第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用8習(xí)題課

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八章習(xí)題課一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類三、關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)、全微分計算的題類四、關(guān)于方向?qū)?shù)和梯度的題類五、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類1.幾何應(yīng)用.2.極(最)值一、 基本概念連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)存在方向?qū)?shù)存在可微性多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)定義域及對應(yīng)規(guī)律判斷極限不存在及求極限的方法函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)幾個基本概念的導(dǎo)出關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可

微連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在極限存在極限存在【必須熟練掌握本章以下幾個概念之間的關(guān)系】一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限要復(fù)雜得多，計算也更困難.通常從以下四個方面考慮：(1)設(shè)法利用變換化為一元函數(shù)的極限再求……;(2)掌握絕對值不等式的放縮技巧，使用夾逼定理;(3)通過觀察，若大致估計所求極限不存在，可選擇兩條不同路徑，求出不同的極限值，借以證明原式極限不存在;(也可選取一條路徑求得極限不存在,則原極限不存在)(4)利用二元初等函數(shù)在內(nèi)點處的連續(xù)性:lim

f

(

P

)

=

f

(

P0

)Pfi

P02

2+

yyfi

0xfi

0

x【例1】求limxy【解】

取路徑

y

=

k

x，則,lim22

2xy

kx2=

limxfi

022xfi

0y=kxkx

+

y=(1

+

k

)

x

1

+

k與k有關(guān),故不存在.2x1

3

yxfi

0

|

x

|

+

y【例2】求limyfi

0【解】取路徑y(tǒng)

=k

x，則lim22

=

lim

2

=

0kx4

31x

3

yy=kxxfi

0

|

x

|

+

y

xfi

0

|

x

|

+k

x特別注意:盡管沿路徑y(tǒng)=kx所得極限相同,但仍不能肯定原極限即為0，因若取曲線路徑:y

=x1

3

時|

x

|

+

y2limxfi

0y=

x1

31

3=

lim

=

1x

y

x2

3xfi

0

|x|+

x2

3故所求極限不存在.x2

+

y2ln(

x

+

e

y

)xfi

1yfi

0【例3】計算lim初等函數(shù).(1,0)定義域內(nèi)點.連續(xù).

代入法【例4】換元,化為一元函數(shù)的極限3

2(

x2

+

y2

)x2

+

y2x2

+

y2

-

sinxfi

0yfi

0求lim【說明】多元函數(shù)的極限是自變量各自獨立地同時在變，稱為重極限.還有一種是自變量分先后次序變，稱累次極限。如x固定，變量y

趨于b，然后再limlim

f

(x即,y先)xfi

a

yfi

b令變量x趨于a.這種極限是兩個極限過程；而重極限是一個極限過程.兩者是不同的.［例如］例1中，兩個累次極限lim

lim=

lim

lim

=

0xy

xyyfi

0

xfi

0

x2

+

y2xfi

0

yfi

0

x2

+

y2存在而二重極限不存在.［又如］0

,1y

sin

,

y

?

0xy

=

0而兩個累次極限均不存在.y

x

sin

1

+f

(

x,

y)

=

則重極限lim

f

(x,y)=0xfi

0yfi

0【強調(diào)】本課程討論的極限均為重極限.二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類一般來說，討論二元函數(shù)z=f(x,y)在某點的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性以及可微性時，都要用相應(yīng)的定義判定；尤其是分段函數(shù)在分界點的上述“性態(tài)”就是要用各自的定義判斷.［連 續(xù)］

lim

f

(

x,

y)

=

f

(

x0

,

y0

)xfi

x0yfi

y0［可偏導(dǎo)］［可 微］f

(

x0

+

h,

y0

)

-

f

(

x0

,

y0

)hfx

(

x0

,

y0

)

=

limhfi

0lim

Dz

-[

fx

(

x0

,

y0

)Dx

+

f

y

(

x0

,

y0

)Dy]

=

0點(x0

,y0

)可微rfi

0r2

2其中Dz

=

f

(

x0

+

Dx,

y0

+

Dy)

-

f

(

x0

,

y0

)

,

r

=

(Dx)

+

(Dy)內(nèi)含三條，缺一不可包括高階偏導(dǎo)數(shù)定義等【例5】【解】,

x2

+

y2

?

0,x2

+

y2

=

00,設(shè)f

(x,y)=22x2

y

x

+

y問f

(x,y)在點(0,0)處是否連續(xù)？22x2

y+

ylim

f

(

x,

y)

=

limyfi

0xfi

0

xxfi

0yfi

0若x

=0,

y

fi22

=

0x2

y+

yyfi

0xfi

0

x0,顯然有l(wèi)im0,

y

fi若x(?0)fi22=

02

=

limx2

yyy+

yyfi

0

1

+

(

x

)xfi

0yfi

0xfi

0

x0,則lim總之有l(wèi)im

f

(

x,

y)

=

0

=

f

(0,0)xfi

0yfi

0所以f

(x,y)在點(0,0)處是連續(xù)的.［思考］?【例6】設(shè),,

x2

+

y2

?

0x2

+

y2

=

00,1(

x2

+

y2

)sinf

(

x,

y)

=

x2

+

y2函數(shù)f

(

x,

y)在點(0,0)處(

)A.連續(xù)而偏導(dǎo)不存在C.偏導(dǎo)存在且連續(xù)B.偏導(dǎo)存在但f不連續(xù)D.可微xfi

0yfi

0【解】lim

f

(

x,

y)

=

0

=

f

(0,0)

所以f

在(0,0)點連續(xù),故否B

.f

(

x,0)

-

f

(0,0)

x2

sin(1

x2

)=

lim

=

0xfi

0xfi

0fx

(0,0)

=

limxy2

sin(1

y2

)yfi

0f

y

(0,0)

=

limy

yxf

(

y,0)

-

f

(0,0)=

lim

=

0yfi

0所以f

(x,y)在(0,0)點偏導(dǎo)數(shù)存在,故否A.0,2

x

sinf

(

x,

y)

=

,

x2

+

y2

?

0x2

+

y2

=

0x2

+

y2x2

+

y2-x2

+

y21cos2

x1x=

0

,1

lim

2

x

sinxfi

0yfi

0x2

+

y2中，而在limx2

+

y21cos2

xyfi

0xfi

0

x2

+

y2若取路徑y(tǒng)

=x，則1lim2

x

1xfi

0

xyfi

xcos

=

lim

1

cosx2

+

y2

2

x2xfi

0

x2

+

y2不存在(可取兩子列驗證)xfi

0yfi

0\lim

fx

(x,y)不存在,則f

在(0,0)點偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù),故否C.而limx2

+

y2xfi

0yfi

0f

(

x,

y)

-

f

(0,0)

-[0

x

+

0

y]=

01=

limxfi

0yfi

0x2

+

y22

22

2(

x

+

y

)sinx

+

y所以f

(x,y)在(0,0)點可微.

綜上所述，應(yīng)選D.【注意】此題是偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)僅是可微的充分條件的一個實例.③

z

=

f

(u,

x,

y)三、關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)、全微分計算的題類1.【多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則】【可導(dǎo)充分條件】內(nèi)層函數(shù)偏導(dǎo)存在,外層函數(shù)偏導(dǎo)連續(xù)【復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t】①

z全導(dǎo)數(shù)dt

?u

dt

?v

dtdz

=

?z du

+

?z

dvuvxyxy②

z?z

=

?z

?u

+

?z

?v=

+?x

?u

?x

?v

?x?z

?z

?u

?z

?vuvttuxy?y

?u

?y

?v

?y?uxy

?x

?x

?u

?x?z

=

?f

+

?f?z

=

?f

+

?f

?u?y

?y

?u

?y2.【全微分】

全微分＝各偏微分之和u,v是自變量或中間變量(1)［公式法］(2)［推導(dǎo)法］(直接法)——方法步驟①搞清哪個(些)是因變量、中間變量、自變量；②將方程(組)兩邊同時對某個自變量求(偏)導(dǎo)；③解由②得到的方程(組),解出要求的偏導(dǎo)數(shù).其余自變量的偏導(dǎo)數(shù)同理可求.③

dy

=

-

Fxx、y、z

等各變量地位等同①

F

(

x,

y)

=

0

y

=

f

(

x)②

F

(

x,

y,

z)

=

0

z

=

z(

x,

y)=

-

xF

=

-

y?x

Fz

?y

Fzdx

Fy?z

F

?zG(

x,

y,

u,v)

=

0F

(

x,

y,

u,v)

=

0

u

=

u(

x,

y)

,

v

=

v(

x,

y)公式不必記,要求掌握［推導(dǎo)法］?u

?v形式不變性

dz

=

?z

du

+

?z

dv3.【隱函數(shù)的求導(dǎo)法則】【例7】設(shè)u

=x

y

z

,x

>0,

y

>0,求一階偏導(dǎo).【解】?x?u

=

yz

x

yz

-1;z-1x

(ln

x)(

zy

);?u

=?yyzx

(ln

x)

y

(ln

y)?z?u

=zyz【注意】易犯錯誤:?u

=

?

(

x

y

)z

=

x

yz

(ln

x

y

)?z

?z此錯誤在于:

(

x

y

)z

=

x

yz

?

x

yz【例8】設(shè)f

(x,y)=(x

+y)j

(x,y),其中j

(x,y)在(0,0)處連續(xù)，求df

(0,0).【分析】因j

(x,y)在(0,0)處僅連續(xù),則求f(x,y)在(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)就不能用求導(dǎo)的乘積法則,而只能用定義求.最后再用可微定義判可微性.【解】

?f

=

lim

f

(

x,0)

-

f

(0,0)

=

lim

xj

(

x,0)

=

j

(0,0)

=

?f則df

(0,0)

=

j

(0,0)(dx

+

dy)而rfi

0lim

f

(

x,

y)

-

f

(0,0)

-

[j

(0,0)

x

+

j

(0,0)

y]=

limrfi

0x2

+

y2x

+

yx2

+

y2[j

(x,y)-j

(0,0)]=0

所以f在(0,0)可微(x2

+

y2

x2

+

y2x

+

yxfi

0yfi

0￡

|

x

|

+

|

y

|

￡

2，lim[j

(

x,

y)

-

j

(0,0)]

=

0

)?x

x

x

?yxfi

0

xfi

0xxxt

y【解Ⅰ】

復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)綀D法

ydy

=

?f

+

?f

(

?t

+

?t

dy

)dx

?x

?t

?x

?y

dx?y?t?x

=?tdx\

dy

=t1

-

f教材習(xí)題第11題【例9】設(shè)y

=f

(x,t

),而t是由F

(x,y,t

)=0所確定的x,y的?x

Ftfx

+

ft?t

F而

=

-

x

,y

,F?y

Ft?t

=

-fx

Ft

-

ft

FxFt

+

ft

Fy?y?x?t?tfx

+

ftdx\

dy

=t1

-

fdx函數(shù)，其中f、F具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求dy

.【例10】設(shè)z

=【解】具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，3yx f

(

xy,

),

(

f1

23+

f

)￠

￠=

x

(

f

x?y

x?z

1214

2+

x

f

,=

x

f11xx?y?2

z4

2

5

32

=

x

(

f1￠1￠x

+

f1￠2￠

)

+

x

(

f2￠1￠x

+

f2￠2￠

)

=

x f11

+

2

x f12

+

xf22

,【分析】抽象函數(shù)無中間變量,引入記號f

1

,f12等。觀察法.=?x?y

?y?x?2

z

?2

z2x241

11

123￠￠￠=

4

x

f

+

x

[

f y

+

f

(-y1

2?x?=

(

x4

f

￠+

x2

f

￠)=

4

x3

f

+

2

xf

+

x4

yf

-

yf

.1

2

11

22,

,?2

x?y

?y2

?x?y?z

?2

z

z.求)]x222212y￠￠)]

+

2

xf

+

x

[

f y

+

f

(-【例11】設(shè)u

=f

(x,y,z),j

(x2

,e

y

,z)=0,y

=sin

x,【解】du

=

?f

+

?f dy

+

?f dz

,

顯然

dy

=

cos

x,dx

?x

?y

dx

?z

dx

dx求dz

,dx對j

(x2

,e

y

,z)=0

兩邊求x

的導(dǎo)數(shù),得=

0

,3￠dx

dxy

dy

dzj1￠

2

x

+

j2￠

e

+

j【分析】確定y=y(x),z=z(x),u=u(x)三方程兩邊同時對x求導(dǎo).于是可得,12e

cos

xj

￠),sin

x13￠j

￠(2

xj

+=

-dxdz213sin

x?zcos

xj￠)

?f

.dx

?xdu

?f故

= +

cos

x￠?f

1?y-

(2

xj

+

ej￠?z

dx(f

,j

具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，且?j

?0,求du

.作業(yè)題P7

選擇題

3

.dx

y

dxx+

f

(1)du

=

f

dy

,【例12】設(shè)函數(shù)u(x)由方程組u

=f

(x,y),g(x,y,z)=0,h(x,z)=0所確定,且?g

?0,?h

?0,試求du

.?y

?z

dx【分析】確定y=y(x)，z=z(x)，u=u(x).三方程兩邊同時對x求導(dǎo).【解】

方程組各方程兩邊對

x

求導(dǎo),

得zdx

h由(3)得

dz

=

-

hx

,hx

-

gx

,hz

gygy

hzyf

yxg代入(2)得dy

=gzdx

gygx

+

f

y

gz

hx

.dx代入(1)得

du

=

f

-dx

=

0,

(2)dx

+

gzgx

+

gydy

dz(3)hx

+

hzdxdz

=

0.四、關(guān)于方向?qū)?shù)和梯度的題類1.【方向?qū)?shù)的定義】t=

lim

f

(

x0

+

t

cosa

,

y0

+

t

cos

b

)

-

f

(

x0

,

y0

)t

fi

0+0

0?l

(

x

,

y

)?f(2)不可微時用方向?qū)?shù)定義求或rrfi

0?f

=

lim

f

(

x0

+

Dx,

y0

+

Dy)

-

f

(

x0

,

y0

)?l2.【方向?qū)?shù)的計算】(1)可微時用課本P46-47定理求梯度在l

方向上的投影公式el

=

(cosa

,cos

b

)3.【梯度的定義】gradf

(

x,

y)

=

?f

+

?f

;i

j?x

?y?x

?y

?zgradf

(

x,

y,

z)

=

?f

+

?f

+

?f

i

j

k4.【梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系】|

gradf

(

x,

y)

|=+

?y

?x

?f

2

?f

2?f

=

?f

cosa

+

?f

cos

b?l

?x

?yl=

gradf

(

x,

y)

e方向?qū)?shù)==梯度在l

方向上的投影【例13】求u

=xy

+yz3在點M

(2,-1,1)處的梯度及在該點沿方向

l

=i

+2

j

+2k

的方向?qū)?shù).【分析】 套公式【解】

略【練習(xí)】函數(shù)z

=xy

+y3在點M

(2,-1)處的梯度與方向l

的(

2,-1)?l夾角是60

,

求?z

.?u

=

?u

cosa

+

?u

cos

b

+

?u

cos

g?l

?x

?y

?z-

y,

y,xy

>

0xy

<

0?x

=

0,

y

=

0不存在,

x

=

0,

y

?

0?z(1)【解】【例14】設(shè)z

=|

xy

|,則(1)求?z

;?x(2)問z在點(0,0)處是否可微.(3)求在點(0，1)處沿l

=

-i

+

0

j和l1

=

i

+

j的方向?qū)?shù)

.(2)

?z

=?z

=0,而?x

(0,0)

?y

(0,0)0

￡=z(

x,

y)

-

z(0,0)

-[0

x

+

0

y] |

xy

|x2

+

y21

(

x2

+

y2

)￡

2=

0x2

+

y2

x2

+

y2|

xy

|\

limxfi

0yfi

0x2

+

y2故z在點(0,0)處可微.x2

+

y22=

1難點t=

lim

f

(0

+

t

cosa

,1

+

t

cos

b

)

-

f

(0,1)?l(3)

?zt

fi

0+(0,1)=

lim

|

(-t

) 1

|

-0

=

1t

fi

0+ttt

fi

0+(0,1)?z

=

lim

f

(0

+

t

cosa1

,1

+

t

cos

b1

)

-

f

(0,1)1?l22

2=t

2|

(

1

t

)

(1

+

1

t

)

|

-0=

limt

fi

0+【注意】因為z在點(0,1)處不可微,故求方向?qū)?shù)時,不能利用公式計算,而只能利用方向?qū)?shù)定義.五、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類1.【幾何應(yīng)用】空間曲線Γ有切線和法平面退化情形空間曲線Γ切向量Tx

=

x(t

),

y

=

y(t

),

z

=

z(t

)–

(

x

(t

),

y

(t

),

z

(t

))y

=

y(

x),

z

=

z(

x)–

(1,

y

(

x),

z

(

x))F

(

x,

y,

z)

=

0,G(

x,

y,

z)

=

0–

(?(F

,G),

?(F

,G),

?(F

,G))?(

y,

z)

?(z,

x)

?(

x,

y)平面曲線C切向量Ty

=

f

(

x)–

(1,

f

(

x))F

(

x,

y)

=

0–

(1,-

Fx

(

x,

y))Fy

(

x,

y)空間曲面Σ法向量nF

(

x,

y,

z)

=

0–（Fx

,

Fy

,

Fz

)z

=

f

(

x,

y)–

(

fx

,

f

y

,-1)空間曲面Σ有切平面和法線平面曲線C法向量ny

=

f

(

x)–

(-

f

(

x),1)F

(

x,

y)

=

0–

(Fx

,

Fy

)退化情形多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線的切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)極值與最值問題極值的必要條件與充分條件求條件極值的方法

(消元法,

拉格朗日乘數(shù)法)求解最值問題在微分方程變形等中的應(yīng)用【例15】求曲面z

=

3

x2

+

2

y2在點M

(2,-1,14)處的切平面0方程、法線方程和向上法線的方向余弦.【分析】將曲面的顯式方程化為隱式：F

(x,y,z)=f

(x,y)-z?x

(

2,-1,14)【解】?F?y

(

2,-1,14)=

12

,

=

-4

,

=

-1?z

(

2,-1,14)?F

?F切平面法

線12(

x

-

2)

-

4(

y

+

1)

-

(z

-

14)

=

0x

-

2

=

y

+

1

=

z

-

1412

-

4

-

1向上法線方向與z

軸正向夾角為銳角，故所求方向余弦為161-

12

=

-

12122

+

(-4)2

+

(-1)2cosa

=;1614cos

b

=1611cosg

=【例16】求x

2

+y2

+z2

=6和平面x

+y

+z

=0的交線【解】曲線方程為在點M

(1,-2,1)處的切線和法平面方程.【分析】空間曲線方程為一般式，理論上化為參數(shù)式，再用隱函數(shù)求導(dǎo)的推導(dǎo)法（直接法）求導(dǎo).

x

+

y

+

z

=

0

x

2

+

y2

+

z2

=

0z

=

z(

x)

y

=

y(

x)

x

=

x+ =

01

+

dx

dxdx

dxdy

dz

2

x

+

2

y

dy

+

2

z

dz

=

0dy x

-

zdx

(1,-2,1)

=

z

-

y

(1,-2,1)

=

0,dz y

-

xdx

(1,-2,1)

=

z

-

y

(1,-2,1)

=

-1,切線：x

-1

=y

+2

=z

-10

-

1法平面：

(

x

-

1)

-

(z

-

1)

=

0x

-

z

=

0