2024屆天成大聯(lián)考數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2024屆天成大聯(lián)考數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，，滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.無數(shù)多2．已知拋物線的焦點(diǎn)恰為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，的另一頂點(diǎn)為，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.3．與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的方程為A B.C. D.5．等比數(shù)列的第4項(xiàng)與第6項(xiàng)分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或6．已知直線：和：，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3C.-1或3 D.-17．將一個(gè)表面積為的球用一個(gè)正方體盒子裝起來，則這個(gè)正方體盒子的最小體積為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線上，則=A. B.C. D.9．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．在中，，，且BC邊上的高為，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.011．已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（）A.虛軸長為4 B.焦距為C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為4 D.漸近線方程為12．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______14．圓錐的母線長為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的側(cè)面積大小為____________.(結(jié)果保留)15．若雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的實(shí)軸長為______16．已知雙曲線：，，是其左右焦點(diǎn).圓：，點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，有一條長度為3的線段，端點(diǎn)，分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，為線段上一點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知不過原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段始終被直線平分.求的面積取最大時(shí)直線的方程.18．（12分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的最小值19．（12分）已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且A，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上，求m的取值范圍20．（12分）已知數(shù)列滿足,，設(shè).（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E為AB中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面CEB夾角的余弦值22．（10分）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】利用正弦定理得到，進(jìn)而或，由，得，即可求解【題目詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿足條件的有且只有一個(gè).故選：B2、D【解題分析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，由題可知；又點(diǎn)在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時(shí)，又，故直線的斜率為.故選：D.3、C【解題分析】由直線平行及直線所過的點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【題目詳解】與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C4、D【解題分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，將代入橢圓方程，結(jié)合離心率為以及性質(zhì)列方程組求得與的值，從而可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，以及橢圓離心率的應(yīng)用，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于中檔題.5、C【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C6、D【解題分析】利用兩直線平行列式求出a值，再驗(yàn)證即可判斷作答.【題目詳解】因，則，解得或，當(dāng)時(shí)，與重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為-1.故選：D7、C【解題分析】求出球的半徑，要使這個(gè)正方形盒子的體積最小，則這個(gè)正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，從而可得出答案.【題目詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，故該球的半徑為11cm，若要使這個(gè)正方形盒子的體積最小，則這個(gè)正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，即22cm，所以這個(gè)正方體盒子的最小體積為.故選：C.8、C【解題分析】點(diǎn)在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公差為，，數(shù)列的前項(xiàng)和，，故選C考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和9、A【解題分析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【題目詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.10、B【解題分析】利用等面積法求得，再利用正弦定理求得，利用內(nèi)角和的關(guān)系及兩角和差化積公式，二倍角公式轉(zhuǎn)化為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求滿足條的的個(gè)數(shù)，即可求解.【題目詳解】由三角形的面積公式知，即由正弦定理知所以，即，即，即利用兩角和的正弦公式結(jié)合二倍角公式化簡得又，則，，且由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，滿足的有2個(gè)，即滿足條件的的個(gè)數(shù)為2.故選：B11、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可.【題目詳解】在雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上，，，，所以虛軸長為6，故A錯(cuò)誤；焦距為，故B錯(cuò)誤；漸近線方程為，故D正確；焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；故選：D.12、A【解題分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.【題目詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析可知，由可求得結(jié)果.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，.故答案為：.14、【解題分析】由題設(shè)知：圓錐的軸截面為等邊三角形，進(jìn)而求圓錐的底面周長，由扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積大小.【題目詳解】由題設(shè)，圓錐的軸截面為等邊三角形，又圓錐的母線長為2，∴底面半徑為1，則底面周長為，∴圓錐的側(cè)面積大小為.故答案為：.15、【解題分析】由雙曲線方程寫出漸近線，根據(jù)相切關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線距離公式求參數(shù)a，即可確定實(shí)軸長.【題目詳解】由題設(shè)，漸近線方程為，且圓心為，半徑為1，所以，由相切關(guān)系知：，可得，又，即，所以雙曲線的實(shí)軸長為.故答案為：16、##【解題分析】利用雙曲線定義，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，然后結(jié)合圖形可解.【題目詳解】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知∴∴.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】(1)設(shè)，根據(jù)題意可得，，利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出，化簡即可得出結(jié)果；(2)設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示直線斜率的公式和點(diǎn)差法求出直線的斜率，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示、進(jìn)而得出弦長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到的距離，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)，由為線段上一點(diǎn)，且，得，，又，則，整理可得，所以軌跡的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為.∵在直線上，∴，∵A，在軌跡上，∴兩式相減，可得，∴，即直線的斜率為，依題意，可設(shè)直線的方程為，由可得，則解得且由韋達(dá)定理，得，∴∵原點(diǎn)到直線的距離為∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)直線的方程為.18、（1）（2）12【解題分析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)的公差為d，因?yàn)?，可得，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故n的最小值為1219、（1）（2）或【解題分析】（1）利用雙曲線離心率、點(diǎn)在雙曲線上及得到關(guān)于、、的方程組，進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用直線和雙曲線的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系得到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，利用A，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上得到，再利用向量的數(shù)量積為0得到、的關(guān)系，進(jìn)而消去得到的不等式進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：因?yàn)檫^點(diǎn)作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為，所以點(diǎn)在雙曲線上，由題意，得，解得，，，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與該雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)，所以且，即且，設(shè)，，的中點(diǎn)，則，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上，所以，即，因?yàn)?，，所以，即，將代入，得，解得或，即m的取值范圍為或.20、（1）證明見解析，；（2）.【解題分析】（1）計(jì)算可得出，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】證明：對(duì)任意的，，則，則，因?yàn)?，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以，，則.【小問2詳解】解：，則，，下式上式得.21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）連接與交于點(diǎn)O，連接OE，得到，再利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)，底面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)底