2021-2022學(xué)年浙江省湖州市泗安中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年浙江省湖州市泗安中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖是一臺(tái)微波爐的操作界面.若一個(gè)兩歲小孩觸碰五個(gè)按鈕是等可能的，則他不超過(guò)兩次按鈕啟動(dòng)微波爐的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）（x∈R），下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為πB．函數(shù)f（x）是偶函數(shù)C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上是增函數(shù)參考答案：C【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的對(duì)稱性．【分析】函數(shù)=﹣cos2x分別求出的周期、奇偶性、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心，可得A、B、D都正確，C錯(cuò)誤．【解答】解：對(duì)于函數(shù)=﹣cos2x，它的周期等于，故A正確．由于f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故B正確．令，則=0，故f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤．由于0≤x≤，則0≤2x≤π，由于函數(shù)y=cost在[0，π]上單調(diào)遞減故y=﹣cost在[0，π]上單調(diào)遞增，故D正確．故選C．3.已知，為虛數(shù)單位，且，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C4.（2015?上海模擬）某流程圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個(gè)函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是（）A．f（x）=x2B．C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】：選擇結(jié)構(gòu)．【專題】：壓軸題；圖表型．【分析】：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出滿足條件①f（x）+f（﹣x）=0，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)②f（x）存在零點(diǎn)，即函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)．逐一分析四個(gè)答案中給出的函數(shù)的性質(zhì)，不難得到正確答案．解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=x2，D：f（x）=不是奇函數(shù)，故不滿足條件①又∵B：的函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)，故不滿足條件②而C：既是奇函數(shù)，而且函數(shù)圖象與x也有交點(diǎn)，故C：f（x）=sinx符合輸出的條件故答案為C．【點(diǎn)評(píng)】：根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．5.已知向量、不共線，,如果，那么

A．且與同向

B．且與反向

C．且與同向

D．且與反向參考答案：D6.已知全集，集合，，則?U（A∪B）＝ （） A．（－∞，1）

B．（1，＋∞）

C．（－∞，1]

D．[1，＋∞）參考答案：B略7.設(shè)，是兩個(gè)非零向量，則“?＜0”是“，夾角為鈍角”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：根據(jù)向量數(shù)量積的意義以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解答：解：若，夾角為鈍角，則，則cosθ＜0，則?＜0成立，當(dāng)θ=π時(shí)，?=﹣||?||＜0成立，但“，夾角為鈍角”不成立，故“?＜0”是“，夾角為鈍角”的必要不充分條件，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)向量數(shù)量積與向量夾角之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8.如果以原點(diǎn)為圓心的圓必經(jīng)過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，而且被該雙曲線的右準(zhǔn)線分成弧長(zhǎng)為2:1的兩段圓弧，那么該雙曲線的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：C9.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A． B． C．﹣1 D．1參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)得答案．【解答】解：∵=，∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為﹣i，虛部為﹣1．故選：C．10.與雙曲線有共同的漸近線,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣3,2)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是()A.1 B.2 C.4 D.8參考答案：B【分析】由題意首先求得雙曲線方程，據(jù)此可確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式可得雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入雙曲線方程，解得.從而所求雙曲線方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,一條漸近線方程為，即4x-3y=0，所以焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查共焦點(diǎn)雙曲線方程的求解，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程的求解，點(diǎn)到直線距離公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知單位向量，的夾角為60°，則__________參考答案：12.已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°，若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為__________．參考答案：8π如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.

13.書眉如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，平面過(guò)棱AB，且CD∥α，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積是.參考答案：答案：解析：此時(shí)正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，故面積為。14.若函數(shù)稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，則必存在常數(shù)a，b，使得對(duì)定義域的任意x值，均有，已知為準(zhǔn)奇函數(shù)”，則a＋b＝_________。參考答案：2.【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的關(guān)系式，找到函數(shù)f（x）的對(duì)稱點(diǎn)，即可得到結(jié)論．【詳解】由知“準(zhǔn)奇函數(shù)”關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；因?yàn)?關(guān)于對(duì)稱，所以，，.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和應(yīng)用，考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性的表示方式，屬于基礎(chǔ)題．

15.已知函數(shù)，給出如命題：①是偶函數(shù)；②在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，恒成立；其中正確的命題序號(hào)是__________.參考答案：①④略16.正三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則當(dāng)該棱柱體積最大時(shí)，高

。參考答案：根據(jù)對(duì)稱性可知，球心位于正三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)上。設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則，所以,所以高，由得，即正三棱柱底面邊長(zhǎng)的取值范圍是。三棱柱的體積為,,即體積,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)高。17.已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，線段與拋物線的交點(diǎn)為，過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為．若，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知且.設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在銳角中，，邊，求周長(zhǎng)的最大值.參考答案：（1）因?yàn)?，所以，所?

……4分（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?

………6分又，由正弦定理知，，得，所以，，所以得周長(zhǎng)為=.

………………10分因?yàn)?，所以，則，所以，所以周長(zhǎng)的最大值為

…………………12分19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA．

（Ⅰ）證明PC∥平面EBD；

（Ⅱ）求二面角A—BE—D的正切值．

參考答案：（Ⅰ）證明：連接AC交BD于G，連接EG，

∵，又，

∴，∴PC∥EG，

又EG平面EBD，PC平面EBD，∴PC∥平面EBD.……………

6分

（Ⅱ）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵

AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.作AH⊥BE于H，連接DH，則DH⊥BE，∴∠AHD是二面角A—BE—D的平面角.在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=，由△ABE的面積得：AH=，∴

tan∠AHD==，故二面角A—BE—D的正切值為.

………………

12分20.已知函數(shù)，(Ⅰ)求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；(Ⅱ)求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，均有；

(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí)，過(guò)點(diǎn)(1，是否存在函數(shù)y=f(x)的圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說(shuō)明理由參考答案：解析：(Ⅰ)∵f(x)=lnax－=lnax－1+，∴f′(x)=

－=

(1)當(dāng)a＞0時(shí)，定義域={x|x＞0}，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)上是單調(diào)減函數(shù)，在(1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而[f(x)]min=f(1)=lna(2)當(dāng)a＜0時(shí)，定義域{x|x＜0}，∴在定義域內(nèi)恒有f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是單調(diào)減函數(shù)，無(wú)最值.

(Ⅱ)取a=1，由(Ⅰ)知f(x)=lnx－的最小值為0，∴l(xiāng)nx－≥0，∴≥1－lnx，∴1+++…+≥n－(ln1+ln2+…+lnn)=n－lnn!=ln

(3)設(shè)切線存在，且切點(diǎn)為T(x0，lnx0－)，∴切線方程為y+1=(－)(x－1)∵切點(diǎn)為T(x0，lnx0－)，∴l(xiāng)nx0－+1=(－)(x0－1)∴l(xiāng)nx0+－－1=0

①設(shè)h(x)=lnx+－－1，∴h′(x)=－+=，∵x＞0，∴h(x)在(0，1)，(2，+∞)內(nèi)遞增，在(1，2)內(nèi)遞減.∴[h(x)]極大值=h(1)=1＞0，[h(x)]極小值=h(2)=ln2+＞0又h(x)=－∞，h(x)=+∞∴方程①有且只有一個(gè)解，故有且只有一條21.（本小題滿分12分）已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試，現(xiàn)學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績(jī)拉樣統(tǒng)計(jì)，先將800人按001,002，…,800進(jìn)行編號(hào)。（1）如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀，請(qǐng)你依次寫出最先檢測(cè)的3個(gè)人的編號(hào)；（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽取取100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚撼煽?jī)分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí)，橫向、縱向分別表示地理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)，例如：表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榱己玫墓灿?0＋18＋4＝42人，若在該樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率為30%，求a，b的值。（3）在地理成績(jī)?yōu)榧案竦膶W(xué)生中，已知，求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率。參考答案：（1）785,667,199,（2）,（3）試題分析：（1）因?yàn)閺牡?行第7列的數(shù)開始向右讀，每三個(gè)數(shù)依次為785,916,955,667,199,,其中編號(hào)在001,002，…,800中依次為785,667,199.（2）因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率為30%，所以數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為30，因此又總?cè)藬?shù)為100，因此，即.（3）因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為100，因此.又，所以滿足條件的有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14組，在地理成績(jī)?yōu)榧案竦膶W(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少滿足有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6組.所求概率為.試題解析：解：（1）依題意，最先檢測(cè)的3個(gè)人的編號(hào)依次為785,667,199；

…………3分22.設(shè)遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知，且．（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和為Sn；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn