方程的根與函數(shù)零點

第三章函數(shù)的應用3.1函數(shù)與方程3.1.1方程的根與函數(shù)的零點

我國古代數(shù)學家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程的求解的問題.如約公元50～100年編成的《九章算術》，就給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法……

11世紀，北宋數(shù)學家賈憲給出了三次及三次以上的方程的解法.13世紀，南宋數(shù)學家秦九韶給出了求任意次代數(shù)方程的正根的解法今天我們來學習方程的根與函數(shù)的零點！你會求什么方程的根呢？探究：求出下列一元二次方程的根并作出相應的二次函數(shù)的圖象，觀察二者有何聯(lián)系？（1）方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3

（2）方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1

（3）方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3你知道方程對應的函數(shù)是怎么找的嗎？方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函數(shù)函數(shù)的圖象方程的實數(shù)根x1=-1,x2=3x1=x2=1無實數(shù)根(-1,0)、(3,0)(1,0)無交點x2-2x-3=0.....xyO－132112543y=x2-2x+3函數(shù)的圖象與x軸的交點.....yx－12112Oxy－132112－1－2－3－4....0.方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)的圖象判別式Δ=b2－4acΔ＞0Δ=0Δ＜0函數(shù)的圖象與x軸的交點有兩個相等的實數(shù)根x1=x2沒有實數(shù)根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)沒有交點兩個不相等的實數(shù)根x1、x2一般結(jié)論

一般地，方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是其對應函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.即方程f(x)＝0有實數(shù)根

函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點

對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.函數(shù)零點的定義：零點指的是一個實數(shù)，不是一個點方程f(x)＝0有實數(shù)根

函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點

函數(shù)y＝f(x)有零點結(jié)論現(xiàn)在知道如何求沒有公式的方程的根了嗎？例1函數(shù)f(x)=x(x－4)的零點為（）

A．(0，0)，(2，0) B．0C．(4，0)，(0，0)， D．4，0D解析：由x(x－4)=0得x=0或x=4.注意：函數(shù)的零點是實數(shù)，而不是點.解方程是求函數(shù)零點的一種方法1234512345xyO-1-2-1-4-3-2探究：對于不能通過求方程根的方法確定零點的函數(shù)該如何確定零點呢？觀察二次函數(shù)f(x)＝x2－2x－3的圖象：在區(qū)間[-2，1]上有零點______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．在區(qū)間(2，4)上有零點______；f(2)·f(4)____0（填“＜”或“＞”）．x=－1－45<x=3<1234512345xyO-2-1-4-3-2-1xyOabcd思考：觀察圖象填空有<有<有<①在區(qū)間(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或“＞”)．在區(qū)間(a,b)上,______(填“有”或“無”)零點；②在區(qū)間(b,c)上,f(b)·f(c)___0(填“＜”或“＞”)．在區(qū)間(b,c)上,______(填“有”或“無”)零點；③在區(qū)間(c,d)上f(c)·f(d)___0(填“＜”或“＞”)．在區(qū)間(c,d)上,____(填“有”或“無”)零點；xyOabc【總結(jié)提升】

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的一個根.例2判斷正誤，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例（1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點.（）（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)≥0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點.（）（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點.（）解析：（1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且

f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點.（）abOxy如圖,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有3個零點,故“在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個零點”的說法是錯誤的. 滿足條件一定有零點，但不確定有幾個可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，f(a)·f(b)≥0，但f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.故論斷不正確.（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且

f(a)·f(b)≥0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點.

（）abOxy如圖,雖然函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0,但是圖象不是連續(xù)的曲線，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不存在零點故論斷不正確.（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點.（）abOxy如圖,

若函數(shù)y=5x2-7x-1在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=5x2-7x-1在(a,b)內(nèi)有零點，則f(a)·f(b)的值()A.大于0B.小于0C.無法判斷D.等于0C【變式練習】f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在(a,b)上一定有零點，但是函數(shù)y=f(x)在(a,b)上有零點，f(a)f(b)<0不一定成立.由表可知f(2)<0，f(3)>0，由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點．用計算器或計算機作出x、f(x)的對應值表和圖象；例3.求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點的個數(shù).解：x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972方法一f(x)=lnx+2x－6從而f(2)·f(3)<0,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點．108642-2-4512346xyOy=－2x+6y=lnx6Ox1234y即求方程lnx+2x-6=0的根的個數(shù)，即求lnx=6-2x的根的個數(shù)，即判斷函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=6-2x的交點個數(shù).如圖可知，只有一個交點，即方程只有一根，函數(shù)f(x)只有一個零點.方法二：函數(shù)零點方程的根圖象交點轉(zhuǎn)化求方程2-x=x的根的個數(shù)，并確定根所在的區(qū)間[n，n+1](n∈Z)．解析：求方程的根的個數(shù)，即求方程的根的個數(shù)，即判斷函數(shù)與的圖象交點個數(shù).由圖可知只有一個解.y=x1Ox1234y【變式練習】數(shù)形結(jié)合估算f(x)在各整數(shù)處的取值的正負：令由上表可知，方程的根所在區(qū)間為x0123f(x)－+＋＋可根據(jù)圖象確定大體區(qū)間Ａ.０Ｂ.１Ｃ.２Ｄ.無數(shù)個（）ＣＢ（

）3.若a＜b＜c，則函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）的兩個零點分別位于區(qū)間（）A.（a，b）和（b，c）內(nèi)B.（-∞，a）和（a，b）內(nèi)C.（b，c）和（c，+∞）內(nèi)D.（-∞，a）和（c，+∞）內(nèi)提示：由函數(shù)零點存在性定理可知：在區(qū)間（a，b），（b，c）內(nèi)分別存在一個零點；又函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，最多有兩個零點，即可判斷出．A4.方程lnx=必有一個根的區(qū)間是()A.(1,2)B.(2,3)C.(,1)D.(3,+∞)B【解題關鍵】將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用零點的存在性定理判斷5.若方程ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當a=0時，f（x）=-x-1，其零點為-1?（0，1），所以a≠0；

（2）當a≠0時，因為方程ax2