數(shù)學(xué)學(xué)案（新教材人教A版）第七章75空間直線平面的垂直

空間直線、平面的垂直考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的__________垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的________所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是________；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是________．(2)范圍：________.3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的________，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的________，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,))?l⊥α常用結(jié)論1．三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．3．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()教材改編題1．(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β2.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，則在四面體S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對．題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(1)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題________．聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·婁底模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)B1在底面ABC內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C.①若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1.②已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱CD，A1D1的中點(diǎn)．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點(diǎn)P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(2023·桂林模擬)如圖所示，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E為PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面PCD⊥平面ACE；(2)求點(diǎn)B到平面ACE的距離．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．跟蹤訓(xùn)練2(2022·邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點(diǎn)P是AD1上的動點(diǎn)．(1)試判斷不論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)P為AD1的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AA1與B1P所成的角的余弦值；(3)求PB1與平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．(2)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．跟蹤訓(xùn)練3(2023·柳州模擬)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝2eq\r(2)，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且PM與平面ABC所成角的正切值為eq\r(6)，求二面角M－PA－C的平面角的余弦值．____________________________________________________