導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用（蘇教版選修）

一、填空題（每題4分，共24分）1.把長為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段,各自圍成一個正三角形,那么這兩個正三角形的面積之和的最小值是____.【解析】設(shè)其中一段細(xì)鐵絲長為xcm,則另一段長(12-x)cm.兩個正三角形的面積之和為S=f(x)=［x2+(12-x)2］=(2x2-24x+144)=(x2-12x+72)，x∈(0,12)，由S′=(2x-12)=0,得x=6,當(dāng)0<x<6時,S′<0,S=f(x)遞減,當(dāng)6<x<12時,S′>0,S=f(x)遞增,∴x=6是函數(shù)的最小值點(diǎn),此時f(6)=2cm2.答案：2cm22.要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則其高為____.【解析】設(shè)高為h,半徑為r,則r2=202-h2,V=πr2·h=·π·(400-h2)·h=πh3+πh，V′=-πh2+π=0時，h=根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的變化特點(diǎn)，知h=cm，體積最大.答案：3.做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為____.【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則πr2·h=27π,∴h=全面積S=πr2+2πr·h=πr2+2πr=πr2+S′=2πr-令S′=0,得r=3.當(dāng)0<r<3時，S′<0;當(dāng)r>3時，S′>0.∴r=3時，S最小.答案：34.某廠生產(chǎn)某種商品x單位的利潤是L(x)=500+x-0.001x2,生產(chǎn)____單位這種商品時利潤最大，最大利潤是____.【解析】求最大利潤，即求函數(shù)L(x)的最大值.∵L′(x)=1-0.002x.令L′(x)=0,即1-0.002x=0，得x=500,此時L(500)=750.由已知，L(x)在其定義域［0,+∞)上連續(xù)且只有一個極值點(diǎn)，所以可得生產(chǎn)500單位這種商品時利潤最大，最大利潤是750.答案：5007505.（2010·聊城高二檢測）設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為____.【解析】∵S表只有一個極值，故x＝為最小值點(diǎn).答案:6.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100元,已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是則總利潤最大時,每年生產(chǎn)的產(chǎn)量是____.【解析】由題意知總成本C(x)=20000+100x,∴總利潤為P=R(x)-C(x)=令P′=0,當(dāng)0≤x≤400時,得x=300,當(dāng)x>400時,P′<0恒成立.∴知當(dāng)x=300時,總利潤最大.答案：300三、解答題（每題8分，共16分）7.試驗表明,某型號的汽車每小時的耗油量y(升)與速度x(千米/小時)的關(guān)系式為y=3().已知甲乙兩地相距180千米,最高時速為V千米/小時.(1)當(dāng)車速為x(千米/小時)時,從甲地到乙地的耗油量為f(x)(升),求函數(shù)f(x)的解析式并指出函數(shù)的定義域;(2)當(dāng)車速為多大時,從甲地到乙地的耗油量最少.【解析】(1)f(x)=x∈(0,V].(2)f′(x)=解得x=90.若V≤90,有f′(x)≤0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,V]內(nèi)為單調(diào)減函數(shù),所以車速為V(千米/小時)時,從甲地到乙地的耗油量最小;若V>90,當(dāng)0<x<90時,f′(x)<0;當(dāng)90<x<V時,f′(x)>0,所以,當(dāng)x=90時,f(x)最小.綜上,若V≤90,車速為V(千米/小時)時,從甲地到乙地的耗油量最小;若V>90,車速為90(千米/小時)時,從甲地到乙地的耗油量最小.8.某商場預(yù)計2010年從1月份起前x個月，顧客對某種商品的需求總量p(x)件與月份x的近似關(guān)系是p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N*，且x≤12).該商品的進(jìn)價q(x)元與月份x的近似關(guān)系是q(x)=150+2x(x∈N*，且x≤12)，（1）寫出今年第x月的需求量f(x)件與月份x的函數(shù)關(guān)系式；（2）該商品每件的售價為185元，若不計其他費(fèi)用且每月都能滿足市場需求，則此商場今年銷售該商品的月利潤預(yù)計最大是多少元？【解題提示】(1)解答本題時寫出今年第x個月的需求量f(x)與月份之間的函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵，注意驗證x=1時的情況.(2)寫出月利潤的函數(shù)表達(dá)式后利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去求最大利潤.【解析】（1）當(dāng)x=1時，f(1)=p(1)=37；當(dāng)2≤x≤12時，f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)-(x-1)x·(41-2x)=-3x2+40x(x∈N*，且2≤x≤12).驗證x=1符合f(x)=-3x2+40x,∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*且1≤x≤12).（2）該商場預(yù)計銷售該商品的月利潤為g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)=6x3-185x2+1400x(x∈N*，1≤x≤12),g′(x)=18x2-370x+1400,令g′(x)=0，解得x=5,x=(舍去).當(dāng)1≤x＜5時，g′(x)＞0;當(dāng)5＜x≤12時，g′(x)＜0,∴當(dāng)x=5時，g(x)max=g(5)=3125（元）.綜上5月份的月利潤最大是3125元.9.(10分)已知函數(shù)f(x)=x+lnx.(1)求函數(shù)f(x)在［1,e2］上的最值；（2）對x∈D，如果函數(shù)F（x）的圖像在函數(shù)G（x）的圖像的下方，則稱函數(shù)F(x)在D上被函數(shù)G（x）覆蓋.求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間（1，+∞）上被函數(shù)g(x)=x2覆蓋.

【解題提示】F(x)在D上被G（x）覆蓋的真實含義是對對任意x∈D,f(x)＜G(x).【解析】（1）∵f′(x)=1+

>0在［1,e2］上恒成立，∴f(x)在［1,e2］上為增函數(shù).∴［f(x)］min=f(1)=1,［f(x)］max=f(e2