北師大七年級下冊數(shù)學(xué)期末綜合復(fù)習(xí)拔高訓(xùn)練專題三 動點綜合問題(有答案)

專題三動點綜合問題考點一：利用等腰三角形或直角三角形的特殊性質(zhì)求解動點問題例1.（2013?白城校級模擬）在△ABC中，AB=AC，點D是線段BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，如果∠BAC=90°，則∠BCE=90°；（2）如圖2，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．當(dāng)點D在線段BC上移動時，請寫出α，β之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．解：α+β=180°．證明如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，∴∠CAE=∠BAD．在△ABD和△ACE中AB＝AC∠BAD＝∠CAEAD＝AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠BCE=180°，即α+β=180°．【針對訓(xùn)練】1.（2015深二外期末）如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？解：（1）經(jīng)過1秒后，BP=3，CQ=3，CP=5，已知△ABC中，AB＝AC,∴∠B=∠C.在△BPD與△CQP中，BD=CP,∠B=∠C,BP=CQ,∴△BPD≌△CQP（SAS）.

（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，則BP≠CQ.

∴要使△BPD與△CQP全等，必須BP=CP，BD=CQ.

設(shè)點Q的運動速度為x厘米/秒，依據(jù)時間相等，得方程4÷3＝5÷x，x=3.75

∴當(dāng)點Q的運動速度為3.75厘米/秒時，能夠使△BPD與△CQP全等。已知，△ABC是邊長3cm的等邊三角形．動點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動．

（1）如圖1，設(shè)點P的運動時間為t（s），那么t=（）時，△PBC是直角三角形；

（2）如圖2，若另一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)．設(shè)運動時間為t（s），那么t為何值時，△PBQ是直角三角形？

（3）如圖3，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)．設(shè)運動時間為t（s），那么t為何值時，△DCQ是等腰三角形？

（4）如圖4，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動．連接PQ交AC于D，連接PC．如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)．請你猜想：在點P、Q的運動過程中，△PCD和△QCD的面積有什么關(guān)系？并說明理由．

解：（1）當(dāng)△PBC是直角三角形時，∠B=60°，

∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，所以t=1.5s

（2）當(dāng)∠BPQ=90°時，BP=0.5BQ，

3-t=0.5t，所以t=2；

當(dāng)∠BQP=90°時，BP=2BQ，

3-t=2t，所以t=1；

所以t=1或2（s）

（3）因為∠DCQ=120°，當(dāng)△DCQ是等腰三角形時，CD=CQ，

所以∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，

又因為∠A=60°，

所以AD=2AP，2t+t=3，

解得t=1（s）

（4）相等，如圖所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延長線，則PE∥QG，

所以，∠G=∠AEP，

所以△EAP≌△GCQ（AAS），

所以PE=QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面積相等．2.已知等邊三角形△ABC，（1）動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，連接CP、AQ交于M。（1）如果動點P、Q都以相同的速度同時出發(fā)，則∠AMP=60度。（2）若動點P、Q繼續(xù)運動，分別沿射線AB、BC方向運動，∠AMP=60°的結(jié)論還成立嗎？

考點二：利用全等三角形的對應(yīng)邊成相等、對應(yīng)角相等求解動點問題例2.（寶安中學(xué)）如圖所示，等邊△ABC中，高線AD＝6，點P從點A出發(fā)，沿著AD運動到點D停止，以CP為邊向左下方作等邊△CPQ，連接BQ，DQ．（1）請說明：△ACP≌△BCQ； （2）在點P的運動過程中，當(dāng)△BDQ是等腰三角形時，求∠BDQ的度數(shù)． 【針對訓(xùn)練】1.如圖,等邊△ABC中,CD∥AB,P為邊BC上一點,Q為直線CD上一點,連接AP、PQ,使得∠APQ=∠BAC.(1)①如圖1,探索∠PAC與∠PQC的數(shù)量關(guān)系并證明;②如圖1,求證:AP=PQ;(2)如圖2,若將“等邊△ABC”改為“等腰直角△ABC(AB=AC)”,其他條件不變,求證:AP=PQ;(3)如圖3,若繼續(xù)將“等腰直角△ABC”改為“等腰△ABC(AB=AC)”,其他條件不變,(2)中的結(jié)論是否正確?若正確,請你給出證明;若不正確,請你說明理由.考點三：動點問題的最值與定值問題例3．閱讀課本材料，解答后面的問題：折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（圖1），怎樣證明∠C＞∠B呢？把AC沿∠A的平分線AD翻折，因為AB＞AC，所以，點C落在AB上的點C′處（圖2）．于是，由∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．在△ABC中，∠B＝2∠C，點D為線段BC上一動點，當(dāng)AD滿足某種條件時，探討在線段AB、BD、CD、AC四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系．1.如圖3，當(dāng)AD⊥BC，求證：AB+BD＝DC；2.如圖4，當(dāng)AD是∠BAC的角平分線，寫出AB、BD、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【針對訓(xùn)練】1、如圖，在等腰△ACB中，AC＝BC＝5，AB＝8，D為底邊AB上一動點（不與點A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE＋DF＝4.8（等面積法可得）．2.如圖，在等邊的頂點A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以每分鐘1各單位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點時，另一只也停止運動，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D,E處，請問（1）在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎？（2）若蝸牛沿著AB和CA的延長線爬行，EB與CD交于點Q，其他條件不變，如圖（2）所示，蝸牛爬行過程中角CQE的大小條件不變，求證：角CQE=60°（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，則爬行過程中，DF始終等于EF是否正確3.如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC.

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形DEFG繞D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使E點落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC.你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.考點四：動點問題的面積問題例4.如圖,長方形ABCD中,AB=4,BC=9,動點Q沿著C→D→A→B的方向運動至點B停止,設(shè)點Q運動的路程為x,△QCB的面積為y.(1)當(dāng)點Q在CD上運動時,求y與x的關(guān)系式;(2)當(dāng)點Q在AD上運動時,△QCB的面積是否發(fā)生變化,請說明理由;(3)當(dāng)點Q運動到AB上時,△QCB的面積是否發(fā)生變化,如果發(fā)生變化求出面積變化范圍,并寫出y與x的關(guān)系式,如果沒有發(fā)生變化,求出此時△QCB的面積.【針對訓(xùn)練】1.如圖，在長方形ABCD中，AB＝6厘米，AD＝8厘米．延長BC到點E，使CE＝3厘米，連接DE．動點P從B點出發(fā)，以2厘米/秒的速度向終點C勻速運動，連接DP．設(shè)運動時間為t秒，解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，△PCD為等腰直角三角形？（2）設(shè)△PCD的面積為S（平方厘米），試確定S與t的關(guān)系式；（3）當(dāng)t為何值時，△PCD的面積為長方形ABCD面積的四分之一？（4）若動點P從點B出發(fā)，以2厘米/秒的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，是否存在某一時刻t，使△ABP和△DCE全等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．2.(2016春?深圳期末)如圖，已知正方形ABCD的邊長為6,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,點P為正方形ABCD邊上的動點,動點P從點A出發(fā),沿著A→B→C→D運動到D點時停止,設(shè)點P經(jīng)過的路程為x,△APD的面積為y.(1)如圖2,當(dāng)x=2時,y=;(2)如圖3,當(dāng)點P在邊BC上運動時,y=;(3)當(dāng)時,求x的值;(4)當(dāng)點P在邊BC上運動時,是否存在點P,使得△APD的周長最小?