第七章 線(xiàn)性變換

第七章線(xiàn)性變換第一頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作當(dāng)代數(shù)和幾何結(jié)合成伴侶時(shí)，他們就相互吸取對(duì)方的新鮮活力，并迅速地趨于完美。---拉格朗日（Lagrange,1736-1813）數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。---華羅庚（1910－1985）第二頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.1線(xiàn)性映射一、內(nèi)容分布

7.1.1線(xiàn)性映射的定義、例.

7.1.2線(xiàn)性變換的象與核.二、教學(xué)目的:1．準(zhǔn)確線(xiàn)性變換（線(xiàn)性映射）的定義，判斷給定的法則是否是一個(gè)線(xiàn)性變換（線(xiàn)性映射）．2．正確理解線(xiàn)性變換的象與核的概念及相互間的聯(lián)系，并能求給定線(xiàn)性變換的象與核．三、重點(diǎn)難點(diǎn):判斷給定的法則是否是一個(gè)線(xiàn)性變換（線(xiàn)性映射），求給定線(xiàn)性變換的象與核．第三頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.1.1線(xiàn)性映射的定義、例

設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，V和W是F上向量空間.

定義1設(shè)σ是V到W的一個(gè)映射.如果下列條件被滿(mǎn)足，就稱(chēng)σ是V到W的一個(gè)線(xiàn)性映射：①對(duì)于任意②對(duì)于任意容易證明上面的兩個(gè)條件等價(jià)于下面一個(gè)條件：③對(duì)于任意和任意第四頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作在②中取，對(duì)③進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納，可以得到：（1）（2）例1對(duì)于的每一向量定義

σ是到的一個(gè)映射，我們證明，σ是一個(gè)線(xiàn)性映射.例2令H是中經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)平面.對(duì)于的每一向量ξ，令表示向量ξ在平面H上的正射影.根據(jù)射影的性質(zhì)，是到的一個(gè)線(xiàn)性映射.第五頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例3令A(yù)是數(shù)域F上一個(gè)m×n矩陣，對(duì)于n元列空間的每一向量規(guī)定：

是一個(gè)m×1矩陣，即是空間的一個(gè)向量，σ是到的一個(gè)線(xiàn)性映射.第六頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例4令V和W是數(shù)域F上向量空間.對(duì)于V的每一向量ξ令W的零向量0與它對(duì)應(yīng)，容易看出這是V到W的一個(gè)線(xiàn)性映射，叫做零映射.例5令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，取定F的一個(gè)數(shù)k，對(duì)于任意定義容易驗(yàn)證，σ是V到自身的一個(gè)線(xiàn)性映射，這樣一個(gè)線(xiàn)性映射叫做V的一個(gè)位似.特別，取k=1，那么對(duì)于每一都有這時(shí)σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的單位映射，如果取k=0，那么σ就是V到V的零映射.第七頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例6取定F的一個(gè)n元數(shù)列對(duì)于的每一向量規(guī)定

容易驗(yàn)證，σ是到F的一個(gè)線(xiàn)性映射，這個(gè)線(xiàn)性映射也叫做F上一個(gè)n元線(xiàn)性函數(shù)或上一個(gè)線(xiàn)性型.例7對(duì)于F[x]的每一多項(xiàng)式f（x），令它的導(dǎo)數(shù)

與它對(duì)應(yīng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)，這樣定義的映射是F[x]到自身的一個(gè)線(xiàn)性映射.第八頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例8令C[a,b]是定義在[a,b]上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)所成的R上向量空間，對(duì)于每一規(guī)定

仍是[a,b]上一個(gè)連續(xù)實(shí)函數(shù)，根據(jù)積分的基本性質(zhì)，σ是C[a,b]到自身的一個(gè)線(xiàn)性映射.第九頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.1.2線(xiàn)性變換的象與核定義2設(shè)σ是向量空間V到W的一個(gè)線(xiàn)性映射,(1)如果那么叫做

在σ之下的象.(2)設(shè)那么叫做在σ

之下的原象.定理7.1.1設(shè)V和W是數(shù)域F上向量空間，而

是一個(gè)線(xiàn)性映射，那么V的任意子空間在σ之下的象是W的一個(gè)子空間，而W的任意子空間在σ之下的原象是V的一個(gè)子空間.第十頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作特別，向量空間V在σ之下的象是W的一個(gè)子空間，叫做σ的象,記為即另外，W的零子空間{0}在σ之下的原象是V的一個(gè)子空間，叫做σ的核，記為即第十一頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作定理7.1.2設(shè)V和W是數(shù)域F向量空間，而是一個(gè)線(xiàn)性映射，那么(i)σ是滿(mǎn)射(ii)σ是單射證明論斷(i)是顯然的,我們只證論斷(ii)如果σ是單射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量.反過(guò)來(lái)設(shè)ker(σ)={0}.如果那么從而所以即σ是單射.第十二頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作如果線(xiàn)性映射有逆映射，那么是W到V的一個(gè)線(xiàn)性映射.

建議同學(xué)給出證明.第十三頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.2線(xiàn)性變換的運(yùn)算

一、內(nèi)容分布7.2.1加法和數(shù)乘7.2.2線(xiàn)性變換的積7.2.3線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式二、教學(xué)目的:掌握線(xiàn)性映射的加法、數(shù)乘和積定義，會(huì)做運(yùn)算.掌握線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式,能夠求出給定線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式.三、重點(diǎn)難點(diǎn):

會(huì)做運(yùn)算.第十四頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.2.1加法和數(shù)乘令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，V到自身的一個(gè)線(xiàn)性映射叫做V的一個(gè)線(xiàn)性變換.我們用L（V）表示向量空間和一切線(xiàn)性變換所成的集合，設(shè)定義:加法:數(shù)乘:,那么是V的一個(gè)線(xiàn)性變換.可以證明:和都是V的一個(gè)線(xiàn)性變換.令，那么對(duì)于任意和任意證明

第十五頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作所以是V的一個(gè)線(xiàn)性變換令，那么對(duì)于任意和任意所以kσ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換.第十六頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作線(xiàn)性變換的加法滿(mǎn)足變換律和結(jié)合律,容易證明,對(duì)于任意,以下等式成立:(1)(2)令θ表示V到自身的零映射,稱(chēng)為V的零變換,它顯然具有以下性質(zhì)：對(duì)任意有：(3)設(shè)σ的負(fù)變換－σ指的是V到V的映射容易驗(yàn)證，－σ也是V的線(xiàn)性變換，并且（4）第十七頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作線(xiàn)性變換的數(shù)乘滿(mǎn)足下列算律：這里k,l是F中任意數(shù)，σ,τ是V的任意線(xiàn)性變換.定理7.2.1

L（V）對(duì)于加法和數(shù)乘來(lái)說(shuō)作成數(shù)域F上一個(gè)向量空間.第十八頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.2.2線(xiàn)性變換的積

設(shè)容易證明合成映射也是V上的線(xiàn)性變換，即我們也把合成映射叫做σ與τ的積，并且簡(jiǎn)記作στ。除上面的性質(zhì)外，還有：對(duì)于任意成立。第十九頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作證明我們驗(yàn)證一下等式（9）其余等式可以類(lèi)似地驗(yàn)證。設(shè)我們有因而（9）成立。第二十頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.2.3線(xiàn)性變換的多項(xiàng)式

線(xiàn)性變換的乘法滿(mǎn)足結(jié)合律：

對(duì)于任意都有因此,我們可以合理地定義一個(gè)線(xiàn)性變換σ的n次冪

這里n是正整數(shù)。我們?cè)俣x這里ι表示V到V的單位映射，稱(chēng)為V的單位變換。這樣一來(lái)，一個(gè)線(xiàn)性變換的任意非負(fù)整數(shù)冪有意義。第二十一頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作進(jìn)一步，設(shè)是F上一個(gè)多項(xiàng)式，而以σ代替x，以

代替，得到V的一個(gè)線(xiàn)性變換這個(gè)線(xiàn)性變換叫做當(dāng)時(shí)f(x)的值，并且記作（1）因?yàn)閷?duì)于任意

我們也可將簡(jiǎn)記作，這時(shí)可以寫(xiě)第二十二頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作（2）帶入法：如果并且那么根據(jù)L(V)中運(yùn)算所滿(mǎn)足的性質(zhì),我們有第二十三頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.3線(xiàn)性變換和矩陣

一、內(nèi)容分布

7.3.1線(xiàn)性變換的矩陣

7.3.2坐標(biāo)變換

7.3.3矩陣唯一確定線(xiàn)性變換

7.3.4線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣—相似矩陣二、教學(xué)目的:

1．熟練地求出線(xiàn)性變換關(guān)于給定基的矩陣Ａ，以及給定n階矩陣Ａ和基，求出關(guān)于這個(gè)基矩陣為Ａ的線(xiàn)性變換．2．由向量α關(guān)于給定基的坐標(biāo)，求出σ(α)關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)．3．已知線(xiàn)性變換關(guān)于某個(gè)基的矩陣，熟練地求出σ關(guān)于另一個(gè)基的矩陣。三、重點(diǎn)難點(diǎn):

線(xiàn)性變換和矩陣之間的相互轉(zhuǎn)換,坐標(biāo)變換,相似矩陣。第二十四頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.3.1線(xiàn)性變換的矩陣

現(xiàn)在設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，令σ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，取定V的一個(gè)基令………第二十五頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作設(shè)N階矩陣A叫做線(xiàn)性變換σ關(guān)于基的矩陣.上面的表達(dá)常常寫(xiě)出更方便的形式:(1)第二十六頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.3.2坐標(biāo)變換設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間,是它的一個(gè)基,ξ關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是而σ(ξ)的坐標(biāo)是問(wèn):和

之間有什么關(guān)系?設(shè)第二十七頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作因?yàn)棣沂蔷€(xiàn)性變換，所以（2）將（1）代入（2）得第二十八頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作最后，等式表明，的坐標(biāo)所組成的列是綜合上面所述,我們得到坐標(biāo)變換公式：定理7.3.1令V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，σ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，而σ關(guān)于V的一個(gè)基

的矩陣是第二十九頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作如果V中向量ξ關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是，而σ(ξ)的坐標(biāo)是，那么第三十頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例1在空間內(nèi)取從原點(diǎn)引出的兩個(gè)彼此正交的單位向量作為的基.令σ是將的每一向量旋轉(zhuǎn)角θ的一個(gè)旋轉(zhuǎn).σ是的一個(gè)線(xiàn)性變換.我們有所以σ關(guān)于基的矩陣是設(shè)，它關(guān)于基的坐標(biāo)是,而的坐標(biāo)是.那么第三十一頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.3.3矩陣唯一確定線(xiàn)性變換

引理7.3.2設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，

是V的一個(gè)基，那么對(duì)于V中任意

n個(gè)向量，有且僅有V的一個(gè)線(xiàn)性變換σ，使得:證

設(shè)是V中任意向量.我們?nèi)缦碌囟xV到自身的一個(gè)映射σ：第三十二頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作我們證明，σ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換。設(shè)那么于是設(shè)那么第三十三頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作這就證明了σ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換。線(xiàn)性變換σ顯然滿(mǎn)足定理所要求的條件：如果τ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，且那么對(duì)于任意從而■第三十四頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作定理7.3.3設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，是V的一個(gè)基，對(duì)于V的每一個(gè)線(xiàn)性變換σ，令σ關(guān)于基的矩陣A與它對(duì)應(yīng)，這樣就得到V的全體線(xiàn)性變換所成的集合L（V）到F上全體n階矩陣所成的集合的一個(gè)雙射，并且如果,而，則(3)

(4)證

設(shè)線(xiàn)性變換σ關(guān)于基的矩陣是A。那么是的一個(gè)映射。第三十五頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作是F上任意一個(gè)n階矩陣。令由引理7.3.2，存在唯一的使反過(guò)來(lái)，設(shè)顯然σ關(guān)于基的矩陣就是A.這就證明了如上建立的映射是的雙射.第三十六頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作設(shè)我們有由于σ是線(xiàn)性變換,所以因此所以στ關(guān)于基的矩陣就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是顯然的?！醯谌唔?yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作推論7.3.4設(shè)數(shù)域F上n維向量空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換σ關(guān)于V的一個(gè)取定的基的矩陣是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，并且關(guān)于這個(gè)基的矩陣就是.證設(shè)σ可逆。令關(guān)于所取定的基的矩陣是B。由（7），然而單位變換關(guān)于任意基的矩陣都是單位矩陣I.所以AB=I.同理BA=I.所以第三十八頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作注意到（5），可以看出同理所以σ有逆，而□反過(guò)來(lái)，設(shè)而A可逆。由定理7.3.3，有

于是我們需要對(duì)上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意義加以說(shuō)明:

1.取定n維向量空間V的一個(gè)基之后,在映射:

之下,(作為線(xiàn)性空間)第三十九頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作研究一個(gè)抽象的線(xiàn)性變換σ,就可以轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)具體的矩陣.也就是說(shuō),線(xiàn)性變換就是矩陣.以后,可以通過(guò)矩陣來(lái)研究線(xiàn)性變換,也可以通過(guò)線(xiàn)性變換來(lái)研究矩陣.

2.我們知道,數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間V同構(gòu)于,V上的線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為上一個(gè)具體的變換:也就是說(shuō),線(xiàn)性變換都具有上述形式.第四十頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.3.4線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣

——相似矩陣

定義：設(shè)A，B是數(shù)域F上兩個(gè)n階矩陣.如果存在F上一個(gè)n階可逆矩陣T使等式

成立，那么就說(shuō)B與A相似，記作：.n階矩陣的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：1.自反性：每一個(gè)n階矩陣A都與它自己相似，因?yàn)?.對(duì)稱(chēng)性：如果，那么；

因?yàn)橛傻谒氖豁?yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作3.傳遞性：如果且那么事實(shí)上，由得設(shè)線(xiàn)性變換σ關(guān)于基的矩陣是A,σ關(guān)于基的矩陣是B,由基

到基的過(guò)渡矩陣T,即:第四十二頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作定理7.3.4在上述假設(shè)下,有:即:線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣是相似的.反過(guò)來(lái),一對(duì)相似矩陣可以是同一個(gè)線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣.證明留做練習(xí)第四十三頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.4不變子空間一、內(nèi)容分布

7.4.1定義與基本例子

7.4.2不變子空間和線(xiàn)性變換的矩陣化簡(jiǎn)

7.4.3進(jìn)一步的例子二、教學(xué)目的

1．掌握不變子空間的定義及驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線(xiàn)性變換的不變子空間方法．2．會(huì)求給定線(xiàn)性變換的一些不變子空間．三、重點(diǎn)難點(diǎn)

驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線(xiàn)性變換的不變子空間、會(huì)求給定線(xiàn)性變換的一些不變子空間。第四十四頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.4.1定義與基本例子

令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間,σ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換.定義

V的一個(gè)子空間W說(shuō)是在線(xiàn)性變換σ之下不變,如果.如果子空間W在σ之下不變，那么W就叫做σ的一個(gè)不變子空間.注意:子空間W在線(xiàn)性變換σ之下不變,指,

即:并不能說(shuō):

第四十五頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例1

V本身和零空間{0}顯然在任意線(xiàn)性變換之下不變.例2令σ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，那么σ的核Ker(σ)的像Im(σ)之下不變.例3

V的任意子空間在任意位似變換之下不變.

例4令σ是中以某一過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)L為軸，旋轉(zhuǎn)一個(gè)角θ的旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)軸L是σ的一個(gè)一維不變子空間，而過(guò)原點(diǎn)與L垂直的平面H是σ的一個(gè)二維不變子空間.第四十六頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例5令F[x]是數(shù)域F上一切一元多項(xiàng)式所成的向量空間，是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)對(duì)于每一自然數(shù)n，令表示一切次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所成的子空間.那么在σ不變.設(shè)W是線(xiàn)性變換σ的一個(gè)不變子空間.只考慮σ在W上的作用，就得到子空間E本身的一個(gè)線(xiàn)性變換，稱(chēng)為σ在W上的限制，并且記作這樣，對(duì)于任意

然而如果那么沒(méi)有意義。第四十七頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.4.2不變子空間和線(xiàn)性變換的矩陣化簡(jiǎn)

設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)n維向量空間，σ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換。假設(shè)σ有一個(gè)非平凡不變子空間W，那么取W的一個(gè)基再補(bǔ)充成V的一個(gè)基由于W在σ之下不變，所以仍在W內(nèi)，因而可以由W的基線(xiàn)性表示。我們有：第四十八頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作因此，σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀而A中左下方的O表示一個(gè)零矩陣.這里是關(guān)于W的基的矩陣，第四十九頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作由此可見(jiàn)，如果線(xiàn)性變換σ有一個(gè)非平凡不變子空間，那么適當(dāng)選取V的基，可以使與σ對(duì)應(yīng)的矩陣中有一些元素是零。特別，如果V可以寫(xiě)成兩個(gè)非平凡子空間的直和：那么選取

的一個(gè)基和的一個(gè)基

湊成V的一個(gè)基當(dāng)都在σ之下不變時(shí)，容易看出，σ關(guān)于這樣選取的基的矩陣是這里是一個(gè)r階矩陣,它是關(guān)于基第五十頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作一般地，如果向量空間V可以寫(xiě)成s個(gè)子空間

的直和，并且每一子空間都在線(xiàn)性變換σ之下不變，那么在每一子空間中取一個(gè)基，湊成V的一個(gè)基，σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣就有形狀這里關(guān)于所取的的基的矩陣.的矩陣，而是n–r階矩陣，它是關(guān)于基

的矩陣。第五十一頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例6令σ是例4所給出的的線(xiàn)性變換.顯然是一維子空間L與二維子空間H的直和，而L與H在σ之下不變.取L的一個(gè)非零向量，取H的兩個(gè)彼此正交的單位長(zhǎng)度向量那么是的一個(gè)基，而σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣是第五十二頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.4.3進(jìn)一步的例子例7如果，那么證：1.任取2.任取第五十三頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例8如果，那么對(duì)任何證：，那么例9判定下列子空間在給定的σ下是否為不變子空間（1）第五十四頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作（2）（3）（4）解

(1)是.(2)否.(3)是.(4)否.第五十五頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例10

σ是V上一個(gè)線(xiàn)性變換，W是生成的子空間：.則.證：

必要性：W中不變子空間，充分性：如果是包含的最小子空間，第五十六頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例11設(shè)σ是V上的線(xiàn)性變換，α是V上的非零向量，且線(xiàn)性無(wú)關(guān)，但線(xiàn)性相關(guān).那么是包含α的最小不變子空間.證

(1)線(xiàn)性表出,因此

這樣，的生成元在σ下的象全部屬于.所以是一個(gè)σ不變子空間第五十七頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作（2）對(duì)任何包含α的不變子空間W，

故，

即包含W的一個(gè)最小子空間.例12設(shè)是V的一給基,σ在下的矩陣為求包含的最小子空間.第五十八頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作解算的坐標(biāo)為（用“()”表示取坐標(biāo)）中線(xiàn)性無(wú)關(guān)第五十九頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作的坐標(biāo)排成的行列式為：第六十頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作因此是包含的最小子空間.注意到與是等價(jià)向量組，因此第六十一頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四一.內(nèi)容分布7.5.1引例7.5.2矩陣特征值和特征向量的定義

7.5.3特征值和特征向量的計(jì)算方法7.5.4矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)小結(jié)二.教學(xué)目的1.理解特征值和特征向量的概念2.熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法3.掌握特征值與特征向量的一些常用性質(zhì)三.重點(diǎn)難點(diǎn)矩陣的特征值和特征向量的求法及性質(zhì)第六十二頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.5.1引例在經(jīng)濟(jì)管理的許多定量分析模型中，經(jīng)常會(huì)遇到矩陣的特征值和特征向量的問(wèn)題.

它們之間的關(guān)系為

寫(xiě)成矩陣形式，就是是目前的工業(yè)發(fā)展水平(以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測(cè)量單位).

例發(fā)展與環(huán)境問(wèn)題已成為21世紀(jì)各國(guó)政府關(guān)注和重點(diǎn)，為了定量分析污染與工業(yè)發(fā)展水平的關(guān)系，有人提出了以下的工業(yè)增長(zhǎng)模型：設(shè)

是某地區(qū)目前的污染水平(以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測(cè)量單位)，

若干年后(例如5年后)的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為

和第六十三頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作記

，，，即(2)式可寫(xiě)成

設(shè)當(dāng)前的

，則

即

，由此可以預(yù)測(cè)若干年后的污染水平與工業(yè)發(fā)

展水平。由上例我們發(fā)現(xiàn)，矩陣A乘以向量恰好等于的4倍，倍數(shù)4及向量即是我們本節(jié)要討論的矩陣的特征值和特征向量.第六十四頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.5.2特征值和特征向量的定義定義1：設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，λ是F中的一個(gè)數(shù)，如果存在V中非零向量α，使得

那么稱(chēng)λ為矩陣A的一個(gè)特征值，α稱(chēng)為A屬于特征值λ的特征向量.例

因

解:所以4是

的一個(gè)特征值，

是A的屬于4的特征向量.又

故

也是A的屬于4的特征向量.注1：α是A的屬于λ的特征向量，則，cα也是A的屬于λ的特征向量

第六十五頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作練習(xí)1(1)如果向量是矩陣的特征向量，

則k=__________(2)設(shè)，下列向量中可以成為A的

特征向量的是（）

A.

B.

C.

D.

√2(1)解：(2)解：A.B.C.D.第六十六頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.5.3特征值和特征向量的計(jì)算方法使λ是A的特征值

有非零解

注2：

λ是A的特征值

λ是方程

的根.α是A屬于λ的特征向量

且是

的非零解。

注3：α是A屬于λ的特征向量

是的非零解。

第六十七頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作定義2：

稱(chēng)為A的特征多項(xiàng)式。

稱(chēng)為A的特征方程，

稱(chēng)為A的特征矩陣。

第六十八頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作例1設(shè)，求A的全部特征值、特征的量。

解：A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為對(duì)于解由于得基礎(chǔ)解系A(chǔ)的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為即第六十九頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作對(duì)于

解

即由于得基礎(chǔ)解系A(chǔ)的對(duì)應(yīng)于的全部特征向量為第七十頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作注4：A的特征向量有無(wú)窮多個(gè)，分為兩大類(lèi)：

一類(lèi)為一類(lèi)為問(wèn)題1：同類(lèi)的兩個(gè)特征向量的線(xiàn)性相關(guān)性如何？問(wèn)題2：不同類(lèi)的任兩個(gè)特征向量的線(xiàn)性相關(guān)性如何？第七十一頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作求A的全部特征值和特征向量的方法：1.計(jì)算特征多項(xiàng)式

2.求特征方程

的所有根，

即得A的全部特征值

3.對(duì)于A(yíng)的每一個(gè)特征值

，求相應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組

（不全為零）例2：求矩陣

的特征值和特征向量。

的一個(gè)基礎(chǔ)解系

，則A的屬于

的全部特征向量為第七十二頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作解

A的特征多項(xiàng)式

A的特征值為

，對(duì)于

，解

得基礎(chǔ)解系:第七十三頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作A的屬于特征值1的全部特征向量為

對(duì)于

，解

得基礎(chǔ)解為

A的屬于特征值–1的全部特征向量為

第七十四頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.5.4特征向量和特征值的性質(zhì)性質(zhì)1

有相同的特征值

分析：要證

有相同的特征值

只須證

注意到

性質(zhì)3

A的主對(duì)角線(xiàn)上的元素的和稱(chēng)為A的跡，記作

，則

性質(zhì)2A的屬于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。第七十五頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作注意到（*）（**）在（*）和（**）中令λ=0第七十六頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作練習(xí)：求

的特征值，特征向量。

解：

A的特征多項(xiàng)式為所以A的特征值為

對(duì)于

，解

對(duì)于

，解

故A的屬于特征值1的全部特征向量為

故A的屬于特征值4的全部特征向量為

第七十七頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作小結(jié)1、定義1：設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，λ是F中的一個(gè)數(shù)，如果存在V中非零向量α，使得

那么稱(chēng)λ為矩陣A的一個(gè)特征值，α稱(chēng)為A屬于特征值λ的特征向量.2、

λ是A的特征值

λ是方程

的根.3、α是A屬于λ的特征向量

是的非零解。

4、求A的全部特征值和特征向量的方法：1.計(jì)算特征多項(xiàng)式

2.求特征方程

的所有根，

即得A的全部特征值

3.對(duì)于A(yíng)的每一個(gè)特征值

，求相應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組

（不全為零）的一個(gè)基礎(chǔ)解系

，則A的屬于

的全部特征向量為5、3個(gè)性質(zhì)。第七十八頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作作業(yè)：P2961、（i）（iii）思考題：矩陣A的特征值由特征向量唯一確定嗎？為什么？第七十九頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.6可以對(duì)角化矩陣

一、內(nèi)容分布

7.6.1什么是可對(duì)角化

7.6.2本征向量的線(xiàn)性關(guān)系

7.6.3可對(duì)角化的判定

7.6.4矩陣對(duì)角化的方法及步驟二、教學(xué)目的1．掌握可對(duì)角化的定義與判斷．2．熟練掌握矩陣對(duì)角化的方法步驟．三、重點(diǎn)難點(diǎn)

可對(duì)角化的判斷與計(jì)算。第八十頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.6.1什么是可對(duì)角化

設(shè)A是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣，如果存在F上一個(gè)n階逆矩陣T，使得具有對(duì)角形式（1）則說(shuō)矩陣A可以對(duì)角化.我們知道,可以通過(guò)矩陣來(lái)研究線(xiàn)性變換,也可以通過(guò)線(xiàn)性變換來(lái)研究矩陣，本節(jié)更多的通過(guò)線(xiàn)性變換來(lái)研究矩陣.矩陣A可以對(duì)角化對(duì)應(yīng)到線(xiàn)性變換就是:第八十一頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作設(shè)σ是數(shù)域F上維向量空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果存在V的一個(gè)基，使得σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣具有對(duì)角形式(1),那么說(shuō)，σ可以對(duì)角化.很容易證明,σ可以對(duì)角化的充分必要條件是σ有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本征向量.這n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本征向量顯然構(gòu)成V的基.因此，我們需要進(jìn)一步研究本征向量的線(xiàn)性關(guān)系，需要研究在什么條件下σ有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本征向量.第八十二頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.6.2本征向量的線(xiàn)性關(guān)系

定理7.6.1令σ是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換.如果分別是σ的屬于互不相同的特征根的特征向量，那么線(xiàn)性無(wú)關(guān).證我們對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明這個(gè)定理當(dāng)n=1時(shí)，定理成立。因?yàn)楸菊飨蛄坎坏扔诹恪ＴO(shè)n>1并且假設(shè)對(duì)于n－1來(lái)說(shuō)定理成立?，F(xiàn)在設(shè)是σ的兩兩不同的本征值，是屬于本征值的本征向量：第八十三頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作如果等式成立，那么以乘（3）的兩端得另一方面，對(duì)（3）式兩端施行線(xiàn)性變換σ，注意到等式（2），我們有（5）式減（4）式得根據(jù)歸納法假設(shè)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以第八十四頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作但兩兩不同，所以代入（3），因?yàn)樗赃@就證明了

線(xiàn)性無(wú)關(guān)?！跬普?.6.2設(shè)σ是數(shù)域F上向量空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，是σ的互不相同的本征值。又設(shè)

是屬于本征值的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的本征向量,

那么向量線(xiàn)性無(wú)關(guān).證

先注意這樣一個(gè)事實(shí)：σ的屬于同一本征值λ的本征向量的非零線(xiàn)性組合仍是σ的屬于λ的一個(gè)本征向量。第八十五頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作由上面所說(shuō)的事實(shí)，如果某一，則是σ的屬于本征值的本征向量。因?yàn)榛ゲ幌嗤杂啥ɡ?.6.1，必須所有

即令則現(xiàn)在設(shè)存在F中的數(shù)使得第八十六頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作然而線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以即線(xiàn)性無(wú)關(guān)。□第八十七頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作7.6.3可對(duì)角化的判定定理7.6.3令σ是數(shù)域F上n維向量空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果σ的特征多項(xiàng)式在F內(nèi)有n個(gè)單根，那么存在V的一個(gè)基，使σ就關(guān)于這個(gè)基的矩陣是對(duì)角形式.證

這時(shí)σ的特征多項(xiàng)式在F[x]內(nèi)可以分解為線(xiàn)性因式的乘積：且兩兩不同。對(duì)于每一個(gè)選取一個(gè)本征向量由定理7.6.1,線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因而構(gòu)成V的一個(gè)基,σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣是第八十八頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作將上面的定理轉(zhuǎn)化成矩陣的語(yǔ)言,就是:

定理7.6.4令A(yù)是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣，如果A的特征多項(xiàng)式在F內(nèi)有n個(gè)單根，那么存在一個(gè)n階可逆矩陣T，使第八十九頁(yè)，共一百頁(yè)，編輯于2023年，星期四寧波工程學(xué)院理學(xué)院《高等代數(shù)》課程組制作注意：推論7.6.4的條件只是一個(gè)n階矩陣可以對(duì)角化的充分條件，但不是必要條件。下面將給出一個(gè)n階矩陣對(duì)角