函數(shù)和第二章平面向量后的內(nèi)容,其的中心任務(wù)是通過以知的向量和三角恒等變換知識,探索建立兩角差的余弦公式，通過簡單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu).功能及其運(yùn)用，同時本節(jié)內(nèi)容也是第三章其他十個公式的推導(dǎo)基礎(chǔ)，因此推導(dǎo)得到兩角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源頭。過去教材曾用余弦定理證明兩角和的余弦公式，雖能對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，但過程繁瑣，不易被學(xué)生接受。由于向量工具的引入，新教材選擇了兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，這樣處理使得公式的得出成為一個純粹的代數(shù)運(yùn)算，大大地降低了思考的難度，也更易于學(xué)生接受。從知識產(chǎn)生的角度來看，在學(xué)習(xí)了《三角函數(shù)》及《平面向量》后再學(xué)習(xí)由這些知識推導(dǎo)出的新知識也更符合知識產(chǎn)生的規(guī)律，符合人們認(rèn)知的規(guī)律。從知識的應(yīng)用價值來看，重視數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，是新教材的顯著特點(diǎn)，課本中豐富的生活實(shí)例為學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待生活、體驗(yàn)生活即數(shù)學(xué)理念，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?；谏鲜龇治?，本節(jié)課遵循教材安排意圖為原則，讓學(xué)生體會由特殊到一般的思維過程，即先用數(shù)形結(jié)合的思想，借助單位圓中的三角函數(shù)線，推出角α，β，α－β均為銳角時公式成立。對于α，β為任意角時的情況，運(yùn)用向量的知識進(jìn)行探究，使得公式的得出成為一個純粹的代數(shù)運(yùn)算過程，學(xué)生易于理解和掌握。然后通過有梯度的練習(xí)、變式訓(xùn)練、分層作業(yè)等鞏固公式。山東省諸城實(shí)驗(yàn)中學(xué)2016級高一課時教（學(xué)）案學(xué)科：數(shù)學(xué)姓名使用時間：2017年4月____日編號課題:§3.1.1兩角和與差的余弦編制:_王桂娟審核__趙金言___學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知識目標(biāo)：理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程，熟記兩角和與差的余弦公式，運(yùn)用兩角和與差的余弦公式，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。2能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；培養(yǎng)學(xué)生逆向思維和發(fā)散思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。3.情感目標(biāo)：通過觀察、對比體會數(shù)學(xué)的對稱美和諧美，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的能力，學(xué)會從已有知識出發(fā)主動探索未知世界的意識及對待新知識的良好情感態(tài)度。重點(diǎn)：應(yīng)用兩角和與差的余弦公式求值和證明；難點(diǎn)：兩角和的余弦公式的推導(dǎo)。一、知識鏈接1、已知點(diǎn)QUOTEP(x,y)P(x,y)為角QUOTEαα的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則QUOTEcosα=cosα=________，QUOTEsinα=___________sinα=___________，即點(diǎn)QUOTEPP的坐標(biāo)為____________。2、已知QUOTEa=x1，y1,b=(x2,y2)a=x1，y1與QUOTEbb的夾角為QUOTEθθ，則QUOTEcosθ=cosθ=___________=______________，其中QUOTEθθ的范圍為______________。二、問題引入QUOTEsinα+π2=QUOTEcosα+π2=cosα+π2=QUOTEcosQUOTEcosα-π=cosα-π=QUOTEcosα-π2=三、兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)y-1-111xO在平面直角坐標(biāo)系中做一個單位圓，設(shè)角QUOTEαα，QUOTEββ的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A、B，設(shè)與的夾角為QUOTEθθ，y-1-111xO1、根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得QUOTEOA?OBOA?OB2、點(diǎn)A的坐標(biāo)是_____點(diǎn)B的坐標(biāo)是________，向量的坐標(biāo)是___________，的坐標(biāo)是___________.y-1-111BAxO3、根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得y-1-111BAxO4、，的夾角與角QUOTEα、βα、β的關(guān)系：QUOTE（1）α-β∈[0,π]（1）QUOTE（2）α-β∈[π,2π]（2）5、當(dāng)QUOTEα-βα-β在全體實(shí)數(shù)范圍時，如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換？結(jié)論歸納：1、差角的余弦公式：2、符號簡記為：3、思考：如何推導(dǎo)兩角和的余弦公式？和角的余弦公式：簡記為：四、公式應(yīng)用過關(guān)小試身手(1)(2)(3)再接再厲各顯神通(1)(2)五、公式逆用六、數(shù)學(xué)運(yùn)用已知QUOTEcosα=-45(π2<α<π)cosα=-45(π2<α<π),求QUOTEcos?(π6-α)七、課時總結(jié)八、當(dāng)堂檢測cos80°cos20°+sin80°sin20°cos130°cos5°-sin130°sin5°cos215°-sin215°設(shè)，若，則。（2004年全國高考題）。兩角差的余弦公式教學(xué)反思兩角差的余弦公式是任意角三角函數(shù)知識的延伸，是后繼內(nèi)容兩角和與差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知識基礎(chǔ)。一、反思教學(xué)理念：新課程理念的靈魂是三個教學(xué)目標(biāo)的整合，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。知識可以通過傳授獲得，技能可以通過訓(xùn)練掌握,態(tài)度和情感價值觀需要學(xué)生參與獲得。這樣，課堂教學(xué)中，要重視學(xué)生的參與、體驗(yàn)過程。但老師的指導(dǎo)作用也不可忽視，沒有老師的引導(dǎo)，學(xué)生的行動