第一章矢量分析基礎(chǔ)

第一章矢量分析基礎(chǔ)第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四本章內(nèi)容安排1.1標(biāo)量與矢量1.2矢量的運(yùn)算1.3標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度1.4矢量場(chǎng)的散度及高斯散度定理1.5矢量場(chǎng)的旋度及斯托克斯定理第一章矢量分析基礎(chǔ)第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四1.1標(biāo)量與矢量1.1.1標(biāo)量與矢量標(biāo)量:僅用大小就能表述的物理量，例如長度、面積、體積、溫度等。矢量:不僅具有大小而且具有方向特征的物理量，例如力、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度、速度、位移等。

第一章矢量分析基礎(chǔ)第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四矢量A的表示方法（1）（2）（3）

第一章矢量分析基礎(chǔ)矢量A的空間表示第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四1.2矢量的運(yùn)算1.2.1矢量的代數(shù)運(yùn)算令和，則矢量相加：矢量相減:

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矢量相加的幾何表示矢量相減的幾何表示第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四1.2.2矢量乘矢量的點(diǎn)乘：或者矢量的叉乘：或者

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矢量的點(diǎn)乘矢量的叉乘第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四1.3標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度1.3.1標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)設(shè)點(diǎn)M0(x0,y0,z0)是標(biāo)量場(chǎng)u(x,y,z)所在空間內(nèi)的一個(gè)固定點(diǎn)，過M0點(diǎn)引出一條射線l，并在該射線上靠近M0點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x0+?x,y0+?y,z0+?z)，而且點(diǎn)M0與M之間的距離為?l。

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第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四方向?qū)?shù)定義如下1.3.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度我們定義一個(gè)矢量G，令其方向就是標(biāo)量函數(shù)u在定點(diǎn)處最大變化率的方向，而其大小則為最大變化率的值，稱這個(gè)矢量G為標(biāo)量函數(shù)u在定點(diǎn)M0處的梯度，記為

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第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四1.3.3哈密爾頓算子(Hamilton)在直角坐標(biāo)系中，定義▽算子與標(biāo)量函數(shù)u的乘積為該函數(shù)的梯度，即

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第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四1.4矢量場(chǎng)的散度及高斯散度定理1.4.1矢量場(chǎng)的通量通過閉合曲面的總通量可表示為

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曲面法向單位矢量的確定第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四說明：若ψ>0，則表示S面中有凈通量流入，即穿出S面的矢量線多于穿入S面的矢量線，說明在S面中必有產(chǎn)生矢量線的源，稱之為正源；若ψ<0，則表示穿入S面的矢量線要多于穿出S面的矢量線，說明面內(nèi)必有吸收矢量線的源，我們稱之為負(fù)源（也稱之為溝）；當(dāng)ψ=0時(shí)，則表示流穿出S面的矢量線與穿入的矢量線相等，此時(shí)在S面內(nèi)正源和負(fù)源完全抵消，或者說S內(nèi)沒有源。

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第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四把與通量有關(guān)的正源或者負(fù)源，統(tǒng)稱為通量源。1.4.2矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)A在點(diǎn)M處的散度，記作物理意義：矢量場(chǎng)中任意點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，即從點(diǎn)M單位體積內(nèi)散發(fā)的通量，所以，又可以將散度稱為“通量源密度”或者“通量源強(qiáng)度”。在無源區(qū)中，矢量場(chǎng)A在各點(diǎn)處的散度均為零。

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第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式為或者

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矢量場(chǎng)的散度及通量源第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四把與通量有關(guān)的正源或者負(fù)源，統(tǒng)稱為通量源。1.4.3矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)A在點(diǎn)M處的散度，記作物理意義：矢量場(chǎng)中任意點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，即從點(diǎn)M單位體積內(nèi)散發(fā)的通量，所以，又可以將散度稱為“通量源密度”或者“通量源強(qiáng)度”。在無源區(qū)中，矢量場(chǎng)A在各點(diǎn)處的散度均為零。

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第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四1.4.4高斯散度定理說明：它是在矢量分析中一個(gè)非常重要的定理；從數(shù)學(xué)上看，利用高斯散度定理可以將矢量函數(shù)的面積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量函數(shù)的體積分，或反之；從場(chǎng)的觀點(diǎn)來看，高斯散度定理建立了某一區(qū)域中的場(chǎng)與包圍該區(qū)域邊界上的場(chǎng)的關(guān)系。

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第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四1.5矢量場(chǎng)的旋度及斯托克斯定理1.5.1環(huán)量定義矢量A沿某一個(gè)封閉曲線的線積分稱為該矢量沿此封閉曲線的環(huán)量，可以表示為

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第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四說明：環(huán)量和通量一樣，也是一個(gè)代數(shù)量，它是標(biāo)量積的線積分。其大小和正負(fù)不僅與矢量場(chǎng)的分布有關(guān)，而且還取決于封閉曲線的形狀和取向。如果矢量沿封閉曲線的環(huán)量不為零，則說明該封閉曲線內(nèi)存在另一種源——渦流源，又叫做旋渦源，對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)則稱為有旋場(chǎng)或渦流場(chǎng)；反之，若環(huán)量為零，則表示封閉曲線內(nèi)不存在旋渦源，稱相應(yīng)的矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，也叫做保守場(chǎng)。

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第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四1.5.2旋度