2023中考數(shù)學(xué)圓中將軍飲馬

專題28圓中將軍飲馬

1.如圖，N8是。。的直徑，48=2，點(diǎn)C在0。上,/。8=30。，。為弧8c的中點(diǎn)，￡是

直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，則CE+DE最小值為（）

【答案】B

【分析】作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為。'，連接OC,0D,OD,CD,交AB于點(diǎn)、E，則CE+DE

的最小值就是CD'的長度，根據(jù)已知易證/。。。'=90。，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：作點(diǎn)Q關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為連接。C,。。，，交于點(diǎn)E,

：,CE+DE=CE+D'E=CD',

?208=30。，

：.zCOB=2zCAB=60°,

,力為BC的中點(diǎn)，

.CD=DB,

.DB=BD,

：.CD=DB=DB',

:.zCOD=zDOB=zBOD'=30°,

：,zCOD'=90°,

：AB=2,

：,OC=OD'=\,

：.CD'=VOC2+OD'-=Vl2+12=>/2,

;CE+Z）E最小值為：V2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，軸對(duì)稱-最短路線問

題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，是。的直徑，AB=S，點(diǎn)M在OO上，的鉆=20°,N是弧M3的中點(diǎn),P是直

徑N8上的一動(dòng)點(diǎn).若MN=2,則APAW周長的最小值為（）

【答案】B

【分析】依題意作出圖形，作M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M',連接,則周長的

最小值為PM+NM+PN=PM'+NM+PN=M'N+MN,由NM4B=20°,N是弧M8的中

點(diǎn)，可知NNOB=20。.ZM'ON=40。，進(jìn)而可得△OM7V是等邊三角形進(jìn)而可得=,

結(jié)合已知MN=2,即可求得△PA/N周長的最小值MN+MN.

【詳解】作M關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)AT,連接PM；NM，,AN,

M

XPMN周kPM+NM+PN=PM'+NM+PN=M'N+MN,

△HWV周長的最小值為M7V+MN,

ZM4B=20°,N是弧的中點(diǎn)，

:.MN=NB,

ZW4B=-ZM4B=10°,

2

:.ZNOB=20°,

MB=M'B,

ZM'OB=2ZMAB=40°,

.-.ZNOM'=f)0o,

ON=OM',

△OMN是等邊三角形，

M'N=ON=-AB=4,

MN=2,

M'N+MN=4+2=6.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，弧的中點(diǎn)的性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離，

正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在扇形80c中，ZBOC=60°，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、尸分別為半徑0C,0B

上的動(dòng)點(diǎn).若。8=2，則DE尸周長的最小值為（）

A.2B.26C.4D.4G

【答案】B

【分析】連接0D，分別作。點(diǎn)關(guān)于OB、0C的對(duì)稱點(diǎn)歷、N，連接。例、ON,MN,MN

交于廠,交0C于E,交。。于尸，如圖，利用E￡>=EN,=得到ADEF的周長

=MN,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)ADE尸的周長最小，接著證明ZMCW=120。，

OM=ON=2,然后計(jì)算出MN即可.

【詳解】解：連接，分別作。點(diǎn)關(guān)于OB、OC的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接QM、ON,MN,

MN交OM于5，交0C于E,交0D于P,

ED=EN,FM=FB,

:.SDEF^^-^=ED+EF+FD=EN+EF+FM=MN,

，此時(shí)AD￡F的周長最小，

點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

NBOD=NCOD=-ZBOC=30°

2，

〃點(diǎn)與。點(diǎn)關(guān)于OB對(duì)稱，

:.ZMOB=ZBOD=3CP,OM=OD=2,

同理得NMN=NGOD=30°,ON=OD=2,

ZMON=120°,OM=ON=2,

而/MOP=60。,

：.OP1MN,NOMN=NONM=30P,

PM=PN,

在RtAOPM中，OP=^OM=\,

:.PM=6OP=6,

:.MN=2PM=2如,

「.ADE下周長的最小值為26.

故選：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于

這條弧所對(duì)的圓心角的一半.也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和最短路徑問題.

4.如圖，動(dòng)點(diǎn)M在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)，且，?是CO邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

E是A。邊的中點(diǎn)，則線段PE+RW的最小值為（）

A.Vio-lB.72+1C.MD.#）+1

【答案】A

【分析】作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E，,設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O,連接OE，,交DC于點(diǎn)P,連

接PE,由軸對(duì)稱的性質(zhì)及90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑，可知線段PE+PM的最小值為OE

，的值減去以AB為直徑的圓的半徑OM,根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解答：解：作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E1設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)0,連接OE，,交DC

于點(diǎn)P,連接PE,如圖：

,.動(dòng)點(diǎn)M在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)，且AM±BM,

.?.點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，OM=^AB=1,

?.正方形ABCD的邊長為2,

■,AD=AB=2,zDAB=90°,

：E是AD的中點(diǎn)，

.-.DE=yAD=yx2=1,

.?點(diǎn)E與點(diǎn)日關(guān)于DC對(duì)稱,

..DE'=DE=1,PE=PE*,

/.AE'=AD+DEr=2+1=3,

在RsAOE，中,OE'=^AE^+AO2=732+l2=M,

二線段PE+PM的最小值為:

PE+PM

=PE'+PM

=ME'

=OE'-OM

=Vio-i.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題、圓周角定理的推論、正方形的性質(zhì)及勾股定理

等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，A3是半圓。的直徑，AB=4,點(diǎn)C,。在半圓上，OCLAB,BD=2CD,點(diǎn)尸

是0C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則8P+QP的最小值為（）

A.2A/3B.2A/2C.2D.36

【答案】A

【分析】連接AD與OC相交于點(diǎn)P,連接BDQD,則由垂直平分線的性質(zhì)，得至ljAP=BP,

則8P+OP的最小值為AD的長度，由圓周角定理得到NBOD=60。，即可求出的長度.

【詳解】解：連接AD與OC相交于點(diǎn)P,連接BD,0D,如圖：

OCVAB,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

..0C垂直平分AB,

,-.AP=BP,

.8P+Z)P的最小值為AD的長度；

?：AB為直徑,則/ADB=90°,

.^BOC=90°,BD=2CD,

..zBOD=60°,

.'.AOBD是等邊三角形，

;.BD=OB=；48=2,

.AD^^2-^=273；

..8P+OP的最小值為26；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂直平分線的性質(zhì)定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及

勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確求出BD的長度.

第II卷（非選擇題）

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二、填空題

6.如圖，8是。。的直徑，點(diǎn)/是半圓上的三等分點(diǎn)，8是弧/￡?的中點(diǎn)，P點(diǎn)為直線。

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)8=6時(shí)，/P+BP的最小值為.

【答案】30.

【分析】如圖，設(shè)/'是/關(guān)于C。的對(duì)稱點(diǎn)，連接48，與CQ的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.此時(shí)必+尸8

=48是最小值，可證是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果.

【詳解】解：作點(diǎn)/關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B，交CD于點(diǎn)P,則PA+PB最小，

連接OH,AA'.

■二點(diǎn)/與4關(guān)于CQ對(duì)稱，點(diǎn)月是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，

：,zA'0D=zAOD=60°,PA=PA',

?.點(diǎn)8是弧力。的中點(diǎn)，

..zBOD=30°,

:.zA'OB=zA'OD+zBOD=90°,

又Q=O4=3,

:A'B-30.

:.PA+PB=PA'+PB=A'B=3yf2.

故答案為：3亞.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短線段問題以及垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)

正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

7.如圖,AB、CD是半徑為5的。。的兩條弦，45=8,CD=6,MN是直徑,AB±MN于點(diǎn)、

E,CD±MN于點(diǎn)F,P為EF上的任意一點(diǎn)，則為+PC的最小值為.

【答案】7亞

【分析】連接OB、OC,作CH1AB用勾股定理算得EF=OE+OF=7,CH=7,在直角

三角形中求出BC即可得到答案.

【詳解】解：如圖，

連接O/、OB、OC,作CaB于H.

根據(jù)垂徑定理，得到BE=±AB=4,CF=1CD=3,

-OE=sjoB2-BE2=A/52-42=3,0F=yJoC2-CF2=yj52-32=4,

：,CH=OE+OF=3+4=1,BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,

在直角中根據(jù)勾股定理得到8c=7夜,

則以+PC的最小值為7a.

故答案為：7及.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓的垂徑定理，圓中最短路徑問題以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理及

勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，0。的直徑48=16，半徑OC_LAB,后為0。的中點(diǎn)，DELOC，交。。于點(diǎn)。，

過點(diǎn)。作。尸LAB于點(diǎn)/若P為直徑上一動(dòng)點(diǎn)，則尸C+P。的最小值為.

【答案】88

【分析】延長CO交。。于G,連接GO交力8于尸，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知PC+PD的

最小值為GD,由勾股定理分別求得QE、DG即可解答.

【詳解】解：延長C。交0。于G,連接G。交于尸，則PC+PD的最小值為GD,

連接,

貝ijOD=OG=OC=^AB=8,

IE為OC的中點(diǎn)，

:.OE=^OC=4,

.,.EG=4+8=12,

：DELOC,

.?.在火也OEZ)中,DE=ylo?_0f=相-4<=46,

在RSGED中，DG=y/ED2+EG2=J(4^)2+122=8^,

故答案為：8后.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、最短路徑問題、圓的有關(guān)概念與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理和圓

的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

2

9.如圖，/8是。。的直徑，已知48=2,C,。是。。的上的兩點(diǎn)，且8C+81)=§A8,M

是AB上一點(diǎn)，則MC+MD的最小值是.

【答案】6

【分析】過。作DDMB于H交。。于D',根據(jù)垂徑定理得到BD=D'B,于是得到工

(700=120。，連接CD'交于M,則CD'=MC+MD的最小值，過。作OMLCO于N，得到

CDf=2NC,zC=30°,解直角三角形得到CN=S~,即可得到結(jié)論.

2

【詳解】解：過。作。?！?于〃交。。于O,

3

2

BC+BD'=-AB

3

:.zCOD'=\20°,

連接CD交48于M,

則CD'=MC+MD的最小值，

過。作ON工CD，于N,

：OC=OD',

:,CD'=2NC,zC=30°,

：OC=^AB=\,

:.CN=B,

2

：.CD'=^,

JWC+M。的最小值是G,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及軸對(duì)稱一最短線路問題，熟練掌握定理是

解本題的關(guān)鍵.

10.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，OA8的頂點(diǎn)A,B,。均落在格點(diǎn)上，

以點(diǎn)。為圓心。4長為半徑的圓交。8于點(diǎn)C.

（o）若BO切o于點(diǎn)。,P為3上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)8P+DP取得最小值時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直

尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)。,P,并簡要說明點(diǎn)O,P的位置是如何找到的（不要

求證明）.

【答案】V13-3連接/點(diǎn)和8點(diǎn)上一格再左兩格的格點(diǎn)，交。。于。，找到8點(diǎn)關(guān)

于0A的對(duì)稱點(diǎn)連接&D交OA于P,

【分析】（）利用網(wǎng)格根據(jù)勾股定理求出的長，再用OB-OC即可求出線段BC的長；

（）如圖，連接力點(diǎn)和8點(diǎn)上一格再左兩格的格點(diǎn)E,交。。于。，找到8點(diǎn)關(guān)于的

對(duì)稱點(diǎn)夕，連接夕。交04于P,則點(diǎn)。，尸即為所求.證明OBD和△084全等,得出BD

是。的切線，通過垂徑定理可得點(diǎn)。、W關(guān)于04的對(duì)稱，有最短路徑，可得當(dāng)8、P、

W三點(diǎn)共線時(shí)，BP+D/=BP+DP取得最小值.

【詳解】解：（）0A=3,AB=2,OALAB,

OB=A/0A2+AB2=732+22=713,

:.BC=OB-OC=OB-OA=4^>-3

，線段BC的長等于JB-3.

（）如圖，連接力點(diǎn)和B點(diǎn)上一格再左兩格的格點(diǎn)E,交。。于D,找到B點(diǎn)關(guān)于。/（的

對(duì)稱點(diǎn)8',連接夕。交。/于？，則點(diǎn)力，P即為所求.連接8。交。4于尸，點(diǎn)。、尸即為

所求，

根據(jù)格點(diǎn)的特點(diǎn)，AELOB,

：OA=OD,

:,zDOB=zAOB,

在.OBD和△08A中

0D=0A

<ZDOB=ZAOB,

OB=OB

OBD^/\OBA,

：,ZODB=ZOAB=90°,ODVOB,

.8。是。的切線，

B'是8關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)，

BP=SP,

當(dāng)8'、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，BP+DPu9P+DP取得最小值.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖.復(fù)雜作圖、勾股定理、圓周角定理、軸對(duì)稱.最短路徑問題以及垂

徑定理等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱性質(zhì).

11.如圖，AB是。的直徑，AB=S,點(diǎn)"在。上，ZMAB=20°,N是弧MB的中點(diǎn)，P

是直徑上的一動(dòng)點(diǎn).若MN=1,則PMN周長的最小值為.

A

【答案】5

【分析】作點(diǎn)N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)V,連接OW、ON、ON、MM,根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路

線問題可得與4B的交點(diǎn)即為PM+PN最小時(shí)的點(diǎn)，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的

圓心角等于圓周角的2倍求出/何。8=40。，然后求出,80220。,再根據(jù)對(duì)稱性可得

/B0N=2Q：然后求出/MOM=60。，從而判斷出△MOM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)求出MN",即為PA/+PN的最小值，從而求得△PA6周長的最小值.

【詳解】解：作點(diǎn)N關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)N，,連接。M、ON、ON、MN',

則MN與AB的交點(diǎn)即為PM+PN的最小時(shí)的點(diǎn),PM+PN的最小值=河9,

：zMAB=20°,

：,zMOB=2zMAB=2^20°=40°,

是弧MB的中點(diǎn)，

:.zBON=^zMOB=^40°=20°,

由對(duì)稱性，/VO8=N8ON=20°,

.?.NMOM=/M08+W05=40°+20°=60°,

..AA/OV是等邊三角形，

:.MN=OM=OB=；AB=3乂8乂,

.?.AP/WN周長的最小值=1+4=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角等于圓

周角的2倍的性質(zhì)，作輔助線并得到△MOV是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，已知圓。的面積為加,A8為圓。的直徑，ZAOC=80°,NBOD=20。，點(diǎn)P為

直線AB上任意一點(diǎn)，則PC+P。的最小值是.

【分析】先設(shè)圓。的半徑為r,由圓。的面積為3兀求出r的值，再作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱

點(diǎn)C\連接OC,DC,則DC的長即為PC+PD的最小值，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出/AOC的度

數(shù)，故可得出/BOC的度數(shù)，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出DC的長.

【詳解】解：設(shè)圓。的半徑為r,

?.?O的面積為3兀,

□kTcr2，即r=后，

作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C,連接OC,DC,則DC的長即為PC+PD的最小值，

?.zAOC=80°,

.-.zAOC=zAOC'=80°,

.-.zBOC^lOO0,

?.zBOD=20°,

..zDOC,=zBOC,+zBOD=100o+20o=120°,

?.OC^OD,

?.NODC=30°

.?.DC=2OD?cos30Oh2Gx正=3,即PC+PD的最小值為3.

2

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理及軸對(duì)稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出點(diǎn)C關(guān)于直線AB

的對(duì)稱點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵.

13.如圖，MN是。0的直徑，MN=2a,/AMN=40°,點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑

MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為.（用含a的代數(shù)式表示）

【答案】6a

【詳解】作B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B，,連接AB，交MN于P,如圖，

M

貝PB=PB，,

.-.PA+PB=PA+PB,=AB,,

,此時(shí)PA+PB的值最小，

-.-zAMN=40°,

,-.zAON=80°,

.?點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，

.?.NBON=3NAON=40°,

-,B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B,,

二.NB'ON=40°,

，NAOB，=120。，

作OHxAB'TH,如圖，則AH=B'H,

在RtAAOH中，zA=30°,

.-.OH=ioA=^a,

.?.AH=&OH=旦,

2

;.AB，=2AH=6a,

即PA+PB的最小值為ga.

故答案為Ga.

點(diǎn)睛：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，圓周角定理及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根

據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解.

14.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A(-2,3),8(3,4)為圓心，以1,3為半徑作A,

8MN分別是A,B上的動(dòng)點(diǎn)尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)則向W+PN的最小值等于.

【答案】774-4

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中作出B關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C，并作出點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱

點(diǎn)點(diǎn)0,并連接尸。,AM,QC,AC.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定尸。=PN,再根據(jù)圖示應(yīng)用兩

點(diǎn)之間，線段最短可得AM+尸M+PQ+QOAC,通過等價(jià)代換和變形可得

PM+PN>AC-AM-QC,再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理求出/C,,0C的長度即

可求出PM+PN的最小值

【詳解】解：如下圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中作出8關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C,并作出點(diǎn)

N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)。，并連接尸

■，-c是半徑為3的「8關(guān)于X軸對(duì)稱的圓，且3(3,4),

.C(3T),0c=3.

?.點(diǎn)。是點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，

:.PQ=PN.

:.PM+PN=PM+PQ.

根據(jù)圖示可以看出4M+PM+PQ+QC2AC.

；,PM+PQ>AC-AM-QC,gpPM+PN>AC-AM-QC.

：A(-2,3),A的半徑是1,

AC=J(-2-3)2+[3-(-4)]2=V74,AM=\.

：.AC-AM-QC=y/14-4.

:.PM+PNN屈-4.

故答案為：>/74-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的綜合問題，圓的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，勾股定理，綜合

應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

三、解答題

15.如圖，A8是圓。的直徑，AB=6,。是半圓A￡>8上的一點(diǎn)，C是弧8。的中點(diǎn).

(1)若/45。=30°,求BC的長和由弦8c、8。和弧CD圍成的圖形面積；

(2)若弧AO的度數(shù)是120度，在半徑。8上是否存在點(diǎn)P,使得尸C+PQ的值最小，如果

存在，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中面出P的位置，并求產(chǎn)C+尸。的最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y;(2)存在，畫圖見解析，廝工

【分析】(1)先根據(jù)題意得出8平行于A8,然后把要求的面積通過平行線夾的三角形面

積相等轉(zhuǎn)化為扇形。OC的面積，即可得到答案，利用等邊三角形的性質(zhì)即可求出8C;

(2)首先根據(jù)軸對(duì)稱性得出尸的位置，然后利用已知120度和等弧所對(duì)的圓心角相等得出

角度，最后構(gòu)造直角三角形求解.

【詳解】解：(1)如圖1,

連接。。，CO,CD,

.ZABD=30°,

.\AAOD=60°,

ZDOB=180°-ZAOD=120°,

C是弧的中點(diǎn)，

:.4DOC=/COB=8)。,

OC=OD,OC=OB,

;.NOCD=/ODC=60。,BC=OC=OB=3,

:.ZDCO^Z.COB,

..DC//AB,

SM)CB=^SDOC

n/rr260?乃?3?

??所求面積=s崩形0c

圖1

(2)如圖2.點(diǎn)P即為所求；

連接0。,OC,

400=120。，

/.ZDOB=60°,

C為弧BD的中點(diǎn)，

:.^DOC=ACOB=3(T,

過點(diǎn)。作C7V_LAB,

13

「?CN=-OC=-,

22'

ON=VOC2-CN2=30ON=-joC2-CN1==g

2

OD^OC,^DHO=ZCPO=90P,NODH=ZCOP,

.-.AOO//SAOCP,

:.DH=D'H=ON=-y{3OH=CN=-

22，

NH=ON-OH=-y/3--

22'

CM^NH=-^3--

22'

D'M=D'H+MH=DH+MH=^-j3+^,

.,.PC+TY)的最小值為CD'=JCM2+MD°=gJ+3.

D

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合知識(shí)和軸對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)(將軍驛馬問題),充分利用轉(zhuǎn)化思

想和熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

16.問題情境：如圖1,P是0。外的一點(diǎn)，直線PO分別交。O于點(diǎn)/,8,則PA是點(diǎn)P

到。。上的點(diǎn)的最短距離.

(1)探究證明：如圖2,在。。上任取一點(diǎn)C(不與點(diǎn)4,8重合)，連接PC,OC.求證：

PA<PC.

(2)直接應(yīng)用：如圖3，在RtzUBC中，zACB=90°,AC=BC=3，以8c為直徑的半圓交

于。，P是弧8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接/P,則AP的最小值是.