2023高考數(shù)學(xué)大二輪刷題-理數(shù)第二部分解答題(四)

解答題(四)

17.(2021?全國甲卷)甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品

和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,

產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表:

一級品二級品合計

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

n(ad-be)2

附：K2

3+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解(1)設(shè)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別為PT,尸2,貝IJP\

150八120“

=200=0-75,P2=2OO=0-6-

(2)根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)，得

,400x(150x80-50x120)2400

K'=-200x200x270x130—="^10-256,

因為10.256〉6.635,所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)

品質(zhì)量有差異.

18.(2021?“江南十校”聯(lián)考)已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛廝｝滿足m=l,優(yōu)+i

=屈+2(斯+1+an).

(1)求｛&〃｝的通項公式；

(2)記為=I?,求數(shù)列｛兒｝的前〃項和

7即+、1%+1

解(1)由題意，得欣+1-優(yōu)=2(〃"+1+4"),

即(斯*1+。")(詼+1-an)=2(。"+1+an),

又?jǐn)?shù)列僅"｝的各項均為正數(shù)，

即斯+1+圓和，則圓+1-?！?2,

二.｛斯｝的公差為2,而0=1,故斯=2〃-1.

(2)由⑴知a=

弋L斯+I弋出+1

1及+12n-1

yj2n-1+，2〃+12

=

.Snb\+.+bn=—1)+(yj~5—y/3)+(yjl—yj~5)+...+(yj2T?+1—

i-----\l2n+1-1

yJ2n-1)]=2-

19.(2021?安徽六校教育研究會高三聯(lián)考)如圖，在四棱臺A5CO-436□中，

底面四邊形A3CD為菱形，AAi=A\B\=|AB=1,ZABC=60°,A4il平面ABCD

(1)若點(diǎn)M是A。的中點(diǎn)，求證：CiMlAiC；

(2)棱BC上是否存在一點(diǎn)已使得二面角E-ADL。的余弦值為|?若存在,

求線段CE的長；若不存在，請說明理由.

解(1)證明：取3C的中點(diǎn)Q,連接A。，AC,

?.?四邊形A8CD為菱形，：.AB=BC,ADIIBC,

又/ABC=60。，」.△ABC為等邊三角形，

???。為8C的中點(diǎn)，」.AQIBC,

■：ADIIBC,：.AQ1AD,

由于A411平面498,故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AQ,AD,A4i所在直線分別

為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則A(0,0,0),4(0,0,1),￡>.(0,1,1),0(小，0,0),6(73,1,0),C當(dāng),g,1),

M(0,l,0),

E=(-乎,I，-1),杭=(小，1,-1),

31

=-?+]+(-1)2=0,：.C\M]_A\C.

⑵假設(shè)點(diǎn)E存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(小，晨0),其中-上把1,碇：=巾，入,

0),協(xié)=(0,1,1),

設(shè)平面AD1E的法向量為〃=(x,y,z),

n-Ak=0,小x+Ay=0,

貝獷即1八

?^1=0,〔y+z=o.

取y=一仍，則x=2,z=小，：.n=(2,一小，小).

平面ADD\的一個法向量為m=(1,0,0),

|山〃||z|

|cos<mtn>|

又二面角E-AU-。為銳二面角，由圖可知，點(diǎn)E在線段QC上，所以4=

2-BPCE=1-2-

因此，棱上存在一點(diǎn)已使得二面角E-ADi-O的余弦值為:，此時CE

20.(2021.四川成都石室中學(xué)一診)如圖，已知橢圓C:1+力=1(。>8>0)的上

頂點(diǎn)為A(0,1),離心率為七.

⑴求橢圓。的方程；

(2)若過點(diǎn)A作圓M：(x+1)2+尸=/(圓M在橢圓C內(nèi))的兩條切線分別與橢

圓C相交于伉。兩點(diǎn)但，。不同于點(diǎn)A),當(dāng)/?變化時，試問直線8。是否過某

個定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由.

々cI—1?加b11

解⑴人=[\1-7=2'-■?=2-

又由題設(shè)知匕=1,二。=啦.

?

故橢圓c的方程是5+V=L

(2)由題意知，切線斜率存在，設(shè)切線方程為>=日+1,

則有

即(1-r2)^2-2k+1-r2=0,

設(shè)兩條切線的斜率分別為由,fe,于是左,心是方程(1-戶次2-2左+1-d=0

的兩根，故左伙2=1.

設(shè)直線BD的方程為y=nvc+/依1),

y=mx+t,

由彳，，1+2/n2)%2+Atmx+2Z2-2=0,

[A2+2/=2,

1=16加2一8尸+8〉0,

-4mf2?-2

：.X\+X2=~.~X\X2=；_

1+2加1+2mz

y_]y2T

又k\kz=X\'Xi1,

即(nui+t-l)(mi2+f—1)=xi%2

=>(>n2-l)xi%2+m(t-1)(xi+M)+(/-I)2=0

_2(於一1)-4mtc

=5-D，T7^+雙j)T7^+(j)=0

=，=-3.

，直線8。過定點(diǎn)(0,-3).

21.(2021.江西六校聯(lián)考)定義在(0,+8)上的函數(shù)/^)=。。-1)為犬-已1+

x(其中a€R).

⑴若a=0,求式x)的最大值；

(2)若函數(shù)段)在％=1處有極小值，求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)若a=0,則犬尤)=-e'T+x,求導(dǎo)得[(x)=-e*T+1,

令/(x)>0,得0<x<l;令_f(x)<0,得x>l,

所以函數(shù)/U)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以x=l時，,*x)取得極大值也是最大值，

式X)max=*)=-e°+1=0.

(2/(x)=a(lnX+1-：)一e'T+1,

其中八1)=0,

令h(x)=a(lnx+1--ev-1+1,

則廳(x)=a(：+3一e，T,

當(dāng)好0時，廳(x)<0,則函數(shù)/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減，又/(1)=0,

所以x€(0,l)時，/(x)>0,於)單調(diào)遞增；

%€(1,+◎時，/(x)<0,段)單調(diào)遞減，

即人》)在》=1處有極大值，與題干矛盾，

故/0不符合題意；

當(dāng)a>0時，令*x)=/?x)=]+5-ei,

12

則t\x)=a-『一7一e*T,顯然r,(x)<0,

則廳(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

而"⑴=a(l+l)-e0=2a-l.

①當(dāng)0<W時,h\\)=2a-1<0,

故當(dāng)x€(l,+8)時，h'(x)<h\l)<0,此時了(x)單調(diào)遞減，

所以/(x)4(l)=0,故/W在(1,+8)上單調(diào)遞減，

顯然於)在》=1處不可能有極小值，故0<懸不滿足題意;

②當(dāng)。當(dāng)時，廳(1)=2。-1>0,

故當(dāng)x6(0,l)時，h\x)>h\l)>0,此時了(x)單調(diào)遞增,

所以尤6(0,1)時,/(x)<f(l)=0,即/)在(0,1)上單調(diào)遞減,

由(1)知，一e"T+爛0,即e'T又，則e"Na+l,

所以代a+1)=仇*+^77]一e。-[*+-(?+1)=

~(a3+2a2+a+1)

<0,

3+I)2

因為小(1)>0,加伍+1)<0,所以存在xo€(l,a+1)使得/加=0,

則%€(1,&)時，h'(x)>0,即/㈤單調(diào)遞增,

所以無€(1,所時，/。)次1)=0,即於)在(1,xo)上單調(diào)遞增,

所以兀c)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,次)上單調(diào)遞增，

故外)在尤=1處取得極小值.

綜上所述，若函數(shù)式外在x=l處有極小值，則

x=6cos<9,

22.在直角坐標(biāo)系xOy中,圓錐曲線C的參數(shù)方程為(0為參

y=o3sm夕n

數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相

同的長度單位，曲線C2的極坐標(biāo)方程為(pcoss+Z)2+Ssins-2)2=^+25”為參

數(shù),底R).

(1)寫出C,。2的直角坐標(biāo)方程；

(2)是否存在曲線C2包圍曲線G?請說明理由.

92

解⑴G的直角坐標(biāo)方程為端+5=1,C2的直角坐標(biāo)方程為F+V+2依-

4y—2