湖南省常德市鼎城區(qū)長嶺崗鄉(xiāng)聯校2022-2023學年高三數學文上學期期末試題含解析

湖南省常德市鼎城區(qū)長嶺崗鄉(xiāng)聯校2022-2023學年高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如右圖，一個直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那么，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大致是（

）

參考答案：A2.給出下列函數：①；②；③.，使得的函數是（

）A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③參考答案：B3.已知點在不等式組表示的平面區(qū)域上運動，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C4.某程序的框圖如圖所示，則運行該程序后輸出的B的值是

(

)A.5 B.11 C.23 D.47參考答案：C第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：輸出,選C.5.已知正六邊形，在下列表達式①；②；③；④中，與等價的有（

）

A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：D

解析：①；②

③；④，都是對的6.已知集合，，則A∩B=（）．A. B.{－1,0,1,2}C.{1,2} D.{0,1,2}參考答案：D【分析】先分別求出集合A，B，由此能求出．【詳解】，本題正確選項：D7.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積等于（）A． B．

C．1 D．參考答案：A考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：幾何體是三棱柱削去一個同高的三棱錐，根據三視圖判斷相關幾何量的數據，把數據代入棱柱與棱錐的體積公式計算．解答：解：由三視圖知：幾何體是三棱柱削去一個同高的三棱錐，其中三棱柱的高為2，底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，三棱錐的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，∴幾何體的體積V=×1×1×2﹣××1×1×2=．故選：A．點評：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據三視圖判斷幾何體的形狀及數據所對應的幾何量是解題的關鍵．8.已知關于x的不等式ax2－(a＋1)x<－a＋13x在區(qū)間[2，3]上恒成立，則實數a的取值范圍為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C9.函數的部分圖象大致為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D10.已知兩條直線和互相平行，則等于（

）

A.1或-3

B.1

C.-1或3

D.-3參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數，其中n∈N*，當n=1，2，3，…時，fn（x）的零點依次記作x1，x2，x3，…，則=

．參考答案：﹣3考點：極限及其運算．專題：導數的綜合應用．分析：利用等比數列的前n項和公式可得：函數fn（x）=+，令fn（x）=0，解得xn=﹣1．再利用極限的運算法則即可得出．解答： 解：函數=+=+，令fn（x）=0，解得xn=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案為：﹣3．點評：本題考查了等比數列的前n項和公式、數列極限的運算法則，屬于基礎題．12.設函數f（x）=，則f（f（﹣4））的值是

．參考答案：4【考點】函數的值．【專題】計算題；函數思想；函數的性質及應用．【分析】直接利用分段函數求解函數值即可．【解答】解：函數f（x）=，則f（f（﹣4））=f（16）=log216=4．故答案為：4．【點評】本題考查分段函數的應用，函數值的求法，考查計算能力．13.在如圖所示的數表中，第i行第j列的數記為ai，j，且滿足a1，j=2j－1，ai，1=i，ai+1，j+1=ai，j+ai+1，j(i,j∈N*)；又記第3行的數3，5，8，13，22，39……為數列{bn}，則

(1)此數表中的第2行第8列的數為_________.

(2)數列{bn}的通項公式為_________.參考答案：129；bn=2n－1+n+114.拋物線y2=4x的焦點為F，點P為拋物線上的動點，若A（﹣1，0），則的最小值為

．參考答案：考點：拋物線的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：過點P作PM垂直于準線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，則==sin∠PAM，故當PA和拋物線相切時，最?。倮弥本€的斜率公式、導數的幾何意義求得切點的坐標，從而求得的最小值．解答： 解：由題意可得，焦點F（1，0），準線方程為x=﹣1．過點P作PM垂直于準線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，則==sin∠PAM，∠PAM為銳角．故當∠PAM最小時，最小，故當PA和拋物線相切時，最?。O切點P（a，2），則PA的斜率為=（2）′=，求得a=1，可得P（1，2），∴|PM|=2|PA|=2sin∠PAM===，故答案為：．點評：本題主要考查拋物線的定義、性質的簡單應用，直線的斜率公式、導數的幾何意義，屬于中檔題．15.（文）設圓過雙曲線右支的頂點和焦點，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是

.參考答案：雙曲線的右頂點為，右焦點為，所以圓C的圓心的橫坐標為4．故圓心坐標為，所以它到中心（0，0）的距離為。16.右圖給出的是計算的值的一個程序框圖，判斷其中框內應填入的條件是

；參考答案：i>10

17.若（n≥4，n∈N*）的二項展開式中前三項的系數依次成等差數列，則n=

．參考答案：8【考點】DB：二項式系數的性質．【分析】（n≥4，n∈N*）的二項展開式中前三項的系數依次為：1，，，由于此三個數成等差數列，可得2×=1+，解出即可得出．【解答】解：（n≥4，n∈N*）的二項展開式中前三項的系數依次為：1，，，由于此三個數成等差數列，∴2×=1+，化為：n2﹣9n+8=0，解得n=8或1（舍去）．故答案為：8．【點評】本題考查了二項式定理的應用、等差數列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，以頂點A為球心，為半徑作一個球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長等于

。參考答案：解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為，AA1=1，則。同理，所以，故弧EF的長為，而這樣的弧共有三條。在面BB1C1C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時，小圓的圓心為B，半徑為，，所以弧FG的長為。這樣的弧也有三條。于是，所得的曲線長為。19.已知拋物線的焦點為，準線為，點為拋物線C上的一點，且的外接圓圓心到準線的距離為．（I）求拋物線C的方程；（II）若圓F的方程為，過點P作圓F的2條切線分別交軸于點，求面積的最小值時的值．參考答案：解：（I）的外接圓的圓心在直線OF，FP的中垂線交點上，且直線OF的中垂線為直線，則圓心的縱坐標為故到準線的距離為從而p=2，即C的方程為（II）設過點P斜率存在的直線為，則點F(0，1)到直線的距離。

令d=1，則，

所以。

設兩條切線PM，PN的斜率分別為，則，，

且直線PM：，直線PN：，故，

因此所以

設，則令，則在上單點遞減，在上單調遞增，因此從而，此時．略20.已知函數f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；（2）若函數f（x）在（0，）上無零點，求a最小值．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；根的存在性及根的個數判斷．【專題】函數思想；轉化法；導數的綜合應用．【分析】（1）先求導函數f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函數的單調增區(qū)間，令f′（x）＜0可求出函數單調減區(qū)間，注意與定義域求交集；（2）因為f（x）＜0在區(qū)間（0，）上恒成立不可能，故要使函數f（x）在（0，）上無零點，只要對任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用參變量分離，利用導數研究不等式另一側的最值即可求出a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x﹣1﹣2lnx，則f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的單調減區(qū)間為（0，2]，單調增區(qū)間為[2，+∞）．（Ⅱ）因為f（x）＜0在區(qū)間（0，）上恒成立不可能，故要使函數f（x）在（0，）上無零點，只要對任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即對x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令l（x）=2﹣，x∈（0，），則l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），則m′（x）=﹣+=＜0，故m（x）在（0，）上為減函數，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，從而l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上為增函數，所以l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），綜上，若函數f（x）在（0，）上無零點，則a的最小值為2﹣4ln2．【點評】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數研究函數的極值，同時考查了轉化的思想和參變量分離的方法以及運算求解的能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分14分）已知各項均為正數的數列滿足：，

（1）求、、，猜測的表達式并證明；

（2）求證：≥；

（3）設數列的前項和為，求證：.參考答案：解：（1）

猜測：

①當n=1時，a1=1+1=2，猜想成立.

②假設當n=k時成立，即ak=k+1.

即當n=k+1時，猜想成立.

故對一切成立．

（2）設，

由

由內有且只有一個極大值點，且因此在內，

（3）由（2）可知

同理可證

22.（本小題滿分13分）橢圓的中心為坐標原點，右焦點為，且橢圓過點。的三個頂點都在橢圓上，設三條邊的中點分別為.（1）求橢圓的方程；（2）設的三條邊所在直線的斜率分別為，且。若直線的斜率之