第十三章 動能定理

各種運(yùn)動形式存在能量轉(zhuǎn)換和功的關(guān)系，其表現(xiàn)為動能定理，與動量定理和動量矩定理用矢量法研究不同，動能定理從能量角度研究動力學(xué)問題，建立了與運(yùn)動有關(guān)的物理量—動能和作用力的物理量—功之間的聯(lián)系，有時可以方便有效地解決動力學(xué)問題。第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13-1力的功力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。圖13-1，質(zhì)點(diǎn)在常力作用下，力F的功定義為：力的功是代數(shù)量。在國際單位制中，其單位為對變力的功，如圖13-2，質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動。在無限小位移dr中力F視為常力，ds視為直線，力F的功稱為元功，記為dW。則（13-1）或（13-2）第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五力在全路程上作的功為元功之和，即（13-3）則力從M1到M2過程作的功為——（13-4）第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五1．重力的功對質(zhì)點(diǎn)系，重力功為：質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無關(guān)。重力投影：（13-5）第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五2．彈性力的功彈簧原長，在彈性極限內(nèi)，k為剛度系數(shù)，表示彈簧發(fā)生單位變形時所需的力。N/m,N/cm。彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路徑無關(guān)。如圖示則彈性力作的功為（13-7）第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五作用于轉(zhuǎn)動剛體上力的功等于力矩的功。如果作用力偶,則力偶作的功仍可用上式計算

3．定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功、力偶的功設(shè)在繞定軸z軸轉(zhuǎn)動的剛體上A點(diǎn)作用有力F，如圖示，則力F在切線上投影為因為FtR等于力F對軸z的力矩Mz，則轉(zhuǎn)角j與弧s長的關(guān)系為則力F的元功為（13-8）剛體從j1到j(luò)2轉(zhuǎn)動過程中力F作的功為（13-9）第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五4．平面剛體上力系的功剛體上各力作功的代數(shù)和；也等于力系向質(zhì)心簡化所得力與力偶作功之和。簡單證明如下：如圖所示，以剛體質(zhì)心C為基點(diǎn)，當(dāng)剛體有無限小位移時，任一力Fi作用點(diǎn)Mi的位移為力Fi在點(diǎn)Mi位移上所作元功為則力系全部元功之和為（13-10）為主矢，Mc為主矩。剛體質(zhì)心有C1到C2，同時由j1轉(zhuǎn)到j(luò)2角度時，力系作功為（13-11）第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五正壓力N，摩擦力F作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(2)圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功(3)滾動摩擦阻力偶m的功

(1)動滑動摩擦力的功N=常量時,W=–f′NS,與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。若M=常量則*萬有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。*摩擦力的功5．其它常見力作的功第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動能上面第二式為第i個質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心的速度，稱為柯尼希定理動能是因物體運(yùn)動而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動強(qiáng)弱的另一度量。1．質(zhì)點(diǎn)的動能質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動能為2．質(zhì)點(diǎn)系的動能或（1）平移剛體的動能（13-12）（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能（13-13）（3）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能（13-14）第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五§13-3動能定理1．質(zhì)點(diǎn)的動能定理：或即（13-15）積分上式，得或（13-16）上面式（13-15）和（13-16）分別稱為質(zhì)點(diǎn)動能定理的微分形式和積分形式，表明質(zhì)點(diǎn)動能的增量等于質(zhì)點(diǎn)上的力所作的功。第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五2．質(zhì)點(diǎn)系的動能定理對任一質(zhì)點(diǎn)mi，有n個方程相加得到（13-17）或積分上式，得（13-18）上面式（13-17）和（13-16）分別稱為質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式和積分形式，表明質(zhì)點(diǎn)系動能的增量等于該質(zhì)點(diǎn)系上全部力作的功。第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動能定理可寫成以下的形式3．理想約束與內(nèi)力作功約束反力作功為零的約束稱為理想約束。在理想約束下，質(zhì)點(diǎn)系動能的改變只與主動力有關(guān)，式（13-17）和（13-18）中只需要計算主動力所作的功。（1）光滑固定面約束（2）活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等于零。（3）剛體沿固定面作純滾動（4）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）（5）柔索約束（不可伸長的繩索）

拉緊時，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五[例1]圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五解：取系統(tǒng)為研究對象上式求導(dǎo)得：第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五動能定理的應(yīng)用練習(xí)題

1．圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA'，在鉛直位置時的角速度至少應(yīng)為多大？解：研究OA桿由第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五2．行星齒輪傳動機(jī)構(gòu),放在水平面內(nèi)。動齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤；曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動；求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角的函數(shù)表示)和角加速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象根據(jù)動能定理，得將式對t求導(dǎo)數(shù)，得第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五3．兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時，AB桿B端的速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五§13-4功率·功率方程·機(jī)械效率1.功率力在單位時間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個重要指標(biāo)），以P表示。作用于剛體上力的功率：等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積，功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。等于切向力與力作用點(diǎn)速度乘積或（13-20）（13-19）第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五2.功率方程取質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得（13-21）該式為功率方程，即質(zhì)點(diǎn)系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有功率的代數(shù)和。每部機(jī)器的功率可以分為輸出功率、有用功率和無用功率，則或（13-22）第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五顯然：起動階段（加速）：即制動階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即是評定機(jī)器質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一。一般情況下＜１。3.機(jī)械效率有效功率=P有用+，有效功率與輸入功率的比值成為機(jī)械的機(jī)械效率，用h表示。（13-23）對n級傳動系統(tǒng)，總效率為：第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五§13-5勢力場、勢能、機(jī)械能守恒定律若質(zhì)點(diǎn)或物體在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。在力場中,如果作用于質(zhì)點(diǎn)或物體力所作的功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)動軌跡無關(guān)，這種力場稱為勢力場或保守場。重力場、萬有引力場、彈性力場都是勢力場。1．勢力場2．勢能在勢力場中,質(zhì)點(diǎn)從位置M運(yùn)動到任選位置M0,有勢力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在位置M相對于位置M0的勢能，用V表示。（13-24）M0作為基準(zhǔn)位置，勢能為零，稱為零勢能點(diǎn)。勢能具有相對性。第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五*幾種常見的勢能1）.重力場中的勢能（13-25）2）.彈性力場中的勢能（13-26）如取自然位置為零勢能點(diǎn)，則有（13-27）3）.萬有引力場中的勢能：取A0為零勢能點(diǎn)，則選取無窮遠(yuǎn)處為零勢能點(diǎn)（13-28）很顯然，對于不同的零勢能位置，系統(tǒng)的勢能是不相同的，出于方便對常見的重力—彈力系統(tǒng)，一般取其平衡位置為零勢能點(diǎn)。*質(zhì)點(diǎn)系在有勢場中，有勢力的功可通過勢能計算：第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五如圖，由M1經(jīng)M2到達(dá)M0時，有勢力的功為：（13-29）即有勢力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動的始末位置的勢能之差。3．機(jī)械能守恒定律

機(jī)械能：質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時的的動能與勢能的代數(shù)和。由動能定理和有勢力的功可用勢能計算的方法，有如果質(zhì)點(diǎn)系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)，對非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為W12'

,則有上式為機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢力作用下運(yùn)動時，其機(jī)械能保持不變，此類質(zhì)點(diǎn)系稱為保守系統(tǒng)；（13-30）（13-31）第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五*4．勢力場的其它性質(zhì)

1）有勢力在直角坐標(biāo)上的投影等于勢能對該坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號。如圖有勢力F從M到M’作功為（13-32）（13-33）2）在勢力場中，勢能相等的各點(diǎn)構(gòu)成等勢能面，勢能等于零的等勢能面稱為零勢能面，等勢能面不能夠相交。3）有勢力的方向垂直與等勢能面，指向勢能減小的方向。第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五[例1]長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。解：因水平方向不受外力，且初始靜止，質(zhì)心C鉛垂下降。因約束反力不作功,主動力為有勢力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡后得初瞬時：任一瞬時：第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五§14-6動力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量定理、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標(biāo)量形式，他們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動，而動能定理還可以研究其它形式的運(yùn)動能量轉(zhuǎn)化問題。動力學(xué)普遍定理提供了解決動力學(xué)問題的一般方法。動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼?，避開那些無關(guān)的未知量，直接求得需求的結(jié)果。二是對比較復(fù)雜的問題，能根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián)合求解。求解過程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動分析,提供正確的運(yùn)動學(xué)補(bǔ)充方程。

第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五舉例說明動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用：

[例1]兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時的速度。第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五討論動量守恒定理＋動能定理求解。計算動能時，利用平面運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)關(guān)系。解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開。研究對象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。代入動能定理：第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五

[例2]均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：選系統(tǒng)為研究對象運(yùn)動學(xué)關(guān)系：由動能定理：對ｔ求導(dǎo)，得第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五[例3]重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置B'點(diǎn)時的速度及支座A的約束反力。解：（1）取圓盤為研究對象，圓盤平動。第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五（2）用動能定理求速度。取系統(tǒng)研究。初始時T1=0，最低位置時：代入數(shù)據(jù)，得第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五（3）用動量矩定理求桿的角加速度。由于所以a＝0。桿質(zhì)心C的加速度：盤質(zhì)心加速度：（