高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)

高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)全文共6頁，當前為第1頁。高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點A(a,b)對稱的充要條件是

f(x)+f(2a－x)=2b

證明：（必要性）設(shè)點P(x,y)是y=f(x)圖像上任一點，∵點P(x,y)關(guān)于點A(a,b)的對稱點P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)圖像上，∴2b－y=f(2a－x)

即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得證。

（充分性）設(shè)點P(x0,y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0)

∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故點P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)圖像上，而點P與點P'關(guān)于點A(a,b)對稱，充分性得征。

推論：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f(x)+f(－x)=0

定理2.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是

f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（證明留給讀者）

推論：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f(x)=f(－x)

定理3.①若函數(shù)y=f(x)圖像同時關(guān)于點A(a,c)和點B(b,c)成中心對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2a－b是其一個周期。

②若函數(shù)y=f(x)圖像同時關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且2a－b是其一個周期。

③若函數(shù)y=f(x)圖像既關(guān)于點A(a,c)成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f(x)是周期函數(shù)，且4a－b是其一個周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數(shù)y=f(x)圖像既關(guān)于點A(a,c)成中心對稱，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）

又∵函數(shù)y=f(x)圖像直線x=b成軸對稱，

∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)全文共6頁，當前為第2頁。－b）－x代x得

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：

f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函數(shù)，且4a－b是其一個周期。

二、不同函數(shù)對稱性的探究

定理4.函數(shù)y=f(x)與y=2b－f(2a－x)的圖像關(guān)于點A(a,b)成中心對稱。

定理5.①函數(shù)y=f(x)與y=f(2a－x)的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱。

②函數(shù)y=f(x)與a－x=f(a－y)的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對稱。

③函數(shù)y=f(x)與x－a=f(y+a)的圖像關(guān)于直線x－y=a成軸對稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③

設(shè)點P(x0,y0)是y=f(x)圖像上任一點，則y0=f(x0)。記點P(x,y)關(guān)于直線x－y=a的軸對稱點為P'（x1，y1），則x1=a+y0x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴點P'（x1，y1）在函數(shù)x－a=f(y+a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)x－a=f(y+a)的圖像上任一點關(guān)于高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)全文共6頁，當前為第3頁。直線x－y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y=f(x)的圖像與x=f(y)的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱。

三、三角函數(shù)圖像的對稱性列表

注：①上表中k∈Z

②y=tanx的所有對稱中心坐標應(yīng)該是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數(shù)學精編第一冊（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學新教案（修訂版）中都認為y=tanx的所有對稱中心坐標是(kπ,0)，這明顯是錯的。

四、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f(10+x)為偶函數(shù)，且f(5－x)=f(5+x),則f(x)一定是（）（第十二屆希望杯高二第二試題）

(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f(10+x)為偶函數(shù)，∴f(10+x)=f(10－x).

∴f(x)有兩條對稱軸x=5與x=10，因此f(x)是以高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)全文共6頁，當前為第4頁。10為其一個周期的周期函數(shù)，∴x=0即y軸也是f(x)的對稱軸，因此f(x)還是一個偶函數(shù)。

故選(A)

例2：設(shè)定義域為R的函數(shù)y=f(x)、y=g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，

∴y=g-1(x－2)反函數(shù)是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函數(shù)是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001

故f(4)=2001,應(yīng)選（C）

例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)=f(1－x),當－1≤x≤0時，

f(x)=－x，則f(8.6)=_________（第八屆希望杯高二第一試題）

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)∴x=0是y=f(x)對稱軸；

又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)對稱軸。故y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f(8.6)=f高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)全文共6頁，當前為第5頁。(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3

例4.函數(shù)(2x+)的圖像的一條對稱軸的方程是（）(92全國高考理)(A)x=－(B)x=－(C)x=(D)x=

解：函數(shù)(2x+)的圖像的所有對稱軸的方程是2x+=k+

∴x=－,顯然取k=1時的對稱軸方程是x=－故選(A)

例5.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),當0≤x≤1時，

f(x)=x，則f(7.5)=（）

(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5

解：∵y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點（0，0）是其對稱中心；

又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直線x=1是y=f(x)對稱軸，故y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)。

∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)高一數(shù)學《函數(shù)的對稱性》知識點總結(jié)全文共6頁，當前為第6頁。=－0.5故選(B)高一數(shù)學