2021-2022學(xué)年湖南省婁底市漣濱中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省婁底市漣濱中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（x2+2）展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)250,則實(shí)數(shù)m的值為（

） A．±5 B．5 C． D．參考答案：2.若a＞b，則下列命題成立的是（）A．a(chǎn)c＞bc B． C． D．a(chǎn)c2≥bc2參考答案：D【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】通過(guò)給變量取特殊值，舉反例可得A、B、C都不正確，對(duì)于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．【解答】解：∵a＞b，故當(dāng)c=0時(shí)，ac=bc=0，故A不成立．當(dāng)b=0時(shí)，顯然B、C不成立．對(duì)于a＞b，由于c2≥0，故有ac2≥bc2，故D成立．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，通過(guò)給變量取特殊值，舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．3.數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a＝(

)A．1

B．－1

C.

D．－參考答案：A5.執(zhí)行如圖的程序框圖，當(dāng)輸入的n=351時(shí)，輸出的k=（

）A．355

B．354

C．353

D．352參考答案：B①，則，，成立，，；②成立，，；③成立，，；④不成立，所以輸出.故選．6.如圖，《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國(guó)古畫，現(xiàn)收藏于中國(guó)臺(tái)北故宮博物院.該作品簡(jiǎn)介：院角的棗樹結(jié)實(shí)累累，小孩群來(lái)攀扯，枝椏不?；蝿?dòng)，粒粒棗子搖落滿地，有的牽起衣角，有的捧著盤子拾取，又玩又吃，一片興高采烈之情，躍然于絹素之上.甲、乙、丙、丁四人想根據(jù)該圖編排一個(gè)舞蹈，舞蹈中他們要模仿該圖中小孩撲棗的爬、扶、撿、頂四個(gè)動(dòng)作，四人每人模仿一個(gè)動(dòng)作.若他們采用抽簽的方式來(lái)決定誰(shuí)模仿哪個(gè)動(dòng)作，則甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（

）宋人撲棗圖軸A. B. C. D.參考答案：B【分析】依題意，基本事件的總數(shù)為24，設(shè)事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，則事件A包含1214個(gè)基本事件，故P（A）可求．【詳解】依題意，基本事件的總數(shù)為24，設(shè)事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，則A包含16個(gè)基本事件；②若甲模仿“撿”或“頂”則A包含28個(gè)基本事件，綜上A包含6+8＝14個(gè)基本事件，所以P（A），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算，分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．7.函數(shù)的圖象大致是（

）

參考答案：A試題分析：因?yàn)楫?dāng)x=2或4時(shí)，，所以排除B、C；當(dāng)x=-2時(shí)，，故排除D，所以選A．考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化．8.已知a＝，b＝，，則a，b，c三者的大小關(guān)系是()A．b>c>a

B．b>a>c

C．a(chǎn)>b>c

D．c>b>a參考答案：A9.“a=1”是“復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)”的(

)

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C略10.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若平面上的三個(gè)不共線的向量滿足且A、B、C三點(diǎn)共線，則S2006=

（

）

A．1003

B．1010

C．2006

D．2010參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，過(guò)F斜率為的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線AO與l相交于D，若|AF|＞|BF|，則=．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】由題設(shè)知直線AB的方程為y=（x﹣），l的方程為x=﹣，聯(lián)立，解得A（﹣，P），B（，﹣），直線OA的方程為：y=，聯(lián)立，解得D（﹣，﹣），由此能求出．【解答】解：∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，過(guò)F斜率為的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線AO與l相交于D，∴直線AB的方程為y=（x﹣），l的方程為x=﹣，聯(lián)立，解得A（﹣，P），B（，﹣）∴直線OA的方程為：y=，聯(lián)立，解得D（﹣，﹣）∴|BD|==，∵|OF|=，∴==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條件線段的比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．12.已知三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐P﹣ABC的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO1，進(jìn)而求出底面ABC上的高PD，即可計(jì)算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于r的方程，即可求出r，從而解決問題．【解答】解：根據(jù)題意作出圖形設(shè)球心為O，球的半徑r．過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長(zhǎng)CO1交球于點(diǎn)D，則PD⊥平面ABC．∵CO1=，∴OO1=，∴高PD=2OO1=2，∵△ABC是邊長(zhǎng)為4正三角形，∴S△ABC==4∴V三棱錐P﹣ABC=×4×2=，∴r2=．則球O的表面積為4πr2=．故答案為．13.已知兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，滿足的分布列如下：012Pab當(dāng)時(shí)，

，

．參考答案：由題意，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所?

14.已知，則

.參考答案：，故答案為

15.已知圓，直線，在圓C內(nèi)任取一點(diǎn)P，則P到直線的距離大于2的概率為

．參考答案：由題意知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2=2的圓心是（1，0），圓心到直線3x﹣4y+12=0的距離是d==3，當(dāng)與3x﹣4y+12=0平行，且在直線下方距離為2的平行直線為3x﹣4y+b=0，則d==2，則|b﹣12|=10，即b=22（舍）或b=2，此時(shí)直線為3x﹣4y+2=0，則此時(shí)圓心到直線3x﹣4y+2=0的距離d=1，即三角形ACB為直角三角形，當(dāng)P位于3x﹣4y+2=0時(shí)，此時(shí)P到直線l的距離大于2，則根據(jù)幾何概型的概率公式得到P==故答案為：．

16.若x>0，y>0且，則x+y最小值是

參考答案：略17.在的展開式中，的系數(shù)是和的系數(shù)的等差中項(xiàng)，若實(shí)數(shù)，那么

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=6sinθ．（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)P（1，2），設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，求|PA|+|PB|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式即可得出．【解答】解：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩根，∴，又直線過(guò)點(diǎn)（1，2），故結(jié)合t的幾何意義得=，∴|PA|+|PB|的最小值為．19.隨機(jī)詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購(gòu)買食物時(shí)是否讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明，得到如下列聯(lián)表：

性別與讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明列聯(lián)表

男女總計(jì)讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明16824不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明41216總計(jì)202040⑴根據(jù)以上列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)系？⑵從被詢問的16名不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的大學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽到男生人數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．（注：，其中為樣本容量．）

參考答案：⑴由表中數(shù)據(jù)，得……4分（列式2分，計(jì)算1分，比較1分），因此，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為性別與讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明有關(guān)……5分⑵的取值為0，1，2……6分，，……12分的分布列為

……13分的均值為……14分．Ks5u略20.如圖，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD的中點(diǎn)，沿AO將三角形AOD折起，使.（Ⅰ）求證：平面AOD⊥ABCO；（Ⅱ）求直線BC與平面ABD所成角的正弦值.

參考答案：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O為CD中點(diǎn)，

∴△AOD，△BOC為等腰直角三角形，

∴∠AOB=90o,即OB⊥OA.………………（1分）

取AO中點(diǎn)H，連結(jié)DH，BH，則OH=DH=，

在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=,

在△BHD中，DH2+BH2=又DB2=3，

∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH.…………（2分）

又DH⊥OA,OA∩BH=H……………（3分）

∴DH⊥面ABCO，……………………（4分）

而DH∈平面AOD，…………………（5分）

∴平面AOD⊥平面ABCO.…………（6分）（Ⅱ）解：分別以直線OA，OB為x軸和y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.∴……（7分）設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為由得即令則，取………………（9分）設(shè)為直線BC與平面ABD所成的角，則

………（11分）即直線BC與平面ABD所成角的正弦值為………（12分）略21.（12分）（2015?臨潼區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的極值；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e2]上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】：計(jì)算題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．【分析】：（Ⅰ）由函數(shù)求導(dǎo)，令f'（x）=0，求出根，分析其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e2]上有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e2]上的值域，根據(jù)（Ⅰ）分類討論函數(shù)在區(qū)間（0，e2]是的單調(diào)性，確定函數(shù)f（x）的最值．解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=令f'（x）=0得x=e1﹣a當(dāng)x∈（0，e1﹣a）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)當(dāng)x∈（e1﹣a，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)∴f（x）在x=e1﹣a處取得極大值，f（x）極大值=f（e1﹣a）=ea﹣1（Ⅱ）（i）當(dāng)e1﹣a＜e2時(shí)，a＞﹣1時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在（0，e1﹣a）上是增函數(shù)，在（e1﹣a，e2]上是減函數(shù)∴f（x）max=f（e1﹣a）=ea﹣1又當(dāng)x=e﹣a時(shí)，f（x）=0，當(dāng)x∈（0，e﹣a]時(shí)f（x）＜0．當(dāng)x∈（e﹣a，e2]時(shí)，f（x）∈（0，ea﹣1]，所以f（x）與圖象g（x）=1的圖象在（0，e2]上有公共點(diǎn)，等價(jià)于ea﹣1≥1解得a≥1，又a＞﹣1，所以a≥1（ii）當(dāng)e1﹣a≥e2即a≤﹣1時(shí)，f（x）在（0，e2]上是增函數(shù)，∴f（x）在（0，e2]上的最大值為f（e2）=所以原問題等價(jià)于，解得a≥e2﹣2．又∵a≤﹣1，∴無(wú)解綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1【點(diǎn)評(píng)】：考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，特別注意含有參數(shù)的最