2023屆新高考數(shù)學(xué)真題解析幾何講義第1講橢圓的定義及其應(yīng)用

2023屆新高考數(shù)學(xué)真題解析幾何專題講義第1講橢圓的定

義及其應(yīng)用

一、問題綜述

本講梳理橢圓的定義及其應(yīng)用.橢圓的考題中，對(duì)橢圓定義的考查一直都是熱點(diǎn).

（-）橢圓的定義

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)打、鳥的距離之和等于定值2“（2a>歸6|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做

橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.

（二）橢圓定義的應(yīng)用

主要有下面幾方面的應(yīng)用：

1.求標(biāo)準(zhǔn)方程：2.焦點(diǎn)三角形中的計(jì)算問題；3.求離心率；4.求最值或范圍.

二、典例分析

類型一：利用橢圓的定義求軌跡方程

【例1】A48C的底邊BC=16,4C和兩邊上中線長(zhǎng)之和為30,求此三角形重心G的軌跡方程.

【解析】以8c所在的直線為X軸，8c中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,由

|GC|+|G8|=20,知G點(diǎn)的軌跡是以8、C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn).因"10,c=8,有6=6,

22

故其方程為r工+p匕=l(yx0).

100367

【方法小結(jié)】由已知可得|GC|+|G8|=20,再利用橢圓定義求解，要注意剔除不合要求的點(diǎn).

【例2】已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)/（-3,0）,并且在定圓8：（X-3）2+/=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P

的軌跡方程.

【解析】如圖所示，設(shè)動(dòng)圓P和定圓8內(nèi)切于點(diǎn)V.動(dòng)點(diǎn)尸到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)Z（-3,0）和定圓圓心

夙3,0）距離之和恰好等于定圓半徑，BP\P^\+\PB\^\PM\+\PB\=\BM\-8>\AB\=6.

.?.點(diǎn)尸的軌跡是以Z,8為兩焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4,半短軸長(zhǎng)為6=，42-3?=，'的橢圓,

產(chǎn)的軌跡方程為：—+^-=1.

【例3】已知圓C:(x-3)2+爐=100及點(diǎn)4TO),P是圓C上任意一點(diǎn)，線段我的垂直平分線/與W相交

于點(diǎn)。，求點(diǎn)0的軌跡方程。

【解析】如圖所示.

是線段總的垂直平分線，

，聞=聞.

［闋*聞卜用+|@卜5=10,且10>6.

.??點(diǎn)。的軌跡是以4、C為焦點(diǎn)的橢圓，

且Zz=10,c=3,即。=5,b=4.

點(diǎn)。的軌跡方程為三+匕=1.

2516

【方法小結(jié)】是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)桶圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程.結(jié)

合定義求軌跡方程是一種重要的思想方法.

【變式訓(xùn)練】

22

1.已知橢圓下方=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別是耳(-c,0)、瑪(c,o)，。是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿

足后回=2a.點(diǎn)尸是線段耳。與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段月0上，并且滿足萬?西=0,西卜0.求

點(diǎn)7的軌跡C的方程.

【解析】當(dāng)西=0時(shí)，點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(-a,0)在軌跡上.

當(dāng)|可卜0|西卜0且|西快0時(shí)，由西?西=0,得百_L西.

由廂卜2°,得附|+|叫=2a,

又|P用+|尸月|=2〃，所以忸0卜R同，所以7為線段乙。的中點(diǎn).

連接07,則07為△0名乙的中位線，所以匹卜;|麗=；(附|+附|)=a,

設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y),則.故點(diǎn)7的軌跡c的方程是/+產(chǎn)=。2.

【方法小結(jié)】定義法求軌跡（方程）的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件。

類型二：焦點(diǎn)三角形中的計(jì)算問題

【例1】已知△/BC的頂點(diǎn)8,C在橢圓土+V=1上，頂點(diǎn)/是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦

3-

點(diǎn)在8c邊上，則△/8C的周長(zhǎng)是（）

A.2百B.6C.473D.12

【答案】C

【解析】由橢圓的定義知：|網(wǎng)+忸尸|=|C4|+|C尸|=2a,.?.周長(zhǎng)為4a=4石（尸是橢圓的另外一個(gè)焦

點(diǎn)）.

【方法小結(jié)】（1）橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于閨鳥|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢

圓.

（2）橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的定義，^\MF}\+\MF2\^2a,利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與

焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題.

22

【例2】已知匹、g是橢圓C:1r+3=1（a>8>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢DC上的一點(diǎn)，且所_1_麗?若

的面積為9,則6=.

【答案】3

【解析】由題意知|產(chǎn)制+|尸周=2。，PFtlPF\,

???|尸聞2+山閭2=應(yīng)引=4/,

???（|尸耳|+|尸引丫-2儼/訃|距|=牝2,

222

???2\PF,\-\PF2\=4a-4c=4b.

2

A\PFt\-\PF2\=2b,

用也卜;X2〃=/=9.

Z?=3.

【方法小結(jié)】關(guān)鍵抓住點(diǎn)尸為橢圓C上的一點(diǎn)，從而有|尸耳|+歸用=2〃，再利用西，逐，進(jìn)而得

解.橢圓上一點(diǎn)尸與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定

義和余弦定理可求|知訃|尸周;通過整體代入可求其面積等.

【變式訓(xùn)練】1.橢圓^+[=1上的點(diǎn)/到焦點(diǎn)耳的距離為2,N為兒用的中點(diǎn)，則|明（。為

坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為（）

A.4B.2C.8D.-

2

【解析】如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為工，由橢圓第一定義得|M|+W怎|=2。=10,所以

I年1=10-|4格|=10-2=8,又因?yàn)镃W為AA/6芯的中位線，所以|ON|=g|g|=4,故答案為A.

2.如圖，把橢圓M+藉=1的長(zhǎng)軸ZB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于々、

P2....￡七個(gè)點(diǎn)，戶是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則由同+內(nèi)臼+…+出產(chǎn)|=.

【答案】35

【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為尸，由橢圓的對(duì)稱性知，山尸|=比尸’|,比產(chǎn)|=|兄尸|,區(qū)川=忸尸，|,

:?|陽+陽+-“+出廠|=(|加+出廠'|)+(|"1+|"'|)+(|91+區(qū)尸1)+；(|/|+|"1)=7。=35.

類型三：利用橢圓的定義求離心率

【例1】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳工，過片作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△片「用為等腰直

角三角形，則橢圓的離心率為.

【解析】設(shè)|尸片|=機(jī)，則陽周=磯|尸周="",

由點(diǎn)夕在橢圓上，得2〃■尸耳|+|尸8]=(近+1)加，

又2c=7〃，所以0=至=丁='一=0—1.

2a(V2+l)w

2,r2

【例2】己知傾斜角為60。的直線,與橢圓7V=l(a>b>0)交于48兩點(diǎn)，且經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)

F,若2BF=AF,則橢圓的離心率為

【解析】設(shè)忸耳|=機(jī)，用=2〃?，則|典|=2a-2m,忸聞=2"八,

在△?(石鳥，48片心中，分別由余弦定理得

(2a-2〃?)2=(2m)2+(2c)2-2-2c2mcos60°\4b2-Sam=-4cm

!,即《

(2a-m)2=m2+(2c)2-2-2c-mcos120°[4b2-4am-2cm

所以4/?2-iam=-2(46?-，即3b2=4am,

7

代入(2)得b?=2c/n,所以6c〃？=4〃m，故&=—r=—.

a3

【變式訓(xùn)練】

1.如圖所示，耳,寫分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，且“與，耳月，/與收=60。，則

橢圓的離心率為.

【解析】設(shè)阿外|=”，則阿周二2加，閨用=,

由點(diǎn)”在橢圓上，得24二|孫|+|加居|=3加，

又2c=b〃i,所以《=至=畫=巫.

la3m3

2.設(shè)P是橢圓*■+/=1(a>6>0)上任一點(diǎn)，月(-c,0),

瑪(c,0)為焦點(diǎn),4Pg=a,

NPRF=p.

(1)求證：離心率e=sm(a+/0；⑵求|咫『十忸人「的最值.

sina+sin￡

【解析】(1)由正弦定理得因=吧=、，

sinasin/}sin(a+夕)

由等比性質(zhì)得因1=/二咄㈣，所以戶」叫+啊,

sinasinpsina+sin/?sin(a+p)sincr+sin/}

所以c=2c=巧引=sin(a+0

2a|P/[+|P用sina+sin

(2)設(shè)儼胤==〃,貝！j加+〃=2a,所以

3

+\PF2|=加3+〃3=（加+〃兒%2_加〃+〃2）

=（m+〃）[（〃？+-3加〃]

=2〃（4]-3相〃）

=8/-6amn

將〃=2a-加代入上式，得

店片「+|Pg『=8"-6am（2a一〃7）=2a3+6a（〃?一,

5Cm=\PF]\e[a-c,a+c],所以：

當(dāng)用=Q時(shí)，|P￡『+|尸周3取得最小值2/；

當(dāng)〃2=Q+C或加=Q-C時(shí)，|尸片|3+|叫『取得最大值2/+6?2.

類型四：利用橢圓的定義求解最值問題

【例1】以橢圓二+且=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線/：x-y+9=0上一點(diǎn)M作橢圓，要使所作橢圓的

123

長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程.

分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直

線同側(cè)的兩已知點(diǎn)(即兩焦點(diǎn))的距離之和最小，而這種類型的問題在初中就已經(jīng)介紹過，只須利用對(duì)稱

的知識(shí)就可解決.

【解析】如圖所示，橢圓工+3=1的焦點(diǎn)為耳(-3,0),乙(3,0).

點(diǎn)耳關(guān)于直線/：x-y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-9,6),

直線尸用的方程為x+2y-3=0.

x+2y-3=0

解方程組得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-5,4).此時(shí)|孫|+|〃周最小.

x-y+9=0

所求橢圓的長(zhǎng)軸2〃=|.|+阿瑪=|五周=6

a=3>[5,又c=3,

/.b2=a2—c2=(3A/J)—32=36.

因此，所求橢圓的方程為三+4=1.

4536

【方法小結(jié)】解決本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義，將問題轉(zhuǎn)化為在已知直線上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線

同側(cè)兩已知點(diǎn)的距離之和最小.

【例2】⑴如果加是以4、8為焦點(diǎn)的橢圓?+上1上任一點(diǎn)，若點(diǎn)”到點(diǎn)與點(diǎn)8的

距離之差為s,則s的最大值是多少？

(2)如果M是以4、8為焦點(diǎn)的橢圓土+匕=1上任一點(diǎn)，若點(diǎn)/到點(diǎn)C與點(diǎn)8的距離之和

43

為s,貝Us的取值范圍是多少？

【解析】(1)||MC|-|A/5||<|5C|=y-,延長(zhǎng)8c與橢圓交于點(diǎn)。，

則當(dāng)"與。重合時(shí)，s取得最大、最小值正.

2

(2)eg』)，連結(jié)W，由橢圓定義可得：|網(wǎng)+|MC|=2a-|M4|+|MC|=4-(|M4卜M|),

由||四|-w=孚，得-半W4HMe區(qū)孚,

所以4-半目朋3|+M。降4+半，

叵

當(dāng)且僅當(dāng)力、M、C三點(diǎn)共線時(shí),取得最大、最小值，如上圖所示.故$

【變式訓(xùn)練】

22

1.已知P為橢圓a+}=1(a>6>0)的上一點(diǎn)，求1Ml的最大值.

I尸"+1尸乙|丫

【解析】由點(diǎn)P在橢圓上，得|「耳|+|仍|=20,所以|列訃儼用W2

2J一a

當(dāng)且僅當(dāng)|明|=|尸61=。時(shí)，|P周［PGl取得最大值/(此時(shí)為P橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)).

類型五：利用定義構(gòu)造橢圓解題

【例1】(2017年浙江高考第15題)

已知向量B滿足|萬|=1,\b\=2,則B+.+歸-4的最小值是,最大值是.

【答案】4,2^5

【解法1］作麗=不，點(diǎn)尸在單位圓上，設(shè)點(diǎn)B(2,0),C(-2,0),則歸+閘+口-可=|P3|+|PC|,

點(diǎn)P在橢圓1+/=1上，|P5|+|P'C|=2括，

顯然|尸例|+|尸。仔|尸到+甲。|=2石，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上下頂點(diǎn)等號(hào)成立;

又歸卻+|PC|》忸C|=4,.?.根+可+*可的最小值是4,最大值是2遙.

【解法2】作a=1,OA'=-a,OB=b,則罰=Z+B,BA=a-b

|?+b|+|?-i|>max||(5+b)+{a-研：

|(1+B)-(a-研=max{2同,2忖}=4；

點(diǎn)8既在半徑為2的圓上，又在焦距為2的橢圓上，且歸+可+忖-閘表示的長(zhǎng)軸,

當(dāng)橢圓與圓相切時(shí)，短軸最長(zhǎng)，此時(shí)長(zhǎng)軸也是最長(zhǎng);

歸+可+,-可的最小值是4,最大值是26.

【方法小結(jié)】?jī)蓚€(gè)解法都是通過構(gòu)造橢圓，轉(zhuǎn)化為定圓上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的最值問題.

【例2】A/LBC中,角4民C的對(duì)邊分別為。，＞c,若sinZ+sin8+AsinZsinB=0,且a+b=2c,則

2的最大值為.

【解析】由條件a+b=2c可構(gòu)造橢圓三+A=1,其中q=c,c1--c,b}=^-c,如圖所示.

a}b}22

因?yàn)閟in/+sin8+/IsinZsin8=0,所以a+b+aasinB=0,所以；1=——=,其中//為力8邊

asin5h

上的高.

當(dāng)〃取得最大值時(shí)，義最大.顯然〃2=4=且。，^4.=--=--^=-—■

2磯百3

【方法小結(jié)】該法同樣通過構(gòu)造橢圓來解決問題.

【變式訓(xùn)練】

1.銳角A48c中，BC=2,sinB+sinC=2sin4,求8c邊上的中線4。的取值范圍.

【解析】由sinB+sinC=2sin/得，\AB\+\AC\^2\BC\=^>\BC\,

?2

故4在以8,C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，橢圓方程為：+9=1

又A43c為銳角三角形，所以-3<x<3,

22

4的軌跡方程為《+Jx<口，

43I22）

當(dāng)A為短軸頂點(diǎn)時(shí)，AD最短，此時(shí)=V3；

時(shí)，Xq=孚，故|/。怛Vi,

當(dāng)力坐標(biāo)為

三、鞏固練習(xí)

1.（1）方程J（X-3）2+/+J（X+3）2+V=10表示的曲線是,其標(biāo)準(zhǔn)方程是

（2）方程J（X-3）2+J?+J（X+3）2+J?=6表示的曲線是,其方程是O

（3）方程J（X-3）2+/+"（X+3）2+/=4表示的曲線,

（4）方程+3-3）2+JY+3+3）2=10表示的曲線是,其標(biāo)準(zhǔn)方程是。

2.已知橢圓三+乙=1上一點(diǎn)到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）

169

A.1B.2C.4D.6

22

3.已知大，鳥是橢圓器+卷=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過片的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，則△MN工的周長(zhǎng)為（）

A.8B.16C.25D.32

4.己知耳分別是橢圓工+匕=1的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且乙466=45。，則的面積為

（）

A.7B.-C.-D.—

422

5.過點(diǎn)42,0）與圓=16相內(nèi)切的圓的圓心p的軌跡是（）

A,橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

6.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-百,0),(百,0),并且經(jīng)過點(diǎn)(2,1),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

7.已知△NBC的周長(zhǎng)是16,4(-3,0),8(3,0)則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是()

x2V2

AY+LIB+=1D.—+2—=l(y^0)

2516',+(=BT6i?1625

頂點(diǎn)B在橢圓占+金=1上，則

8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A48C頂點(diǎn)工(-4,0)和C(4,0),

259

sin4+sinC

sin8

9.已知/、B、C是直線/上的三點(diǎn)，且以a=忸［=6,。。'切直線/于點(diǎn)力,又過B、C作00,異于/

的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)p,求點(diǎn)尸的軌跡方程.

10.(2012廣州二模)已知對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓G與拋物線G：d=4y有一個(gè)相同的焦點(diǎn)E，直

線/;y=2x+"7與拋物線G只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)求直線/的方程；

(2)若橢圓G經(jīng)過直線/上的點(diǎn)尸，當(dāng)橢圓G的的離心率取得最大值時(shí)，求橢圓G的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo).

四、鞏固練習(xí)參考答案

1.【答案】(1)橢圓，—+^-=1；(2)線段，y=0(-3WxW3)；(3)不存在；⑷橢圓，匕+二=1.

2516\'2516

2.【答案】D；【解析】由橢圓方程知2a=8,|黨|=2,|"月|=2a-2=6.

3.【答案】B.

4.【答案】C.【解析】a=3,b=y/7,c=>/2,設(shè)|力耳|=〃?，則〃=6-m，

22

在\AF}F2中，由余弦定理得(6一〃ip=m+(2c)一2x2cx〃?cos45°,

、7

即(6—=〃/+8—4加，解得〃？=5，

故=；x2cX〃?sin45。='全字=人

5.【答案】A.

6.【答案】w+廣=1.

63

7.【答案】B

8.【答案】

4

9.【解析】設(shè)過3、C作。。'異于/的兩切線分別切。。'于。、E兩點(diǎn),兩切線交于點(diǎn)尸.

由切線的性質(zhì)知：|必=|比|PD|=|PE|,|。|=|儂,

故|p@+|PC|=\BD\+\PD\+\PC\=怛a+|PE|+|PC|=|網(wǎng)+|C￡|=|/回+|C/|=6+12=18>6=|8C|,

故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，

以/所在的直線為x軸，以8c的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系,

■）?

可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：工+匕=1

8172

10.【解析】

（1）解法1：由卜=2x+m,消去歹，得X2_8X-4〃?=0.

[x2=4y

?.?直線/與拋物線G只有一個(gè)公共AA=82+4x4/77=0,解得加=—4.

.?.直線/的方程為y=2x-4.

解法2：設(shè)直線/與拋物線C2的公共點(diǎn)坐標(biāo)為（X。/。），

由y=得y'=gx,；?直線/的斜率％=川工巾=；.%.依題意得;x（）=2,解得x0=4.

把々=4代入拋物線G的方程，得盟=4.

,點(diǎn)（x。,％）在直線/上，4=2x4+m,解得切=-4.

.?.直線/的方程為y=2x-4.

（2）解法1：:拋物線6的焦點(diǎn)為4（01），

依題意知橢圓C,的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為片（0,1）,^（0,-1）.

設(shè)點(diǎn)￡（0,1）關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為耳'（%,%）,

AZ1X2=_1

則J演）解得點(diǎn)耳’（4,一1）.

A11=2X^-4

22

...直線/與直線耳￡：y=-1的交點(diǎn)為片?

由橢圓的定義及平面幾何知識(shí)得：

橢圓G的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2”|產(chǎn)制+歸用=,川+1尸周耳￡園=4,

其中當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)號(hào)重合時(shí)，上面不等式取等號(hào).

.?.心2.：.e=-^~.

a2

故當(dāng)。=2時(shí)，[=2

此時(shí)橢圓G的方程為（+5=1，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為0，一1）.

解法2：???拋物線G的焦點(diǎn)為耳（。,1），

依題意知橢圓C,的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為4（0,1）,月（0,-1）,

設(shè)橢圓G的方程為與十==1（。>1）,

aa-1

y=2x-4

由廠/=1消去y，得（5/-4卜2-16（/_1卜+（/_1）（16—叫=0.（*）

由4=[16（/_1）了_4（5。2_4）（/_1）（16_*》0,

得5/-20/20.解得/24.：.a>2.：.e=-^：-.

a2

12r2

當(dāng)4=2時(shí)，%、=；,此時(shí)橢圓G的方程為3v+3=1.

把〃=2代入方程（*）,解得x=；,y=-[.

...點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（之,

第2講雙曲線的定義及其應(yīng)用

一.問題綜述

本講梳理雙曲線的定義及其應(yīng)用.

(一)雙曲線的定義：

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)片、鳥的距離之差的絕對(duì)值等于定值2a(0<2a<山周)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距.

(二)雙曲線定義的應(yīng)用

主要有下面幾方面的應(yīng)用：

1.判斷軌跡形狀；2.求標(biāo)準(zhǔn)方程；3.求最值或范圍.

二.典例分析

類型一：判斷軌跡形狀

【例1】已知乙是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)〃滿足|孫|-也8匕8,且|66|=10則點(diǎn)M的軌跡為()

A.雙曲線B.直線C.圓D.射線

【解析】由題意得|-|仍|=8<|不用|=10,所以點(diǎn)"的軌跡為雙曲線。

【方法小結(jié)】緊扣橢圓的定義進(jìn)行判斷：

設(shè)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)耳、心的距離之差的絕對(duì)值等于定值2a(a>0),即||岫||=2a,

(1)若0<2a<|4g],則點(diǎn)"的軌跡是雙曲線(包括兩支).

(2)若|加不-|知6|=2。，則點(diǎn)〃的軌跡是雙曲線的一支；^\MF2\-\MFl\=2a,則點(diǎn)M的軌跡是雙曲

線的另一支.

(3)若2a=|耳閭，則點(diǎn)〃的軌跡是兩條射線.

(4)若2a>|百月則點(diǎn)〃的軌跡不存在.

【變式訓(xùn)練】

1.方程J(X-6)2+T-J(X+6)2+T=8表示的曲線是?其標(biāo)準(zhǔn)方程是.

2.方程J(x-6>+T-J(x+6>+丁=12表示的曲線是,其方程是.

3.方程J(x-6)2+y2-J(x+6)2+T=14表示的曲線.

【答案】1.雙曲線的左支，上一匕=l(xW—4)；

1620'7

2.兩條射線，y=0(x24或xW-4)；

3.不存在.

類型二：利用雙曲線的定義求軌跡方程

3

【例1】A48C中，5(-5,0),C(5,0),且sinC—sin8=ysin4,求點(diǎn)力的軌跡方程.

33

【解析】由sinC-sinB=—sin4,得27?sinC—2RsinB=—ZAsin/l,

55

：.\AB\-\AC\=^BC\,即MM=6,

???點(diǎn)力的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點(diǎn))，

V2a=6,2c=10,/?a=3,c=5,6=4,

所求軌跡方程為片-上=l(x>3).

916

【方法小結(jié)】由于sin4,sin5,sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R(火為ZU8C外接圓半徑)，

可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的關(guān)系.再根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.結(jié)合定義求軌跡方

程是一種重要的思想方法.

Y24V2

【例2】已知雙曲線/--?=1的左右焦點(diǎn)分別是耳，工，。是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過百作N片。用

的平分線的垂線，求垂足"的軌跡.

【解析】設(shè)點(diǎn)用的坐標(biāo)為(匕田，

延長(zhǎng)與耳加交于點(diǎn)7,連接OM

QM平分NF\QF2,且0M_L耳加，

二\QF^\QT\,\FtM\=\MT\,\/

又?.?點(diǎn)。是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，XXDJ//

\QF\-\QF^\QT\-\QF^2a,—尸)^爹巴之

A\Fj\^2a,：.\OM\^a,即點(diǎn)A/在以。為圓心，a為半徑的圓上./：/

'：當(dāng)點(diǎn)。沿雙曲線右支運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處時(shí)，趨近于雙曲線的漸近線，

...點(diǎn)M的軌跡是圓弧C8O,除去點(diǎn)C和。，方程為/+/=9卜竽<x43.

【方法小結(jié)】求軌跡與軌跡方程的注意事項(xiàng)

(1)求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即戶點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，

因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜，變中求不變.

(2)求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢臉是否增解(即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)

不在軌跡上)，又要檢驗(yàn)是否丟解(即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示).檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動(dòng)中的

特殊情形或極端情形.

【變式訓(xùn)練】△/8C的頂點(diǎn)/(-5,0)、5(5,0),△NBC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程

是（）

方*白>4）

D.

【解析】如圖=|/同=8,\BF\=\BE\=2,|CD|=|CF|,

所以卜|CB|=8_2=6〈卜卻=10.

根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以4、8為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支,

方程為'——=l（x>3）.

916v）

類型三：焦點(diǎn)三角形中的計(jì)算問題

2，

【例1】已知尸是雙曲線看弋句上一點(diǎn)，耳，片是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若陷=17,則附|的

值為.

【解析】由雙曲線方程—二=1知，。=8,6=6,則c=[a2+1、=10.

6436

；產(chǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，.?』尸耳|-|尸司=24=16,又歸周=17,，|尸馬=1或歸用=33.

又|Pg|2a-c=2,二|尸乙|=33.

【例2】已知雙曲線C:5-5=l的左、右焦點(diǎn)分別為丹、區(qū)，尸為C右支上的一點(diǎn)，且|尸周=|耳居|，

則斗心的面積等于（）

A.24B.36C.48D.96

【解析】依題意得歸&=|耳閭=10,由雙曲線的定義，得歸用一歸闖=2a=6,「用=16.

【方法小結(jié)】關(guān)鍵抓住點(diǎn)P為雙曲線C右支上的一點(diǎn)，從而有|明卜|「周=2a,再利用|P用=|耳周，進(jìn)

而得解.雙曲線上一點(diǎn)尸與雙曲線的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，

利用定義和余弦定理可求歸用忖周；通過整體代入可求其面積等.

【變式訓(xùn)練】

222

1.設(shè)橢圓工+2=1和雙曲線匕-/=1的公共焦點(diǎn)分別為耳、F,尸為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則

2m32

I尸耳卜|尸用的值等于.

【答案】3.

【解析】焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±2）,由此得用-2=4,故機(jī)=6.根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得

|不|+歸用=2灰，|仍用-|P用|=26I.兩式平方相減，得4「耳卜歸閭=12,歸耳卜|尸閭=3.

22

2.設(shè)片、鳥分別是雙曲線C:￡-*=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，以耳心為直徑的圓與雙曲線C在第

二象限的交點(diǎn)為尸，若雙曲線C的離心率為5,貝UcosNPE￡=()

3c3「4r5

AA.—B?—C?—D.—

5456

【答案】c.

【解析】依題意可知「片_LP心，設(shè)|尸用=見歸用=”，

由雙曲線定義知：m-n=2a①；

由勾股定理得：m2+n2=4c2②；

又由離心率：e=-=5③，

a

三式聯(lián)立解得m=Sa,故cosNPF'F]=J—H-=———=—.

比周2x5a5

3.已知月、&為雙曲線C:X2-J?=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在C上，|「周=2|P用，則cos4；Pg=()

【答案】C.

【解析】由雙曲線的定義有|「用-|P周=2a=2近，；.|PE|=2|尸周=4五，

則叫"-膏I=回+產(chǎn)廠=.

2

'2\PF]\-\PF2\2x4必2也4

4.已知△/8P的頂點(diǎn)力，3分別為雙曲線蘭-仁=1左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)尸在雙曲線上，則.m..sin、的

169sinP

值等于()

A.-B.—C.-D.近

544

【答案】A.

【解析】在中，由正弦定理知回上必=粵半1=之=&=±

sinP\AB\2C105

r225

5.已知產(chǎn)是雙曲線C：F■v-方=1(。>0]>0)上的點(diǎn)，片、鳥是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是：，且

可笆=0,若△尸片層面積為9,則“+b的值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C.

【解析】由西?西=0,得兩_L至，設(shè)設(shè)|尸耳|=加，|尸用=〃，不妨設(shè)設(shè)加>〃，則機(jī)2+7=牝2,

m-n=2a,—mn-9?—=—,解得4，b=yjc2-a2=3,:.a+b=1.

2a4c=5

類型四：利用雙曲線的定義求離心率

【例1】已知雙曲線C：m-4=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過片的直線與圓/+/=/相

切，與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)/,B,若|/同=忸周，則C的離心率為（）

A.55+26B.5+273C.GD.75

【解析】依題意|/邳=忸/訃則|明|=|明網(wǎng)=忸周-忸瑪|=2a,所以

|/回=M耳|+2a=4a,

又直線8耳與圓/+/=/相切，故

sinZAFtO=-,所以COS/Z￡O=2,

cc

在△/片鳥中，由余弦定理得

cos4尸。-。爐+（2。）、（時(shí)J

12-2a-2cc

化簡(jiǎn)得c2-3Y=2而,所以2a2-2仍=0,即

所以白=1+仆2=1+百，于是e=￡=

aaa

r22

【變式訓(xùn)練】已知￡,寫為雙曲線:?-v方=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為雙曲線C上一點(diǎn)，且

PFJPF?,ZPE工=30。，則雙曲線的離心率為.

\PF-,\=y/3c,所以=與='^---------

【解析】依題意可得|P￡|=c,2-=—^--=-73+1.

112a配|-|叫|出c-c

類型五：利用雙曲線的定義求范圍或最值

【例1】如圖，"是以X、B為焦點(diǎn)的雙曲線X2-J?=2右支上任一點(diǎn)，若點(diǎn)〃到點(diǎn)C（3,l）與點(diǎn)8的

距離之和為s,則s的取值范圍是（）

A.[V26+V2,+<?）B.[V26-2>/2,+oo）

C.[后-2?后+20）D.[后-&,+8）

【解析】連結(jié)減1,由雙曲線的第一定義可得：

\MB\+\MC\=\MA\-2a+\MC\=|M4|+\MC\-2y[2\AC\-2y/2=426-272

當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.故選B.

【例2】如圖，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（_正,0）,8是圓一指丫=1上的點(diǎn)，點(diǎn)朋■在雙曲線/-匕=i右

支上，求+用的最小值，并求此時(shí)〃點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為心,0）,則點(diǎn)/,。為雙曲線的焦點(diǎn)，

\MA\-\MD\=2a=2,所以|腸1|+|朋8|=2|歷用+|歷。]22+忸。|,/M

???8是圓f+（y-有?=1上的點(diǎn)，其圓心為c（o,6），半徑為1,

故忸必）|CD|—I=JK）_I,|S￡）|>|CD|-I=VIO-I,

從而|A//|+|MB|22+[8￡）|=布+1,

當(dāng)M,B在線段CD上時(shí)取等號(hào)，此時(shí)+\MB\的最小值為710+1.

?.?直線CD的方程為夕=-》+石，因點(diǎn)〃在雙曲線右支上，故x>0,

-#)+4垃

22X=--------------

Ux-y=43

由方程組,解得

46-4五'

,y=-x+

所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為（*迪,*±但）?

【方法小結(jié)】在求解有關(guān)圓錐曲線的最值問題時(shí)，如果用函數(shù)觀點(diǎn)求解會(huì)困難重重.利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)

化，則勢(shì)如破竹，能起到出奇制勝的效果。

【變式訓(xùn)練】尸為雙曲線/-（=1右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x+4）2+/=4和（X-4）2+/=I上的

點(diǎn)，則歸根-|PN|的最大值為.

【解析】?jī)蓤A圓心片（TO）和瑪（4,0）恰為雙曲線/-卷=1的兩焦點(diǎn).當(dāng)1PM最大且歸兇最小時(shí)，

1PM-|PN|最大.|尸劃的最大值為尸到圓心片的距離仍用與圓月半徑之和，即1PMi=|尸制+2,

同樣1PMmm=IP用T，故-|印|的最大值為：（|吐|+2）-（|P用-1）=|P耳|-忸局+3=2a+3=5.

類型六：構(gòu)造雙曲線解題

【例3】已知△/8C中，為8c邊上的中線，且滿足=BC=4,求點(diǎn)/到直線8c

距離的最大值.

【解析】以M為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示.

，v2

設(shè)NM=2a,則/點(diǎn)為雙曲線從=-方=l（a>0,b>0）（其中/+/=4）