高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第1頁。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第1頁。1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性” 。進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A x|x2 2x 3 0，B x|ax 1BA，則實數(shù)a的值構(gòu)成的集合為注意下列性質(zhì)：1）集合a1，a2，,,，an的所有子集的個數(shù)是2n；要知道它的來歷：若B為A的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2,a3,,,an,都有2種選擇，所以，總共有2n種選擇，即集合A有2n個子集。當(dāng)然，我們也要注意到，這2n種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數(shù)為2n1，非空真子集個數(shù)為2n2（2）若A B A B A，A B B；（3）德摩根定律：CUA B CUA CUB，CUA B CUA CUB有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）如：已知關(guān)于 x的不等式 ax 5 0的解集為M，若3 M且5 M，求實數(shù)ax2 a的取值范圍。對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對一，多對一，允許 B中有元素?zé)o原象。）注意映射個數(shù)的求法。如集合 A中有m個元素，集合 B中有n個元素，則從 A到B的映射個數(shù)有 nm個。如：若A {1,2,3,4}，B {a,b,c}；問：A到B的映射有 個，B到A的映射有 個；A到B的函數(shù)有 個，若A {1,2,3}，則A到B的一一映射有 個。函數(shù)y (x)的圖象與直線 x a交點的個數(shù)為 個。函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備 )求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第2頁。x4高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第2頁。

x例：函數(shù)

y

2

的定義域是lgx

3函數(shù)定義域求法：分式中的分母不為零；偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？如：函數(shù)f(x)的定義域是a，b，ba0，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)的定義域是_____________。例若函數(shù)yf(x)的定義域為1,2，則的定義域為。211、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例求函數(shù)y=1的值域x2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù) y=x2-2x+5，x [-1，2]的值域。3、判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面ayb型：直接用不等式性質(zhì).k+x2b.ybx型,先化簡，再用均值不等式x2mxn例：yx111+x212x+xcyx2mxn型通常用判別式..x2mxnd.yx2mxn型n法一：用判別式法二：用換元法，把分母替換掉x2x2）+111（x+1）（x+1）例：yx1x1（x+11211x15、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第3頁。6、函數(shù)單調(diào)性法高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第3頁。通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個內(nèi)容7、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例求函數(shù)y=x+ x 1的值域。數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。22例：求函數(shù)y=(x2)+(x8)的值域。倒數(shù)法有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)y= x 2的值域3求一個函數(shù)的解析式時，注明函數(shù)的定義域了嗎？切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當(dāng)年的錯誤，與到手的滿分失之交臂如：f x 1 ex x，求f(x)..如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關(guān)系可以變形為求f(x1)f(x2)的正負號或者f(x1)與1的關(guān)系x1x2f(x2)參照圖象：①若函數(shù)

f(x)

的圖象關(guān)于點

(a，b)對稱，函數(shù)

f(x)

在關(guān)于點

(a，0)的對稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性；

（特例：奇函數(shù)）②若函數(shù)

f(x)

的圖象關(guān)于直線

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第4頁。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第4頁。x＝a對稱，則函數(shù)

f(x)

在關(guān)于點

(a，0)的對稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。（特例：高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第5頁。f(x)-f(-x)=0高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第5頁。f(x)+f(-x)=0偶函數(shù)）利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：①函數(shù)f(x)與f(x)＋c(c是常數(shù))是同向變化的②函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c＞0時，它們是同向變化的；當(dāng)c＜0時，它們是反向變化的。③如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)＋f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）④如果正值函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）⑤函數(shù)f(x)與1在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。f(x)⑥若函數(shù)u＝φ(x)，x[α，β]與函數(shù)y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向變化，則在[α，β]上復(fù)合函數(shù)y＝F[φ(x)]是遞增的；若函數(shù)u＝φ(x),x[α，β]與函數(shù)y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u[φ(β)，φ(α)]反向變化，則在[α，β]上復(fù)合函數(shù)y＝F[φ(x)]是遞減的。（同增異減）⑦若函數(shù)y＝f(x)是嚴格單調(diào)的，則其反函數(shù)x＝f－1(y)也是嚴格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正數(shù)增增增增增增減減//減增減//減減增減減函數(shù)f(x)具有奇偶性的條件是什么？f(x)定義域關(guān)于原點對稱）若f( x) f(x)總成立 f(x)為奇函數(shù) 函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱若f(x) f(x)總成立 f(x)為偶函數(shù) 函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱注意如下結(jié)論：1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)0。（3）f（x）是定義域在（ -6,0），（0，6）上的奇函數(shù)，若 x＞0時f（x）= 求x＜0時f（x）判斷函數(shù)奇偶性的方法一、 定義域法一個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點對稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件 .若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù) .二、 奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的前提下，計算 f( x)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性 .這種方法可以做如下變形奇函數(shù)偶函數(shù)f(x)1 偶函數(shù)f(-x)f(x)1 奇函數(shù)f(-x)三、 復(fù)合函數(shù)奇偶性高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第6頁。f(g)高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第6頁。g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非奇偶偶奇偶非奇非奇偶偶偶偶偶偶18.（若存在實數(shù)T（T0），在定義域內(nèi)總有fxTf(x)，則f(x)為周期函數(shù)，T是一個周期。）如：若fxaf(x)，則我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你 f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過來，這時說這個函數(shù)周期 2t.推導(dǎo)：f(x)f(xt)0f(x)f(x2t)，f(xt)f(x2t)0同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對稱，對稱軸可以由括號內(nèi)的2個數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱。又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸，xbxa即f(ax)f(a，f(bx)f(bx)x)f(x)f(2ax)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2bx)令t2ax,則2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)f(x)f(x2b2a)所以,函數(shù)f(x)以2|ba|為周期(因不知道a,b的大小關(guān)系,為保守起見,我加了一個絕對值如：你掌握常用的圖象變換了嗎？f(x)與f(x)的圖象關(guān)于 y軸對稱 聯(lián)想點（x,y）,(-x,y)f(x)與f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱聯(lián)想點（x,y）,(x,-y)f(x)與f(x)的圖象關(guān)于原點對稱聯(lián)想點（x,y）,(-x,-y)f(x)與f1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱聯(lián)想點（x,y）,(y,x)高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第7頁。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第7頁。f(x)與f(2ax)的圖象關(guān)于直線xa對稱聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,y)f(x)與f(2ax)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,0)將yf(x)圖象左移a(a0)個單位yf(xa)右移a(a0)個單位yf(xa)上移b(b0)個單位yf(xa)b下移b(b0)個單位yf(xa)b注意如下“翻折”變換：f(x)把軸下方的圖像翻到上面|f(x)|xf(x)把軸右方的圖像翻到上面f(|x|)y19.(k<0) y (k>0)y=bO’(a,b)Oxx=a（1）一次函數(shù)：ykxbk0(k為斜率，b為直線與y軸的交點)（2）反比例函數(shù)：ykk0推廣為ybkk0是中心O'(a，b)xxa的雙曲線。b24acb2（3）二次函數(shù)y2bxca0axax圖象為拋物線2a4a頂點坐標(biāo)為b，4acb2，對稱軸xb2a4a2a開口方向：a0，向上，函數(shù)ymin4acb24aa0，向下，ymax4acb24a根的關(guān)系：xb2axx2b,xx2c,|xx|1a1a12|a|高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第8頁。高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第8頁。二次函數(shù)的幾種表達形式：f(x)ax2bxc(一般式)f(x)a(xm)2n(頂點式，（m，n）為頂點f(x)a(xx1)(xx2)(x1,x2是方程的2個根）f(x)a(xx1)(xx2)h(函數(shù)經(jīng)過點（x1,h)(x2,h)應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程ax2bxc0，0時，兩根x1、x2為二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸的兩個交點，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端點值。②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。區(qū)間在對稱軸左邊（nb）fmaxf(m),fminfn()2a區(qū)間在對稱軸右邊（mb）fmaxf(n),fminfm()2a區(qū)間在對稱軸2邊（nbm）b22afmin4acf,maxmfamx(f(n),())4a也可以比較和對稱軸的關(guān)系，距離越遠，值越大m,n(只討論a0的情況）③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。0如：二次方程

ax2

bx

c

0的兩根都大于

k

b

k2af(k)

0y(a>0)O k x1 x2 x一根大于k，一根小于kf(k)00mbn在區(qū)間（m，n）內(nèi)有2根2a（4）指數(shù)函數(shù)：yaxa0，a1f(m)0f(n)0在區(qū)間（m，n）內(nèi)有1根f(m)f(n)0高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第9頁。（6）“對勾函數(shù)” y x k k 0高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第9頁。x高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第10頁。利用它的單調(diào)性求最值高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第10頁。ykO k x如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）如：（1）xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。（先令xy0f(0)0再令yx，,,）（2）xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，證明f(x)是偶函數(shù)。（先令xytf(t)(t)f(t·t)∴f(t)f(t)f(t)f(t)f(t)f(t),,）（3）證明單調(diào)性：f(x2) f x2 x1 x2 ,,（對于這種抽象函數(shù)的題目，其實簡單得都可以直接用死記了1、 代y=x，2、 令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令 y=—x；求單調(diào)性：令 x+y=x1幾類常見的抽象函數(shù)1.正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2.冪函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝xa----------------f（xy）＝f（x）f（y）；f（x）＝f(x)yf(y)例1已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x>0時，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的值域.高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第11頁。2已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x>0時，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)全文共12頁，當(dāng)前為第11頁。3已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當(dāng)0≤x＜1時，f（x）∈[0，1].1）判斷f（x）的奇偶性；2）判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調(diào)性，并給出證明；3）若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范圍.例4設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；（2）對任意值x，判斷f（x）值的符號.例5是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.例6設(shè)f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：1）f（1）；2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍.7設(shè)函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由.例9已知函數(shù)f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1） 求證：f（1）＝f（－1）＝0；（2） 求證：f（x）為偶函數(shù)；（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，解不等式 f（x）＋f（x－1）≤0.2