高數(shù)83曲面及其方程

8.3

曲面及其方程1曲面的實(shí)例：水桶的表面、臺(tái)燈的燈罩面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．定義1

（曲面方程）如果曲面S

與三元方程F

(x,y,z)=0有下述關(guān)系：曲面S

上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；不在曲面S

上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程；那么，方程F

(x,y,z)=0就叫做曲面S

的方程，而曲面S

就叫做方程的圖形．2一、曲面方程的概念曲面的實(shí)例：水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．定義1

（曲面方程）一、曲面方程的概念F

(x,

y,

z)

=

0S3zyx

O解以下給出幾例常見的曲面.例1

建立球心在點(diǎn)M

0

(

x0

,y0

,

z0

)、半徑為

R

的球面方程.設(shè)M

(x,y,z)是球面上任一點(diǎn)，|

MM0

|=

R根據(jù)題意有2

2

2(x

-

x0

)

+

(y

-

y0

)

+

(z

-

z0

)

=

R2

2

2

2所求方程為(x

-x0

)+(y

-y0

)+(z

-z0

)=R特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為

x2

+

y2

+

z2

=

R24解例2

求與原點(diǎn)O

及M0

(2,3,4)的距離之比為1

:

2的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.設(shè)M

(x,y,z)是曲面上任一點(diǎn)，根據(jù)題意有|MO

|

=

1

,|

MM

0

|

2x

2

+

y

2

+

z

2(x

-

2)2

+

(y

-

3)2

+

(z

-

4)2,12=116534

2

2

2

2x

+ +

(y

+

1)

+

z

+

3

=

9

.所求方程為例3

已知A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求線段AB

的垂直平分面的方程.設(shè)M

(x,y,z

)是所求平面上任一點(diǎn)，根據(jù)題意有|

MA

|=|

MB

|,(x

-

1)2

+

(y

-

2)2

+

(z

-

3)2=

(x

-

2)2

+

(y

+

1)2

+

(z

-

4)2

,化簡(jiǎn)得所求方程2

x

-

6

y

+

2z

-

7

=

0.解已知曲面為點(diǎn)的幾何軌跡，求曲面方程。5表示怎樣例4.研究方程的曲面.解:配方得可見此方程表示一個(gè)球面

球心為M

0

(1,-2,0),半徑為已知x,y,z的方程，研究曲面形狀。8以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論柱面、二次曲面）二、旋轉(zhuǎn)曲面定義一條平面曲線C繞其平面上的一條直線l旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．播放曲線C叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線。9xozyM1

(0,

y1

,

z1

)f

(

y,

z)

=

0M設(shè)M

(x,y,z),(1)

z

=

z1（2）點(diǎn)M

到z

軸的距離1d

=

x2

+

y2

=|

y

|旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖代入將

z

=

z

,

y

=

–

x2

+

y21

1f

(

y1

,

z1

)

=

0d建立yOz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:求此曲面方程10代入f

(y1

,z1

)=01

1y

=

–

x2

+

y2將z

=z

,f

–

x2

+

y2

,

z

=

0,yoz

坐標(biāo)面上的已知曲線f(y,z

)=0繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.同理：yoz

坐標(biāo)面上的已知曲線f

(y,z)=0繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為得方程f

y,

–

x2

+

z2

=

0.11思考：當(dāng)曲線

C

繞

y

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？C

:

f

(

y,

z)

=

0Oyxzx

2

+

z

2

)

=

0f

(

y

,

–例5

求

yOz

面上的直線L：z=ky

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解因?yàn)樾D(zhuǎn)軸為z軸，所以將z=ky

中的y

改為–

x2

+

y2

,M

(

x,

y,

z)oo圓x2

+

y2z

=

–kxxzzM1

(0,

y1

,

z1

)yy則可得到旋轉(zhuǎn)曲面--圓錐面的方程xyzO錐面L

方程13例6

將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．x

2

z

2（1）雙曲線a

2

-

c

2

=

1分別繞x軸和z

軸；繞x

軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)=

1c2y2

+

z2a2

-x2-

c2

=

114z2a2x2

+

y2旋轉(zhuǎn)雙曲面（2）橢圓

x

=

0

y

2+ =

122z

2a

c繞y

軸和z

軸；繞y

軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)=

1c2x2

+

z2a2

+y2+

c2

=

115z2a2x2

+

y2旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋物線

y

2

=

2

pzx

=

0繞z

軸；x2

+

y2

=

2

pz旋轉(zhuǎn)拋物面播放16三、柱面定義平行于定直線l并沿定曲線C

移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.觀察柱面的形成過程:這條定曲線C

叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.xyz例.分析方程表示怎樣的曲面.解:在xOy面上，表示圓C,在圓C上任取一點(diǎn)M1

(x,

y,0),

過此點(diǎn)作平行

z

軸的直線

l ,

對(duì)任意z

,點(diǎn)M

(x,

y,

z)的坐標(biāo)也滿足方程

x2

+

y

2

=

R2沿圓周C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面.其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,故在空間x2

+y

2

=R2

表示圓柱面ClMM1O從柱面方程看柱面的特征：只含x,y

而缺z

的方程F

(x,y)=0，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z

軸的柱面，其準(zhǔn)線為xoy

面上曲線C

.（其他類推）實(shí)例y2

z2b2

+

c2

=

1橢圓柱面//x軸=

118x2

y2a2

-

b2雙曲柱面

//

軸zx2

=

2

pz拋物柱面//y

軸柱面舉例xozy2

=

2

xyxozy拋物柱面19y

=

x平面xzyl2方程G(y,z)=0

表示柱面,母線:

平行于

x

軸;準(zhǔn)線:yOz

面上的曲線l2.方程H

(z,x)=0

表示柱面,母線:平行于y

軸;準(zhǔn)線:xOz

面上的曲線l3.1.一般地,在三維空間方程F

(x,y)=0

表示柱面,母線:

平行于

z

軸;準(zhǔn)線:xOy

面上的曲線lyzl3Oxxyzl1OO四、二次曲面二次曲面的定義：F(x,y,z)=0-----曲面若F(x,y,z)=0為一次方程-----一次曲面，即平面若F(x,y,z)=0為二次方程-----二次曲面，即三元二次方程Ax2

+

By2

+

Cz2

+

Dxy

+

Eyz

+

Fzx+

Gx

+

Hy

+

Iz

+

J

=

0(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)的圖形統(tǒng)稱為二次曲面.如何通過方程了解曲面形狀？2122討論二次曲面性狀的截痕法：用坐標(biāo)面或平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．（一）橢球面x2

y2

z2a2

+

b2

+

c2

=

1橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：,222

+

2

=

1

y

=

0cz

a

x.=

12222+

x

=

0z

b

cy,222

+

2

=

1z

=

0by

axa,

b,

c

>

023x2

y2

z2a2

+

b2

+

c2

=

1oyx范圍：

x

￡

a,

y

￡

b,

z

￡

c橢球面包含在x

=–a,y

=–b,c

=–c這六個(gè)面圍城的長(zhǎng)方體內(nèi)z24橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.同理；用平面x

=h

和y

=h

截橢球面，結(jié)果類似。橢球面與平面的交線為橢圓z

=

h(

h

￡

c)x2y2

a2+

b2(c2

-

h2

)(c2

-

h2

)c2=1z

=

h

c22

2ab兩個(gè)半軸：

c

-

h

，

c2

-

h2，c

cx2

y2

z2a2

+

b2

+

c2

=

1橢球面的幾種特殊情況：(1)

a

=

b,a2

+

a2

+

c2

=

1x2

y2

z2旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：與平面z

=h

(|

h

|<c)的交線為圓.(2)

a

=

b

=

c,x2

y2

z2a2

+

a2

+

a2

=

126球面x2

+

y2

+

z2

=

a2

.方程可寫為（二）雙曲面1.單葉雙曲面x2

y2

z2a2

+

b2

-

c2

=

1與平面z

=z1的交線為橢圓.1當(dāng)z

變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在z

軸上.z

=

z1

+ =

1

+

1

c2z

2b2

a2

x2

y2當(dāng)z1

由0逐漸增大，橢圓兩個(gè)半軸從a,b逐漸增大c2

+

z2127abc兩個(gè)半軸：

c2

+

z2

,c

1(a,

b,

c

>

0)

y

=

y1

- =

1

-

1

b2y

2c2

a2

x2

z2雙曲線的中心都在y軸上.與平面y

=y1

(y1

?–b)的交線為雙曲線.(1

)1y2

<

b2

,

實(shí)軸與

x

軸平行,

虛軸與

z

軸平行.>b2

,實(shí)軸與z

軸平行,(2

)1y2虛軸與x

軸平行.y1

=b,

截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)(0,b,0)的直線.(3

)x2

y2

z2a2

+

b2

-

c2

=

1

a

-

c

=

0

,

x

z

y

=

b(4

)

y1

=

-b,.

y

=

b+ =

0

a

c

x

z截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)(0,-b,0)的直線.

y

=

-b

a

-

c

=

0

,

x

z

y

=

-b

a

+

c

=

0

.

x

z用坐標(biāo)面

yoz

(

x

=

0)

，x=

x1

與曲面相截均可得雙曲線.29單葉雙曲面圖形xyoz30雙葉雙曲面x2

y2

z2a2

+

b2

-

c2

=

-1xyo2.平面y

=y1

上的截痕為雙曲線平面x

=x1

上的截痕為雙曲線平面

z

=

z1

(

z1

>

c)上的截痕為橢圓3132（三）拋物面x2

y2p

q+

=2z(p,q同號(hào))1.橢圓拋物面其中p

>

0,

q

>

0xyzox2

y2p

q-

=2z

(p,q同號(hào))2.

雙曲拋物面（馬鞍面）其中p

>

0,

q

>

03334五、小結(jié)曲面方程的概念F

(x,y,z)=0.旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念(母線、準(zhǔn)線).橢球面、拋物面、雙曲面、截痕法.（熟知這幾個(gè)常見曲面的特性）思考題1.方程x

=

-3

x2

-

4

y2

+

z2

=

25表示怎樣的曲線？2.畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形：1)、x

=0,z

=0,x

=1,y

=2,z

=y

；3542)、

x

=

0

,

y

=

0

,

z

=

0

,

x

2

+

y

2

=

R

2

,

y

2

+

z

2

=

R2(在第一卦限內(nèi)).3.指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？(1)

x

=

2;(2)

x2

+

y2

=

4;

(3)

y

=

x

+

1.思考題解答

x

=

-31.

x2

-

4

y2

+

z2

=

25

-

4

y

2

+

z

2.=

16

x

=

-3表示雙曲線.362.yzo2xyox

1zR37RR2)1)38方程平面解析幾何中空間解析幾何中x

=

2平行于y

軸的直線平行于yoz

面的平面x2

+

y2

=

4圓心在(0,0)，半徑為2的圓以z

軸為中心軸的圓柱面y

=

x

+

1斜率為1的直線平行于z

軸的平面3.二、旋轉(zhuǎn)曲面39定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面40定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面41定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面42定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面43定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面44定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面45定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面46定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面47定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面48定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面49定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面50定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．定義51三、柱面這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L

叫柱面的母線.觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.定義52三、柱面這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L

叫柱面的母線.觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.定義53三、柱面這條定