高中數(shù)學(xué)第二章概率習(xí)題課離散型隨機(jī)變量的均值講義蘇教版選修

習(xí)題課離散型隨機(jī)變量的均值第2章

概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟練掌握均值公式及性質(zhì).2.能利用隨機(jī)變量的均值解決實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題.題型探究知識(shí)梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識(shí)梳理1.對(duì)均值的再認(rèn)識(shí)(1)含義：均值是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，反映或刻畫(huà)的是隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)來(lái)源：均值不是通過(guò)一次或多次試驗(yàn)就可以得到的，而是在大量的重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出來(lái)的相對(duì)穩(wěn)定的值.(3)單位：隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位.(4)與平均數(shù)的區(qū)別：均值是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的平均數(shù).2.均值的性質(zhì)X是隨機(jī)變量，若隨機(jī)變量η＝aX＋b(a，b∈R)，則E(η)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.題型探究例1

在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)ξ的均值；解答類型一放回與不放回問(wèn)題的均值∴隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表：∴隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10，(2)放回抽樣時(shí)，抽取次品數(shù)η的均值.解答不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項(xiàng)分布，求均值可利用公式代入計(jì)算.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為

從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)若m＝10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)；解設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x，解答(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是

求P2的值；解答(3)設(shè)P2＝

若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次.設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的概率分布和均值.解答解ξ的所有可能值為0,1,2,3.所以ξ的概率分布為例2

如圖所示，從A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0，0,1)，C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”，記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)“立體”的體積V＝0).(1)求V＝0的概率；類型二與排列、組合有關(guān)的分布列的均值解答(2)求均值E(V).解答因此V的概率分布如下表：解此類題的關(guān)鍵是搞清離散型隨機(jī)變量X取每個(gè)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，然后利用排列、組合知識(shí)求出X取每個(gè)值時(shí)的概率，利用均值的公式便可得到.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

某地舉辦知識(shí)競(jìng)賽，組委會(huì)為每位選手都備有10道不同的題目，其中有6道藝術(shù)類題目，2道文學(xué)類題目，2道體育類題目，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次抽取一道題，回答完一道題后，再抽取下一道題進(jìn)行回答.(1)求某選手在3次抽取中，只有第一次抽到的是藝術(shù)類題目的概率；解答(2)求某選手抽到體育類題目的次數(shù)X的均值.解答解由題意可知X的取值可能為0,1,2.故X的概率分布如下表：例3

某學(xué)生需依次進(jìn)行身體體能和外語(yǔ)兩個(gè)項(xiàng)目的訓(xùn)練及考核.每個(gè)項(xiàng)目只有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，補(bǔ)考不及格者不能進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目的訓(xùn)練(即淘汰)，若該學(xué)生身體體能考核合格的概率是

外語(yǔ)考核合格的概率是

假設(shè)每一次考核是否合格互不影響.假設(shè)該生不放棄每一次考核的機(jī)會(huì).用ξ表示其參加補(bǔ)考的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的均值.類型三與互斥、獨(dú)立事件有關(guān)的分布列的均值解答解ξ的可能取值為0,1,2.設(shè)該學(xué)生第一次，第二次身體體能考核合格為事件A1，A2，第一次，第二次外語(yǔ)考核合格為事件B1，B2，根據(jù)分布列的性質(zhì)可知，所以其概率分布如下表：若隨機(jī)變量取某一值的概率較為復(fù)雜或不好求時(shí)，可以利用分布列的性質(zhì)求其概率.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，每局比賽甲勝的概率為

乙勝的概率為

沒(méi)有和棋，采用五局三勝制，規(guī)定某人先勝三局則比賽結(jié)束，求比賽局?jǐn)?shù)X的均值.解答解由題意，X的所有可能值是3,4,5.所以X的概率分布如下表：例4

受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān).某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：類型四均值的實(shí)際應(yīng)用品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x/年0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轎車數(shù)量/輛2345545每輛利潤(rùn)/萬(wàn)元1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問(wèn)題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；解答(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，分別求X1，X2的概率分布；解答解依題意得X1的概率分布如下表：X2的概率分布如下表：(3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車的銷量相當(dāng)，由于資金限制，因此只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車.若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？請(qǐng)說(shuō)明理由.解答因?yàn)镋(X1)>E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車.解答概率模型的三個(gè)步驟(1)審題，確定實(shí)際問(wèn)題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些.(2)確定隨機(jī)變量的概率分布，計(jì)算隨機(jī)變量的均值.(3)對(duì)照實(shí)際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練4

某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到該銀行取錢(qián)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；解答(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的概率分布和均值.解答解依題意，得X所有可能的取值是1,2,3，所以X的概率分布為當(dāng)堂訓(xùn)練1.某一供電網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)用電單位，每個(gè)單位在一天中用電的機(jī)會(huì)是p，供電網(wǎng)絡(luò)中一天平均用電的單位個(gè)數(shù)是____.答案23451解析解析用電單位X～B(n，p)，∴E(X)＝np.np2.今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為X，則E(X)＝_____.答案23451解析解析P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.1.753.已知隨機(jī)變量ξ的概率分布為答案23451解析2若η＝aξ＋3，E(η)＝

則a＝____.234514.兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱中，則A郵箱的信件數(shù)ξ的均值E(ξ)＝____.答案23451解析解析概率分布如下表所示：5.現(xiàn)有一游戲裝置如圖，小球從最上方入口處投入，每次遇到黑色障礙物等可能地向左、右兩邊落下.游戲規(guī)則為：若小球最終落入A槽，得10張獎(jiǎng)票；若落入B槽，得5張獎(jiǎng)票；若落入C槽，得重投一次的機(jī)會(huì)，但投球的總次數(shù)不超過(guò)3次.解答23451(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)設(shè)玩一次游戲能獲得的獎(jiǎng)票數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布及均值.解答23451X的所有可能取值為0,5,10，23451所以X的概率分布為23451規(guī)律與方法1.實(shí)際