高中數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

PAGE數(shù)學(xué)歸納法第一課時【教學(xué)設(shè)計】一、教材分析數(shù)學(xué)歸納法是人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書選修2-2第2章第三小節(jié)的內(nèi)容，此前學(xué)生剛學(xué)習(xí)了合情推理，合情推理用的是不完全歸納法，結(jié)論的正確性有待證明。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，深化不等式、數(shù)列等知識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有重要作用。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)分為兩課時，此為第一課時。二、教學(xué)重點難點：教學(xué)重點：了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的基本步驟；教學(xué)難點：正確理解第二步遞推思想的實質(zhì)。三、目標(biāo)分析1.知識與技能：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和實質(zhì)，并能初步運(yùn)用。2.過程與方法：學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，提高創(chuàng)新能力。3.情感、態(tài)度與價值觀：在愉悅的學(xué)習(xí)氛圍中，通過理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。三、教學(xué)方法:類比啟發(fā)探究的數(shù)學(xué)方法四、教學(xué)手段:媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材輔助課堂教學(xué)五、教學(xué)過程1.新課引入(1)不完全歸納法引例：明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個笑話：一個財主請了一位老師教兒子識字。第一天老師教寫“一”字，財主的兒子很快學(xué)會了，并且記住了“一”字就是“一橫”。第二天老師教寫“二”字，財主的兒子又很快就學(xué)會了，并且記住了“二”字就是“兩橫”。第三天老師教寫“三”字，財主的兒子也很快學(xué)會了，并且記住了“三”字就是“三橫”。財主的兒子馬上請父親辭退老師，說他已經(jīng)學(xué)會寫字了。過了幾天，財主要請一位姓萬的朋友到家里做客，讓兒子寫請?zhí)?。孩子在書房里待了一天還沒出來。財主問兒子：“你寫好了嗎？”兒子嘆了口氣說：“這萬字也太難寫，我寫了一天才寫完三千，離萬還差得遠(yuǎn)呢！”財主很奇怪，湊近一看，桌上一張張紙上全寫滿了密密麻麻的“一”。財主當(dāng)場氣暈了過去。這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的．(2)完全歸納法對比引例：華羅庚的“摸球?qū)嶒灐保哼@里有一盒筆共12支，我們要判斷這一盒筆是紅色，還是黑色，請問怎么判斷？方法一：把它全部倒出來看一看．特點：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．

方法二：一個一個拿，拿一個看一個．特點：有順序，有過程．但是如果盒子有足夠大容量，筆也無限多的話，要判斷這一盒筆是紅色，還是黑色，上述方法是不可行的，這就需要提出一個新的解決辦法。設(shè)計意圖及要點:在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報，用的就是歸納法．這些歸納法卻不能用完全歸納法．從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)一步體會歸納意識，同時讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實早已接觸過歸納．2、引導(dǎo)猜想數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程猜想過程如下：設(shè)計意圖及要點：舊知識產(chǎn)生新問題，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，點評指出：為了證明此類與正整數(shù)有關(guān)的問題，我們需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法3、引入多米諾骨牌模型，并用課件演示：請學(xué)生觀看后思考：多米諾骨牌為什么能全部倒下，對其擺放和操作有什么具體要求。提出假設(shè)：如果第一個骨牌推而不倒，骨牌能否全部倒下；若中間有一個骨牌發(fā)生意外沒有倒下，情況又會怎么樣？從而得到骨牌要全部倒下依賴兩個條件：一、第一張骨牌被推倒。二、假如某一張牌倒下,則它的后一張牌必定倒下。如此，骨牌就會全部倒下。要證明等差數(shù)列通項公式的正確性，即證明對所有正整數(shù)n命題都成立，而要使得骨牌全部倒下，則需要每一張骨牌都要倒下。他們存在著相似點，若用第一張骨牌倒下對應(yīng)n=1時命題成立，用第二張骨牌倒下對應(yīng)n=2時命題成立，以此類推，當(dāng)骨牌全部倒下時，命題對所有的n成立。于是多米諾骨牌模型數(shù)用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：要證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題成立：可以分兩步進(jìn)行，一、證明n=1時命題成立；二、假設(shè)n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也成立。從而命題對所有正整數(shù)n都成立。教師指出這種證明問題的方法就是數(shù)學(xué)歸納法，并板書數(shù)學(xué)歸納法的定義。設(shè)計意圖及要點：從實際事實中提出一般規(guī)律，用得到的規(guī)律來解決實際問題，使學(xué)生的思維一直處于高度活躍狀態(tài)，通過類比推理，有利于學(xué)生理解。如此通過動腦、動畫，形象展示遞推關(guān)系，分解第二步，為突破教學(xué)難點提供直觀依據(jù)。4、新課學(xué)習(xí)一請學(xué)生閱讀課本并思考問題：一（1）、用數(shù)學(xué)歸納法來證明問題需要幾個步驟？這些步驟能否缺少？為什么？（2）、數(shù)學(xué)歸納法是如何解決無限這一難點的？（3）、數(shù)學(xué)歸納法的第二步是假設(shè)n=k時命題成立，在去證明n=k+1時命題成立，既然是假設(shè)，為什么可以用?然后教師引導(dǎo)回答問題：數(shù)學(xué)歸納法的核心是遞推思想，一般為2步1結(jié)論模式。其中，步驟一是歸納奠基，是遞推的基礎(chǔ)，沒有了步驟一我們的證明猶如空中樓閣。步驟二是歸納推理，是步驟一的延續(xù)，是結(jié)論正確的依據(jù)，沒有了步驟二，我們的證明過程就是不完全歸納法，2個步驟缺1不可。有了2以后，我們就把動態(tài)的無限驗證過程變成了靜態(tài)的兩步證明法。設(shè)計意圖及要點：培養(yǎng)學(xué)生良好的自學(xué)習(xí)慣，提高學(xué)生獨立分析和解決問題的能力。同時，利用自學(xué)時間，教師巡視和對思維暫時受挫的學(xué)生進(jìn)行個別指導(dǎo)，使他們的問題得以解決，提高課堂教學(xué)的有效性。5、例題講解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：解析過程：設(shè)計意圖：例1比較基礎(chǔ)，目的是讓學(xué)生熟悉用數(shù)學(xué)歸納法來證明問題的兩個步驟，另一方面向?qū)W生介紹在第二步中根據(jù)數(shù)列的定義來應(yīng)用歸納假設(shè)的方法。證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(1)證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈，k≥)時結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確．完成這兩個步驟后,就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確．設(shè)計意圖及意圖：課本例題與例1的證明差不多，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習(xí)，這樣既考慮到學(xué)生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點．學(xué)生雖然知道第二步中一定要用歸納假設(shè)，但是對于該如何運(yùn)用存在困難。目的是加深學(xué)生對第二步遞推思想的理解。六、小結(jié)：(1)本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；(3)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想．七、作業(yè)：課本96頁A組1-2，B組1-2；八、板書設(shè)計主題：基本概念：注意事項：多媒體投影例1、例2、學(xué)生板演學(xué)情分析1、本節(jié)課有兩個難點：一是正確理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和實質(zhì)；二是構(gòu)建用數(shù)學(xué)歸納法來解題的正確模式。2、學(xué)生的情況分析：知識方面：學(xué)生對等差（比）數(shù)列、數(shù)列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，同時也具備一定的從特殊到一般的歸納能力，但對歸納的概念是模糊的。能力方面：對數(shù)學(xué)語言的抽象性的理解和把握高于低年級的學(xué)生，思維方法向理性層次躍進(jìn)，并逐步形成了辨證思維體系，但層次參差不齊。在學(xué)生明確本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，伴隨著課堂進(jìn)程的推進(jìn)，學(xué)生除了掌握相應(yīng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，還要檢查、分析自己的學(xué)習(xí)過程，對如何學(xué)、如何鞏固，進(jìn)行自我檢查、自我校正、自我評價。對個別基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生難度較大。3、通過第二節(jié)課的跟蹤檢查和課后習(xí)題的反饋情況來看，達(dá)到了預(yù)期的效果。效果分析根據(jù)本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定來看，本節(jié)課順利的使學(xué)生了解了“完全歸納法”和“不完全歸納法”。多米諾骨牌游戲的展示使學(xué)生很自然的總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學(xué)生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展。典例探究中的類型一的細(xì)致講解和分析也達(dá)到了預(yù)期效果。老師設(shè)計的小問題也有不少同學(xué)順利的解決。類型二由于證明部分與類型一一致，僅強(qiáng)調(diào)了“歸納—猜想”的過程。通過當(dāng)堂反饋反映出學(xué)生能很好的掌握本節(jié)課的內(nèi)容，但對一些較靈活的問題存在一定難度。教材分析1、數(shù)學(xué)歸納法在教材中的內(nèi)容：數(shù)學(xué)歸納法是人教社全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)選修2-2第二章第3節(jié)的內(nèi)容，根據(jù)課標(biāo)要求，本書該節(jié)共2課時，這是第1課時，其主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法的原理及其應(yīng)用。2、數(shù)學(xué)歸納法在教材中的地位作用：在已經(jīng)學(xué)習(xí)了不完全歸納法的基礎(chǔ)上，介紹了數(shù)學(xué)歸納法，它是一種用于關(guān)于正整數(shù)命題的直接證法。教材通過剖析生活實例中蘊(yùn)含的思維過程揭示數(shù)學(xué)思想方法，即借助“多米諾骨牌”的設(shè)計思想，揭示數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個條件及它們之間的關(guān)系。3、本節(jié)課的中心：本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法。數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一個結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想．4、本節(jié)課的重點和難點：重點:借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；難點：學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想品質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。5、目標(biāo)分析：知識目標(biāo)：理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含義和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的三個步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的恒等式。能力目標(biāo)：初步掌握歸納與推理的能力；在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識和數(shù)學(xué)交流的能力。情感目標(biāo)：通過對問題的探究活動，親歷知識的構(gòu)建過程，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和辨證唯物主義觀點；體驗探索中挫折的艱辛和成功的快樂，感悟“數(shù)學(xué)美”，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，初步形成正確的數(shù)學(xué)觀，創(chuàng)新意識和科學(xué)精神。數(shù)學(xué)歸納法課后鞏固練習(xí)一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)時，第一步應(yīng)驗證不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜32．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在驗證n＝1時，左邊所得的項為()A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a33．設(shè)f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.eq\f(1,2n＋1)B.eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)D.eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)4．某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時該命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時，該命題不成立，那么可推得()A．當(dāng)n＝6時該命題不成立B．當(dāng)n＝6時該命題成立C．當(dāng)n＝4時該命題不成立D．當(dāng)n＝4時該命題成立5．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的證明時，正確的證法是()A．假設(shè)n＝k(k∈N*)，證明n＝k＋1時命題也成立B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1時命題也成立C．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2時命題也成立D．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N)，證明n＝k＋1時命題也成立6．凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n＋1邊形對角線的條數(shù)f(n＋1)為()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－27．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對一切n∈N*，都有2n>n2－2”這一命題，證明過程中應(yīng)驗證()A．n＝1時命題成立B．n＝1，n＝2時命題成立C．n＝3時命題成立D．n＝1，n＝2，n＝3時命題成立8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A．30B．26C．36D．69．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2、a3、a4，猜想an＝()A.eq\f(2,(n＋1)2)B.eq\f(2,n(n＋1))C.eq\f(2,2n－1)D.eq\f(2,2n－1)10．對于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N＋)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n＝1時，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，則n＝k＋1時，eq\r((k＋1)2＋(k＋1))＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r((k2＋3k＋2)＋(k＋2))＝eq\r((k＋2)2)＝(k＋1)＋1，∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立，上述證法()A．過程全都正確B．n＝1驗證不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確二、填空題11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”時，第一步的驗證為________．12．已知數(shù)列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…，eq\f(1,n(n＋1))，通過計算得S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，由此可猜測Sn＝________.13．對任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________.14．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.(1)當(dāng)n0＝________時，左邊＝____________，右邊＝______________；當(dāng)n＝k時，等式左邊共有___________項，第(k－1)項是_____________．(2)假設(shè)n＝k時命題成立，即_______________________成立．(3)當(dāng)n＝k＋1時，命題的形式是_________________；此時，左邊增加的項為______________________．三、解答題15．求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．16．求證：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n－2,2)(n≥2)．17．在平面內(nèi)有n條直線，其中每兩條直線相交于一點，并且每三條直線都不相交于同一點．求證：這n條直線將它們所在的平面分成eq\f(n2＋n＋2,2)個區(qū)域．18．試比較2n＋2與n2的大小(n∈N*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論． 教學(xué)反思1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點不僅僅是方法的應(yīng)用。我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練。為此，我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來。這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)。2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學(xué)生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展．3.不足之處：在具體的實施過程，依舊碰到了許多困難，如：學(xué)生的個體差異