高中數學北師大版(2022)角函數2任意角角的概念推廣象限角及其表示

2.1角的概念推廣

2.2象限角及其表示課標闡釋

1.理解正角、負角和零角的概念.(數學抽象)2.掌握象限角的特征及其表示方法.(數學抽象)3.理解終邊相同的角的概念,會表示終邊相同的角的集合.(邏輯推理)思維脈絡

激趣誘思知識點撥當鐘表慢了或快了時,我們會將分針按某個方向轉動,把時間調整準確.在調整的過程中,你能分析出分針轉動的角度有什么不同嗎?在體操或跳水比賽中,運動員會做出“轉體兩周”“向前翻騰兩周半”等動作,做上述動作時,你知道運動員轉體多少度嗎?激趣誘思知識點撥一、角的概念推廣1.角的概念平面內一條射線OA繞著它的端點O按箭頭所示方向旋轉到終止位置OB,形成角α.其中點O是角α的頂點,射線OA是角α的始邊,射線OB是角α的終邊.激趣誘思知識點撥2.角的分類:按旋轉方向可將角分為如下三類:名師點析1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡記成“α”.2.角的范圍由0°~360°推廣到任意角后,角的加減運算就類似于實數的加減運算.激趣誘思知識點撥微練習1用任意角表示下列各角:(1)順時針擰螺絲1圈轉過的角為

;

(2)將時鐘撥慢2h,分針轉過的角為

.

答案(1)-360°

(2)720°微練習2下列說法正確的是(

)A.最大角是180° B.最大角是360°C.角不可以是負的 D.角可以任意大小解析由角的定義,角可以是任意大小的.故選D.答案D激趣誘思知識點撥二、象限角在平面直角坐標系中研究角時,角的頂點在坐標原點,始邊在x軸的非負半軸.以角的終邊(除端點外)在平面直角坐標系的位置對角分類:角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.名師點析1.在角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合的前提下,才能對象限角進行定義,否則不能判斷角的終邊在哪一個象限,也就不能稱作象限角.2.若角的終邊落在坐標軸上,則這個角不屬于任何象限.激趣誘思知識點撥微練習下列各角是第三象限角的是(

)

A.15° B.105°C.215° D.315°解析因為215°=180°+35°,所以215°是第三象限的角.故選C.答案C激趣誘思知識點撥三、終邊相同的角一般地,給定一個角α,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一個與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與周角的整數倍的和.名師點析理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下幾點:(1)式中角α為任意角;(2)k∈Z這一條件必不可少;(3)k·360°與α之間是“+”,如k·360°-30°應看成k·360°+(-30°),即與-30°角終邊相同;(4)當α與β的終邊相同時,α-β=k·360°(k∈Z),反之亦然.激趣誘思知識點撥微思考160°,-660°,-300°,420°,780°的角的終邊有什么關系?提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°,420°=60°+360°,780°=60°+2×360°.微思考2如何表示與60°終邊相同的角的集合?提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三當堂檢測角的概念推廣例1下列命題中,是真命題的是(

)A.終邊與始邊重合的角是零角B.終邊和始邊都相同的兩個角一定相等C.象限角為鈍角的終邊在第二象限D.小于90°的角是銳角解析終邊與始邊重合的角還可能是360°,720°,故A錯;終邊和始邊都相同的兩個角可能相差360°的整數倍,如30°與-330°,故B錯;鈍角的范圍是(90°,180°),鈍角的終邊在第二象限,C正確;小于90°的角可以是零角,也可以是負角,故D錯誤.故選C.答案C探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

概念辨析問題的求解方略對于概念辨析題,一是利用反例排除錯誤答案,二是利用定義直接判斷.本題需要準確理解象限角、銳角、鈍角、終邊相同的角等基本概念才能作出正確的判斷.探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練1一個角為30°,其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度是多少?按順時針方向旋轉三周后又是多少?解終邊按逆時針方向旋轉三周,轉過的角度為360°×3=1

080°,所以按逆時針旋轉后的角度數是1

110°.同理按順時針方向旋轉三周后的角度是-3×360°+30°=-1

050°.探究一探究二探究三當堂檢測終邊相同的角例2寫出與75°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合360°≤β<1080°的元素β寫出來.解與75°角終邊相同的角的集合為S={β|β=75°+k·360°,k∈Z}.當360°≤β<1

080°時,即360°≤75°+k·360°<1

080°,又k∈Z,所以k=1,或k=2.當k=1時,β=435°;當k=2時,β=795°.探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

終邊相同的角的求解方法求與已知角α終邊相同的角時,要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定整數k的值,求出滿足條件的角.探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練2與-2020°角終邊相同的最小正角是

.

解析因為-2

020°=140°-6×360°,所以與-2

020°終邊相同的最小正角是140°.答案140°探究一探究二探究三當堂檢測象限角例3(1)分別判斷角α=-130°和β=-940°是第幾象限角.(2)若角α是第二象限角,試判斷180°-α及2α是第幾象限角.解(1)由于α=-130°=-360°+230°,即α角與230°角終邊相同,而230°是第三象限角,故α是第三象限角.由于β=-940°=-3×360°+140°,即β角與140°角終邊相同,而140°是第二象限角,故β是第二象限角.(2)由α是第二象限角可得,90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以180°-(180°+k·360°)<180°-α<180°-(90°+k·360°)(k∈Z),即-k·360°<180°-α<90°-k·360°(k∈Z).所以180°-α為第一象限角.同理,180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),所以角2α可能是第三、第四象限角或者終邊落在y軸的非正半軸上.探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

象限角的判定1.已知一個角的大小判斷其所在象限時,可先根據終邊相同的角的表示方法,找到在[0°,360°)內與之終邊相同的角,再確定其象限.2.已知角的終邊所在的象限,求待求角的終邊所在的位置時,通常首先根據所給已知角的范圍,得到待求角的范圍,然后判斷待求角終邊所在的位置.探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練3在0°~360°范圍內,找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限的角:(1)-120°;(2)660°;(3)-950°08'.解(1)因為-120°=240°-360°,所以在0°~360°范圍內,與-120°角終邊相同的角是240°角,它是第三象限角.(2)因為660°=300°+360°,所以在0°~360°范圍內,與660°角終邊相同的角是300°角,它是第四象限角.(3)因為-950°08'=129°52'-3×360°,所以在0°~360°范圍內,與-950°08'終邊相同的角是129°52',它是第二象限角.探究一探究二探究三當堂檢測1.(2020山東淄博高一期中)-215°是(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析因為-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,所以-215°是第二象限角,故選B.答案B探究一探究二探究三當堂檢測2.集合M={α|α=k·90°,k∈Z}中各角的終邊都在(

)A.x軸非負半軸上B.y軸非負半軸上C.x軸或y軸上D.x軸非負半軸或y軸非負半軸上解析當k=4n(n∈Z)時,α=n·360°;當k=4n+1(n∈Z)時,α=90°+n·360°;當k=4n+2(n∈Z)時,α=180°+n·360°;當k=4n+3(n∈Z)時,α=270°+n·360°.因此,集合M中各角的終邊都在x軸或y軸上.答案C探究一探究二探究三當堂檢測3.時間過了3小時20分,則鐘表的分針所轉過的角的度數為

,時針所轉過的角的度數為

.

答案-1200°

-100°探究