河南省洛陽市東方高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

河南省洛陽市東方高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.(

)A． B． C． D．參考答案：B略2.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常數(shù)），若f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論中：①f（0）?f（1）≤0；②g（0）?g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，可得g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，則3x2+2ax+b=0有兩個不等的實根根，進而判斷三個命題的真假，可得答案．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上單調(diào)遞減，但f（0），f（1）的符號不能確定，故①f（0）?f（1）≤0不一定正確；由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，故g（0）≤0，且g（1）≤0，故②g（0）?g（1）≥0一定正確；由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，令Z=a2﹣3b，則b=（a2﹣Z），當(dāng)b=（a2﹣Z）過（﹣，0）點時，Z取最小值故③正確；故選：B3.已知函數(shù)①y=x?sinx②y=x?cosx，③y=x?|cosx|，④y=x?2x的部分圖象如圖，但順序被打亂，則按照圖象從左到右的順序，對應(yīng)的函數(shù)序號正確的一組是（）A．①④②③ B．①④③② C．④①②③③④②①參考答案：A【考點】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值得特點即可判斷．【解答】解：①y=xsinx是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱；②y=xcosx是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱；③y=x|cosx|是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱．且當(dāng)x＞0時，y≥0；④y=x2x為非奇非偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，y＞0；當(dāng)x＜0時，y＜0；故選A．【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值特點，屬于基礎(chǔ)題4.若a，b，c為實數(shù)，且a＜b＜0，則下列命題正確的是(

)A．a(chǎn)2＞ab＞b2 B．a(chǎn)c2＜bc2 C． D．參考答案：A【考點】不等關(guān)系與不等式．【專題】計算題．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可知A正確；B若c=0，則ac2=bc2，錯；C利用不等式的性質(zhì)“同號、取倒，反向”可知其錯；D作差，因式分解即可說明其錯．【解答】解：A、∵a＜b＜0，∴a2＞ab，且ab＞b2，∴a2＞ab＞b2，故A正確；B、若c=0，則ac2=bc2，故不正確；C、∵a＜b＜0，∴＞0，∴，故錯；D、∵a＜b＜0，∴＜0，∴，故錯；故答案為A．【點評】本小題主要考查不等關(guān)系與不等式、不等式的基本性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力及分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．5.在函數(shù)的圖象上有點列，若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，則函數(shù)的解析式可以為 () A．

B．C．

D．參考答案：D對于函數(shù)上的點列(xn，yn)，有yn＝，由于{xn}是等差數(shù)列，所以xn+1－xn＝d，因此＝，這是一個與n無關(guān)的常數(shù)，故{yn}是等比數(shù)列．故選D.6.函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的零點個數(shù)是A．4B．5 C．6 D．7參考答案：C7.已知直線l1與雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）交于A，B兩點，且AB中點M的橫坐標(biāo)為b，過M且與直線l1垂直的直線l2過雙曲線C的右焦點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由A，B代入雙曲線方程，作差整理可得k==，化簡得a2=bc，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（b，yM），由A，B代入雙曲線方程，作差整理可得k==，化簡得a2=bc，即a4=（c2﹣a2）c2，有e4﹣e2﹣1=0，得e=．故選B．8.《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的表面積為（

）A．14

B．

C．

D．參考答案：C根據(jù)題意知原圖是一個直三棱柱，躺在平面上，上下底面是等腰直角三角形，則表面積由五個面構(gòu)成，表面積為：故答案為：C.

9.已知命題；命題若，則，下列命題為真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.（5分）已知函數(shù)f（x﹣1）是定義在R上的奇函數(shù)，若對于任意兩個實數(shù)x1≠x2，不等式恒成立，則不等式f（x+3）＜0的解集為（

）

A．（﹣∞，﹣3）B．（4，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣4）參考答案：D【考點】：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：對于任意兩個實數(shù)x1≠x2，不等式恒成立，可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．由函數(shù)f（x﹣1）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（﹣1）=0，即可解出．解：∵對于任意兩個實數(shù)x1≠x2，不等式恒成立，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．∵函數(shù)f（x﹣1）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣1）=0，∴不等式f（x+3）＜0=f（﹣1）化為x+3＜﹣1，解得x＜﹣4，∴不等式的解集為：（﹣∞，﹣4）．故選：D．【點評】：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在計算“1×2+2×3+…+n(n+1)”時，有如下方法：先改寫第k項：，由此得：，，…，，相加得：1×2+2×3+…+n(n+1)＝.類比上述方法，請你計算“1×3+2×4+…+n(n+2)”，其結(jié)果寫成關(guān)于n的一次因式的積的形式為：

．參考答案：12.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，曲線與的交點的極坐標(biāo)為

.參考答案：13.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．今有拋物線（），如圖，一平行x軸的光線射向拋物線上的點P，反射后又射向拋物線上的點Q，再反射后又沿平行x軸方向射出，且兩平行光線間的最小距離為3，則拋物線的方程為

．參考答案：14.理：已知△的頂點、、，則△的內(nèi)角的大小是

.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）參考答案：15.已知△ABC中，，，，若線段BA的延長線上存在點D，使，則CD=

．參考答案：

16.不等式|2x﹣1|+|2x+9|＞10的解集為

．參考答案：

【考點】絕對值不等式的解法．【分析】將絕對值不等式去掉，在每一段上解不等式，再求它們的并集即可．【解答】解：當(dāng)x≥時，4x+8＞10，解得x＞；當(dāng)﹣，﹣10＞10，解得無解；當(dāng)x≤﹣時，﹣4x﹣8＞10，解得x＜﹣；綜上所述不等式的解集為．故答案為．17.對于，當(dāng)非零實數(shù)a，b滿足，且使最大時，的最小值為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.從裝有2只紅球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同．（Ⅰ）若抽取后又放回,抽取3次,求恰好抽到2次為紅球的概率;（Ⅱ）若抽取后不放回,設(shè)抽完紅球所需的次數(shù)為,求的分布列及期望．（Ⅰ）；（Ⅱ）。參考答案：解:（Ⅰ）抽取一次抽到紅球的概率為--------------2分所以抽取3次恰好抽到2次為紅球的概率為-----------4分（Ⅱ）-------------------5分,,,．-------------9分的分布列為

所以---------------------------12分本題考查排列組和、離散型隨機變量的分布列問題，同時考查利用概率分析、解決問題的能力．在取球試驗中注意是否有放回（1）抽取后又放回，每次取球可看作獨立重復(fù)試驗，利用獨立重復(fù)試驗求解即可．（2）抽取后不放回，ξ所有可能的取值為2，3，4，5，分別求出其概率即可．19.(本題滿分14分)已知拋物線：過點，直線交于，兩點，過點且平行于軸的直線分別與直線和軸相交于點，．(1)求的值；(2)是否存在定點，當(dāng)直線過點時，△與△的面積相等？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。參考答案：（1）因為在拋物線C上，所以1=2p·，得p=1．

……3分（2）假設(shè)存在定點Q，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程為y=kx+b．聯(lián)立得，當(dāng)時，有．

……6分所以()()= (*)由題意知，，因為△PAM與△PBN的面積相等，所以，即，也即

……10分根據(jù)(*)式，得()2=1，解得或．所求的定點Q即為點A，即l過Q(0,0)或Q(2,2)時，滿足條件．

……14分

20.（本小題滿分12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面邊長AB=2，側(cè)棱BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E，交線段B1C于點F．以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，如圖．（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成角的正弦值的大小參考答案：（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）【知識點】用空間向量求直線與平面的夾角；向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系．G10G11解析：（Ⅰ）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）設(shè)E（0，2，t），則．∵BE⊥B1C，∴．∴t=1．∴E（0，2，1），．∵，∴且，∴且，∴平面BDE．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，∵，∴，∴A1B與平面BDE所成角的正弦值為．【思路點撥】（I）由已知中，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面邊長AB=2，側(cè)棱BB1的長為4，我們易求出正四棱柱中各頂點的坐標(biāo)，設(shè)E（0，2，t），根據(jù)BE⊥B1C，我們易由它們的方向向量數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于t的方程，求出t值，然后根據(jù)向量數(shù)量為0，向量垂直，對應(yīng)的線段也垂直，可證得直線A1C與BE，BD均垂直，再由線面垂直的判定定理得到A1C⊥平面BED；（Ⅱ）由（1）中結(jié)論，我們可得是平面BDE的一個法向量，再求出直線A1B的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到A1B與平面BDE所成角的正弦值的大?。ū拘☆}滿分12分）現(xiàn)有4人去旅游，旅游地點有A、B兩個地方可以選擇．但4人都不知道去哪里玩，于是決定通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪里琨，擲出能被3整除的數(shù)時去A地，擲出其他的則去B地．

（I）求這4個人中恰好有1個人去B地的概率；

（Ⅱ）求這4個人中去A地的人數(shù)大于去B地的人數(shù)的概率；

（Ⅲ）用X、Y分別表示這4個人中去A、B兩地的人數(shù)，記求隨機變量亭的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）;（2）;(3)見解析

【解析】【知識點】離散型隨機變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式．K4K5K6解析：（1）依題意，這4個人中，每個人去A地旅游的概率為，去B地的人數(shù)的概率為設(shè)“這4個人中恰有i人去A地旅游”為事件Ai（i=0，1，2，3，4）∴．（2分）這4個人中恰有1人去A地游戲的概率為．（4分）（2）設(shè)“這4個人中去A地的人數(shù)大于去B地的人數(shù)”為事件B，則B=A3∪A4，∴．（8分）（3）ξ的所有可能取值為0，3，4，，，，（10分）∴ξ的分布列是ξ034P．（12分）【思路點撥】（1）依題意，這4個人中，每個人去A地旅游的概率為，去B地的人數(shù)的概率為，由此能求出這4個人中恰有1人去A地游戲的概率．（2）設(shè)“這4個人中去A地的人數(shù)大于去B地的人數(shù)”為事件B，則B=A3∪A4，由此能求出這4個人中去A地的人數(shù)大于去B地的人數(shù)的概率．（3）ξ的所有可能取值為0，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．21.對于集合，，,.集合A中的元素個數(shù)記為.規(guī)定：若集合滿足，則稱集合A具有性質(zhì)T．（I）已知集合，，寫出，的值；（II）已知集合，為等比數(shù)列，，且公比為，證明：具有性質(zhì)T；（III）已知A，B均有性質(zhì)T，且，求的最小值.參考答案：（I）；（II）見解析；（III）.【分析】(Ⅰ)分別求得A+A，B+B，然后可得，的值；(Ⅱ)將原問題進行等價變形，然后利用反證法證明題中的結(jié)論即可；(Ⅲ)原問題等價于任意兩個元素之和均不相同，且任意兩個不同元素之差的絕對值均不相