第四章 控制系統(tǒng)的頻率特性

第四章控制系統(tǒng)的頻率特性第一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五§4-1頻率特性的基本概念§4-2頻率響應的極坐標圖（乃氏圖）§4-3頻率響應的對數(shù)坐標圖（伯德圖）§4-4由頻率特性曲線求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)§4-5由單位脈沖響應求系統(tǒng)的頻率特性§4-6控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻響例題分析課后習題第二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理§4-1頻率特性的基本概念一·頻率特性概述對于一般線性系統(tǒng)，當輸入正弦信號時，其輸出穩(wěn)定后同樣也是與輸入同頻率的正弦信號。當輸入信號幅值不變時，其輸出幅值和相位一般也是隨頻率變化而變化的。第三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理當輸入為非正弦的周期信號時，可用傅立葉級數(shù)展開，其輸入為相應的正弦波的疊加。頻域法的數(shù)學基礎是傅立葉變換。傅立葉正變換式傅立葉反變換式時域變頻域頻域變時域第四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理除了積分下限不同外，只要將s換成jw，就可將已知的拉氏變換式變成相應的傅氏變換式。這里討論的頻率特性也就是將拉氏變換G(s)中的s直接換成jw變成G(jw)。傳遞函數(shù)G(s)S=jw頻率特性G(jw)注：系統(tǒng)頻率特性分析法是一種用“穩(wěn)態(tài)”的方法（即輸出穩(wěn)態(tài)時的正弦信號，不考慮過度過程）來分析系統(tǒng)的動態(tài)特性（穩(wěn)，準，快）第五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理二·頻率特性的一些概念幅頻特性相頻特性顯然第六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理描述系統(tǒng)正弦輸出信號有三個關鍵參數(shù)——頻率，幅值和相位角。如果傳遞函數(shù)由幾個環(huán)節(jié)組成，例如則即多環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的幅頻特性是各環(huán)節(jié)模的乘積，相頻特性是各環(huán)節(jié)相位角之和。第七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理§4-2頻率響應的極坐標圖（乃氏圖）頻率響應G(jw)是輸入頻率w的復變函數(shù)，是一種變換，當w從0逐漸增長至時，G(jw)作為一個矢量，其端點在復平面相對應的軌跡就是頻率響應的極坐標圖，亦叫做乃氏圖（Nyquist曲線）一·乃氏圖的一般作圖法1·寫出和表達式；2·分別求出和時的；3·求乃氏圖與實軸的交點，交點可利用或的關系式求出；4·求乃氏圖與虛軸的交點，交點可利用或的關系式求出；5·必要時畫出乃氏圖中間幾點，勾畫出大致曲線。第八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理二·典型環(huán)節(jié)的乃氏圖1·放大環(huán)節(jié)的乃氏圖2·積分環(huán)節(jié)的乃氏圖第九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

3·微分環(huán)節(jié)的乃氏圖第十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

4·慣性環(huán)節(jié)的乃氏圖慣性環(huán)節(jié)的乃氏圖是圓心在半徑為1/2的園第十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理5·二階振蕩環(huán)節(jié)第十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

6·延遲環(huán)節(jié)顯然其乃氏圖是單位圓第十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

三·一般線性定常系統(tǒng)乃氏圖的規(guī)律當時，稱該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)；當時，稱該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)；當時，稱該系統(tǒng)為2型系統(tǒng)…第十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

(1),低頻段：0型系統(tǒng)的乃氏圖始于始于正實軸的有限值處（K,0)；

1型系統(tǒng)始于相角為-90度的無窮遠處；

2型系統(tǒng)始于相角為-180度的無窮遠處；……(2),高頻段：一般系統(tǒng)分母的階次大于分子的階次，n>m,故乃氏圖當時終于原點處；當n=m時，乃氏圖曲線終于實軸上的有限值(3),加極點使系統(tǒng)相角滯后，加零點使系統(tǒng)相角超前。第十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理2、舉例例1

某0型單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解：由于慣性環(huán)節(jié)的角度變化為～-900，故該系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線中起點為：終點為：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性第十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理令，得，即系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線除在處外與實軸無交點。由于、可正可負，故系統(tǒng)幅相曲線在第Ⅳ和第Ⅲ象限內(nèi)變化，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如左圖所示.若取由于非最小相位比例環(huán)節(jié)的相角恒為，故此時系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線由原曲線繞

原點順時針旋轉而得。

第十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理例2

設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性第十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理幅值變化：相角變化：所以的變化為。第十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理乃氏圖的起點：與實軸的交點：令，得，于是系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如下張圖中曲線①所示，圖中虛線為開環(huán)幅相曲線的低頻漸近線。本例中系統(tǒng)型次即開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)個數(shù)，若分別取2、3和4，則根據(jù)積分環(huán)節(jié)的相角，可將圖中曲線分別繞原點旋轉-900，-1800和-2700，即可得開環(huán)概略幅相曲線，如圖所示。第二十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如下圖第二十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理例3已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為起點：終點：與實軸的交點：當時，得

第二十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理變化范圍：時，開環(huán)幅相曲線位于第Ⅲ象限或第Ⅳ與第Ⅲ象限，時，開環(huán)幅相曲線位于第Ⅲ象限與第Ⅱ象限。開環(huán)概略幅相曲線如圖所示。第二十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理§4-3頻率響應的對數(shù)坐標圖（伯德圖）伯德圖是將幅值與頻率的關系和相位與頻率的關系分別畫在兩張圖上，用半對數(shù)坐標紙繪制，頻率坐標按對數(shù)分度，幅值和相角坐標則以線性分度。伯德圖幅值所用的單位為分貝（dB）分貝的定義：在控制學領域，任何一個數(shù)N都可以用分貝值n表示，定義若，則稱從w1到w2為十倍頻程，以“dec.”(decade)表示。第二十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

對于一般線性系統(tǒng)第二十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

顯然，采用伯德圖有如下優(yōu)點：1，合理利用紙張，以有限的紙張空間表示很寬的頻率范圍；2，簡化乘除運算為加減運算；3，頻率特性往往可用折線近似曲線，系統(tǒng)的幅頻特性用組成該系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)的幅頻特性折線疊加使得作圖非常方便。第二十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理一·典型環(huán)節(jié)的伯德圖1·放大環(huán)節(jié)第二十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

2·積分環(huán)節(jié)第二十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理3·慣性環(huán)節(jié)在低頻段，w很小，Tw<<1在高頻段，w很大，Tw>>1注：（1）其幅頻特性的伯德圖可用低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示。（2）近似伯德圖的轉角頻率點是近似幅頻伯德圖誤差最大的點，與精確值大約相差3dB第二十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理4·一階微分環(huán)節(jié)其分析方法與一階慣性環(huán)節(jié)類似第三十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理5·二階振蕩環(huán)節(jié)在低頻段，w很小，Tw<<1在高頻段，w很大，Tw>>1在低頻段，w很小，在高頻段，w很大，在轉角頻率處，第三十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

幅頻特性第三十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

說明：（1）其幅頻特性伯德圖可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示，兩漸近線相交于無阻尼自然頻率。（2）實際曲線隨阻尼比的不同而不同，變小，諧振峰增大，反之增大，諧振峰向左偏移，自振頻率下降。相頻特性第三十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

6·延遲環(huán)節(jié)如果用線性坐標，則延遲環(huán)節(jié)的相頻特性為一條曲線；反之，如果某環(huán)節(jié)的相頻特性在線性坐標上是一條直線，則該環(huán)節(jié)為延遲環(huán)節(jié)。第三十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理二·一般系統(tǒng)伯德圖的作圖方法系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性的伯德圖可由各典型環(huán)節(jié)的幅頻特性伯德圖迭加得到。例如：系統(tǒng)可認為由下列五個典型環(huán)節(jié)組成：第三十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

畫圖步驟：（1）將傳遞函數(shù)分解成典型環(huán)節(jié)并按轉角頻率從小到大排序，計算斜率累加值。（2）過（1，20lgK）點作低頻漸進線，斜率為-20rdB/dec，r為積分因子的個數(shù)。（3）根據(jù)斜率累加值，每遇轉角頻率即改變漸進線斜率，作出幅頻特性。斜率改變?nèi)Q于典型環(huán)節(jié)種類。例如：在G(S)=(Ts+1)±1的環(huán)節(jié)，在ω=1/T處斜率減少±20dB/dec，而在G(S)=()±1的環(huán)節(jié)，在ω=1/T處斜率改變±40dB/dec。（4）用描點連線的方法繪制相頻特性第三十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

第三十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

三·最小相位系統(tǒng)在S右半平面上既無極點，又無零點的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)；否則為非最小相位系統(tǒng)。特點：（1）對于相同階次的基本環(huán)節(jié)，當頻率w從0連續(xù)變化到時，最小相位的基本環(huán)節(jié)造成的相移是最小的。（2）對于最小相位系統(tǒng)，知道了幅頻特性，其相頻特性就唯一確定，而非最小相位系統(tǒng)則不唯一確定。（3）實用的大多數(shù)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，為了簡化工作量，對于最小相位系統(tǒng)的伯德圖，可以只畫幅頻特性。第三十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

第三十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理例：有一最小相位系統(tǒng),其頻率特性為另有一非最小相位系統(tǒng),其頻率特性為

(T2＞T1＞0)很明顯，這兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性是完全相同的,

第四十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

相頻特性不同：前一系統(tǒng)的相角角度變化范圍0°負角度值0°；后一系統(tǒng)的相角角度變化范圍0°-180°。

它們的Bode圖如圖所示。第四十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的伯德圖第四十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的伯德圖。

解將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下典型環(huán)節(jié)乘積形式:第四十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

可見,此系統(tǒng)由一個比例環(huán)節(jié)、一個積分環(huán)節(jié)、一個慣性環(huán)節(jié)、一個一階微分環(huán)節(jié)和一個二階振蕩環(huán)節(jié)組成,且ω1=1.414,ω2=2,ω3=3。20lgK=20lg7.5=17.5。阻尼比=0.354。在確定了各個環(huán)節(jié)的交接頻率和20lgK的值以后,可按下列步驟繪制系統(tǒng)的伯德圖:(1)通過點(1,17.5)畫一條斜率為－20dB/dec的直線,它就是低頻段的漸近線;(2)在ω1=1.414處,將漸近線的斜率從－20dB/dec改為－60dB/dec,這是考慮振蕩環(huán)節(jié)的作用;第四十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

(3)由于慣性環(huán)節(jié)的影響,

在ω2=2處,漸近線斜率改變-20dB/dec,即從原來的－60dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec;(4)在ω3=3處,漸近線的斜率改變+20dB/dec,形成斜率為－60dB/dec的線段,這是由于一階微分環(huán)節(jié)的作用;(5)根據(jù)相頻特性φ(ω),求出若干點的相頻特性曲線角度值,將各點光滑連接,可以繪制系統(tǒng)的相頻特性。開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖所示(虛線為漸近線)。第四十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

第四十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理§4-4由頻率特性曲線求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

實際應用中，有許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象得準確，其傳遞函數(shù)很難用純數(shù)學分析的方法求出。因此可以通過實驗測出系統(tǒng)的頻率特性曲線，進而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。方法與步驟：（1）先看起始段，如是水平線則為0型傳遞函數(shù)，如果-20dB/dec則為1型傳遞函數(shù)，如果-40dB/dec則為2型傳遞函數(shù)······；如果起始段是20dB/dec，則分子有一個s，如果起始段是40dB/dec，分子有，······（2）在w=1處確定傳遞函數(shù)的比例環(huán)節(jié)，如在w=1前處幅頻線有轉折，則利用初始段的延長線與w=1的相交點確定比例環(huán)節(jié)，第四十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

（3）確定幅頻曲線各轉折點（4）確定幅頻曲線每段的斜率。（5）每段斜率每減少-20dB/dec,表示有一個慣性環(huán)節(jié)，每減少-40dB/dec,表示有一個二階振蕩環(huán)節(jié)；每增加+20dB/dec，表示有一個一階微分環(huán)節(jié)，每增加+40dB/dec，表示有一個二階微分環(huán)節(jié)。（6）相頻曲線在高頻處呈現(xiàn)不斷下降的趨勢，則可斷定有延時環(huán)節(jié)，是非最小相位系統(tǒng)。（7）可用相頻曲線校核由幅頻線寫出的傳遞函數(shù)。第四十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理例

已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖-20-40L()1c0試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)為其中，第四十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理§4-5由單位脈沖響應求系統(tǒng)的頻率特性由第三章可知上式說明隱含著幅值相等的各種頻率。如果對某系統(tǒng)輸入一個單位脈沖，則相當于用等強度的所有頻率去激發(fā)系統(tǒng)，系統(tǒng)單位脈沖響應的傅氏變換即為系統(tǒng)的頻率特性。因所以第五十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理為了識別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，我們可以產(chǎn)生一個近似的單位脈沖信號作為系統(tǒng)的輸入，記錄系統(tǒng)響應的曲線g(t),則系統(tǒng)的頻率特性為第五十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

§4-6控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻響一、由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性對于圖示的系統(tǒng),其開環(huán)頻率特性為G(jω)H(jω),第五十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

閉環(huán)頻率特性為因此,已知系統(tǒng)開環(huán)頻率特性,就可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,也就可以繪出閉環(huán)頻率特性曲線。設系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng),即H(jω)=1,則第五十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

一般，實際系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性具有低通濾波的性質(zhì)。所以低頻時|G(jω)|>>1,此時高頻時|G(jω)|<<1,此時所以閉環(huán)對數(shù)幅頻特性圖如圖所示。第五十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

閉環(huán)幅頻特性

第五十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理例

單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

而閉環(huán)傳遞函數(shù)為

用MATLAB繪制其閉環(huán)頻率特性的伯德圖如圖5-38所示，其程序如下：

g1=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));g2=tf(［1］,［1］);sys=feedback(g1,g2)margin(sys)第五十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理第五十七頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理二、頻域性能指標

閉環(huán)系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線第五十八頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

1、截止頻率(帶寬頻率)ωcut

對數(shù)幅頻特性的幅值下降到-3dB時對應的頻率。而0ωb的頻率范圍，稱為系統(tǒng)的帶寬BW。帶寬反映了系統(tǒng)對噪聲的濾波特性,同時也反映了系統(tǒng)的響應速度。帶寬愈大,暫態(tài)響應速度愈快，但易引入噪聲干擾；反之,帶寬愈?。ㄖ挥休^低頻率的信號才易通過），暫態(tài)響應速度愈慢，但抑制高頻干擾能力強。第五十九頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

2、諧振峰值Mr

閉環(huán)幅頻特性的最大值稱為諧振峰值。它反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。一般而言,Mr值愈大,

則系統(tǒng)階躍響應的最大超調(diào)量也愈大。通常希望系統(tǒng)的諧振峰值在1.1~1.4之間,相當于二階系統(tǒng)的為0.4＜＜0.7。

3、諧振頻率ωr

諧振峰值對應的頻率稱為諧振頻率。它在一定程度上反映了系統(tǒng)暫態(tài)響應的速度。ωr愈大,暫態(tài)響應愈快。對于弱阻尼系統(tǒng),ωr與ωb的值很接近。第六十頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理對于二階系統(tǒng),閉環(huán)頻率特性其幅頻特性為由 得諧振頻率ωr為

(0≤≤0.707)第六十一頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理則諧振峰值Mr為

(0≤≤0.707)由，即得截止頻率(帶寬頻率)為(0≤≤0.707)第六十二頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理

以上三式反映了二階閉環(huán)系統(tǒng)頻域性能指標與二階系統(tǒng)參數(shù)n，之間的關系。因此只要給出頻域性能指標中的任意兩個就可以計算出二階系統(tǒng)的參數(shù)n，，從而計算出二階系統(tǒng)的時域性能指標tr、tp、ts等，實現(xiàn)兩類指標之間的轉換。第六十三頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五自動控制原理小結(1)頻率分析法是在頻域內(nèi)應用圖解法分析控制系統(tǒng)性能的一種工程方法，在不求解系統(tǒng)的微分方程情況下可以分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。同時頻率特性可由實驗方法得到，因而它具有重要的工程應用價值。(2)頻率特性是指線性系統(tǒng)在正弦輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比。它和傳遞函數(shù)、微分方程一樣能反映系統(tǒng)的動態(tài)性能，是線性系統(tǒng)又一種形式的數(shù)學模型。(3)對于最小相位系統(tǒng)，由于其幅頻特性和相頻特性之間有著唯一的對應關系，因而可僅根據(jù)其對數(shù)幅頻特性曲線寫出對應系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(4)開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線是控制系統(tǒng)分析和設計的重要工具。開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線的低頻段表征了系統(tǒng)的靜態(tài)特性，中頻段表征了系統(tǒng)的動態(tài)特性，而高頻段則表征了系統(tǒng)動態(tài)響應的起始階段性能及系統(tǒng)的抗干擾能力。第六十四頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五1．已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制對數(shù)幅頻特性漸近線解：第六十五頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五第六十六頁，共七十三頁，編輯于2023年，星期五2．考慮下圖所示閉環(huán)系統(tǒng)及相應Nyquist軌線圖，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定性與k值關系。