初中數(shù)學-勾股定理教學設(shè)計學情分析教材分析課后反思

《勾股定理（一）》教學設(shè)計17．1勾股定理

教學內(nèi)容：新人教版義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學》八年級下冊教學任務(wù)教學目標知識與技能目標1．了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。2.勾股定理的簡單計算過程與方法目標在學生經(jīng)歷“觀察—猜想—歸納—驗證”勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想.情感與態(tài)度目標通過對勾股定理歷史的了解,感受數(shù)學文化，激發(fā)學習興趣；在探究活動中，培養(yǎng)學生的合作交流意識和探索精神.重點探索和證明勾股定理.難點用拼圖方法證明勾股定理.教學準備教具多媒體課件.學具邊長分別為a、b的兩個連體正方形紙片，剪刀等教學過程設(shè)計問題與情境師生行為設(shè)計意圖活動1

創(chuàng)設(shè)情境→激發(fā)興趣2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會，它是最高水平的全球性數(shù)學科學學術(shù)會議，被譽為數(shù)學界的“奧運會”.這就是本屆大會會徽的圖案.

它象一個轉(zhuǎn)動的風車，揮舞著手臂，歡迎來自世界各國的數(shù)學家們.（1）你見過這個圖案嗎？（2）你聽說過“勾股定理”嗎？

會徽教師出示照片及圖片.學生觀察圖片發(fā)表見解.教師作補充說明：這個圖案是我國漢代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的“趙爽弦圖”加工而來，展現(xiàn)了我國古代對勾股定理的研究成果，是我國古代數(shù)學的驕傲.教師應重點關(guān)注：（1）學生對“趙爽弦圖”及勾股定理的歷史是否感興趣；（2）學生對勾股定理的了解程度.

通過欣賞圖片，了解歷史，介紹與勾股定理有關(guān)的背景知識，激發(fā)學生學習興趣，自然引出本節(jié)課的課題.

活動2

觀察特例→發(fā)現(xiàn)新知畢達哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學家.相傳在2500年以前，他在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的三邊的某種數(shù)量關(guān)系.（1）同學們，請你也來觀察下圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？

地面

圖18.1-1（2）你能找出圖18.1-1中正方形A、B、C面積之間的關(guān)系嗎？（3）圖中正方形A、B、C所圍等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系?

教師展示圖片，提出問題.學生獨立觀察圖形，分析思考其中隱藏的規(guī)律.

學生通過直接數(shù)等腰直角三角形的個數(shù)，或者用割補的方法將正方形A、B中小等腰直角三角形補成一個大正方形得到：正方形A、B的面積之和等于大正方形C的面積.

教師引導學生，由正方形的面積等于邊長的平方歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

通過講傳說故事來進一步激發(fā)學生學習興趣，使學生在不知不覺中進入學習的最佳狀態(tài).

“問題是思維的起點”，通過層層設(shè)問，引導學生發(fā)現(xiàn)新知.

問題與情境師生行為設(shè)計意圖活動3

深入探究→交流歸納（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”呢？圖18.1-2如圖18.1-2，每個小方格的面積均為1，以格點為頂點，有一個直角邊分別是2、3的直角三角形.仿照上一活動，我們以這個直角三角形的三邊為邊長向外作正方形.

（2）想一想，怎樣利用小方格計算正方形A、B、C面積？（3）正方形A、B、C面積之間的關(guān)系是什么？

（4）直角三角形三邊之間的關(guān)系用命題形式怎樣表述？

教師出示圖表.學生獨立觀察并計算各圖中正方形A、B、C的面積并完成填表.教師參與小組活動，指導、傾聽學生交流.針對不同認識水平的學生，引導其用不同的方法得出大正方形的面積.學生分組交流，展示求面積的不同方法，如：在正方形C周圍補出四個全等的直角三角形而得到一個大正方形，通過圖形面積的和差，得到正方形C的面積.或者，將正方形C分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，求得正方形C面積.

學生利用表格有條理地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，歸納得到：正方形A、B的面積之和等于正方形C的面積.在上一活動“探究等腰直角三角形三邊關(guān)系”的基礎(chǔ)上，學生類比遷移，得到：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.師生共同討論、交流、逐步完善，得到命題1:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c

，那么a2+b2=c2.

教師應重點關(guān)注：學生能否主動參與探究活動，在討論中發(fā)表自己的見解，傾聽他人的意見，對不同的觀點進行質(zhì)疑，從中獲益.滲透從特殊到一般的數(shù)學思想.為學生提供參與數(shù)學活動的時間和空間，發(fā)揮學生的主體作用；培養(yǎng)學生的類比遷移能力及探索問題的能力，使學生在相互欣賞、爭辯、互助中得到提高.

問題與情境師生行為設(shè)計意圖活動4

拼圖驗證→加深理解（弦圖驗證）（1）觀察趙爽弦圖，思考：如何利用此圖的面積表示式驗證命題1

？B趙爽弦圖

（拼圖驗證）（2）仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將邊長為a、b的兩個連體正方形，拼成一個新的正方形？圖18.1-3（1）圖18.1-3（2）圖18.1-3（3）

問題與情境教師展示圖片，提出問題.學生觀察圖形可得：大正方形面積=四個全等直角三角形面積+中間小正方形面積.

再由代數(shù)恒等變形能得到a2+b2=

c2，即驗證了命題1.教師指導學生閱讀教材23頁，了解趙爽是如何利用拼圖的方法來證明命題1的.學生在弦圖驗證的基礎(chǔ)上，參照教科書24頁圖17.1—6開展拼圖，以小組為單位，合作探究.有的學生會盲目動手，如沿正方形對角線分割等.讓學生自己思考、總結(jié)、更正，在不斷的摸索中找到解決問題的正確方法.引導學生拼圖的關(guān)鍵是：構(gòu)造以a、b為直角邊的直角三角形.結(jié)合紙片，即在線段MN上確定一點P，使分得的新線段與已有邊長a、b構(gòu)成需要的直角三角形.通過小組討論，學生可能出現(xiàn)以下方法確定點P

：

情況1，在線段MN上截取MP=a,得到NP=b，從而確定點P；情況2，通過折疊，得到邊長為a-b的正方形，它實際上是趙爽弦圖的黃實，延長小正方形的一邊與線段MN相交于點P.

得到教科書74頁圖18.1—3圖1，構(gòu)造了以a、b為直角邊的直角三角形，令斜邊為c，沿直角三角形的斜邊分割從而拼得邊長為c的正方形，完成拼圖.鼓勵學生代表作示范演示，展示分割、拼接的過程.師生行為

讓學生模擬數(shù)學家的思維方式和思維過程,

親身體驗勾股定理的探索與驗證，使學生對定理的理解更加深刻，體會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力.由傳統(tǒng)的數(shù)學課堂向?qū)嶒灥臄?shù)學課堂轉(zhuǎn)變.

（3）怎樣根據(jù)拼圖活動的結(jié)果證明勾股定理呢？

（定理命名）結(jié)合本節(jié)內(nèi)容給出定理的概念.向?qū)W生對比介紹古今中外對勾股定理的研究成果，指出我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家之一，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載：公元前1100年人們已經(jīng)知道“勾廣三，股修四，徑隅五”.

把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦.

將此定理命名為勾股定理.再利用多媒體動畫演示.學生容易想到：未剪之前，圖形面積是a2+

b2，在拼圖過程中，構(gòu)造了以a、b為直角邊的直角三角形，得到斜邊為c.拼接之后新的正方形邊長是c

，面積為c2.從而得到直角三角形三邊的關(guān)系：a2+

b2=c2.再次驗證命題1.教師應重點關(guān)注：（1）學生能否進行合理的分割，對不同層次的學生有針對性地給予分析、幫助；（2）學生能否用語言準確地表達自己的觀點.

設(shè)計意圖

對學生進行愛國主義教育，增強學生的民族自豪感.活動5

實踐應用→拓展提高1.求出下列直角三角形中未知邊的長度.

問題與情境例3在我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？

練習1是求直角三角形中未知邊的長度，提示學生分清直角邊和斜邊，再將值代入a2+

b2=c2求解.

歸納出：

已知直角三角形任意兩邊，能求第三邊.

練習2

與前面的弦圖驗證相呼應，讓學生體會數(shù)形結(jié)合思想，了解勾股定理證法的多樣性.

師生行為

補充課堂練習，讓學生對本節(jié)課的知識進行最基本的運用，為下節(jié)課勾股定理的應用做好鋪墊.

活動6：回顧小結(jié)→整體感知過程小結(jié)，知識小結(jié).

學生談體會.教師進行補充.教師應關(guān)注學生是否能從不同方面談感受.學生通過對學習過程的小結(jié)，領(lǐng)會其中的數(shù)學思想方法；通過梳理所學內(nèi)容，形成完整知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)歸納概括能力.

活動7：布置作業(yè)→鞏固加深1.必做題：課本第28頁，習題17.1

第1,5題.2.選做題：（根據(jù)自己的情況選擇完成）

針對學生認知的差異設(shè)計了有層次的作業(yè)題，既使學生鞏固知識，形成技能，又使學有余力的學生獲得最佳發(fā)展.板書設(shè)計：

17.1勾股定理（一）一、了解歷史：趙爽弦圖

四、反饋練習二、圖形探究→猜想→證明

1.三、勾股定理：

2.

如果直角三角形兩直角邊長

3.

分別是a,b,斜邊是c,那么

五、小結(jié)：

a2+

b2=c2

六、作業(yè)：

勾勒出教學的主線，呈現(xiàn)完整知識結(jié)構(gòu)體系.并用彩色增加信息的強度，突出重點.學情分析通過前面的學習，學生已具備一些平面幾何的知識，能夠進行一般的推理和論證，但如何通過拼圖來證明勾股定理，學生對這種解決問題的途徑還比較陌生，存在一定的難度，因此，我采用直觀教具、多媒體等手段，讓學生動手、動口、動腦，化難為易，深入淺出，讓學生感受學習知識的樂趣。八年級學生思維活躍，參與意識強，對事物充滿好奇心。經(jīng)過七年級的學習，以儲備相應的知識基礎(chǔ)，初步具備基本的數(shù)形知識，歸納信息的能力；但由于生活經(jīng)驗少，在綜合分析事物時，考慮問題可能不會很全面，需要教師引導。效果分析本節(jié)課涉及了大量的有關(guān)勾股定理的背景知識，學生可以感受到勾股定理所蘊含的濃郁的數(shù)學文化。教學中應聆聽學生發(fā)言，尊重學生發(fā)展。引導深挖細究，體現(xiàn)過程方法。突出過程評價，注重情感體驗。當然在教學過程中學生對于通過面積法（拼圖法）證明勾股定理的方法還比較陌生，證明存在一定的難度，所以在教學過程中注意多鼓勵和引導，并多關(guān)注學困生，注重合作交流，以優(yōu)輔差，帶動全體學生的學習熱情。并根據(jù)學生課堂掌握情況對授課內(nèi)容進行適當?shù)脑鰷p。注重課堂反饋，及時記錄備案，便于進行下一節(jié)課的補缺補漏?！豆垂啥ɡ怼方虒W反思作為反映自然界基本規(guī)律的一條結(jié)論，勾股定理在數(shù)學發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應用。同時，勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證和應用蘊涵著豐富的文化價值。因此，勾股定理是初中幾何教學中的重要內(nèi)容，我對本節(jié)課的教學過程是這樣設(shè)計的：1、欣賞圖片，激發(fā)興趣 通過欣賞2002年在我國北京召開的國際數(shù)學家大會的會徽圖案，引出“趙爽弦圖”，讓學生了解我國古代輝煌的數(shù)學成就，引入課題。接下來，讓學生欣賞傳說故事：相傳2500年前，畢達格拉斯在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系。通過故事使學生明白：科學家的偉大成就多數(shù)都是在看似平淡無奇的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)和研究出來的；生活中處處有數(shù)學，我們應該學會觀察、思考，將學習與生活緊密結(jié)合起來。這樣，一方面激發(fā)學生的求知欲望，另一方面，也對學生進行了學習方法指導和解決問題能力的培養(yǎng)。2、分析探究，得出猜想通過對地板圖形中的等腰直角三角形到一般直角三角形中三邊關(guān)系的探究，讓同學們體驗由特殊到一般的探究過程，學習這種研究方法。同時在網(wǎng)格中求斜正方形面積的時候，利用割的方法把正方形轉(zhuǎn)化為四個直角三角形和中間一個小正方形（即趙爽圖），用補的方法構(gòu)成了一個大的正方形減去四個直角三角形，這樣做的目的也是為下面的證明做鋪墊。3、拼圖證明，得出定理先讓學生利用學具自己剪拼圖形，后利用圖形面積關(guān)系進行證明。不論拼圖還是證明難度都比較大，組織學生開展小組合作學習時。需要老師巡回輔導，給予學生必要的幫助。本節(jié)課我讓為存在以下兩個方面的不足：1、課堂教學觀念要轉(zhuǎn)變新課標的教學觀念是教師指導下的教學，“數(shù)學教學活動是數(shù)學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發(fā)展的過程”的教學，本節(jié)課的第三個環(huán)節(jié)，即勾股定理的證明，雖然我盡量在指導下用“趙爽弦圖”驗證勾股定理，但學生之間交往互動不足，尤其中間這個小正方形的邊長為什么是（a-b），可能有很多學生不懂。2、課堂教學程序不妥適應于新課程標準的教學策略是：著力引導—主動參與—有效建構(gòu)。柏拉圖曾說過：教育的根本目的就是使心靈達到完善的境地。這就是說真正的教育應當是用知識的陶冶與智慧的激發(fā)來“照亮人的心靈”。由此可見教師的作用主要在于與學生的交往過程中對學生的引導，為的是使學生積極主動地參與，而形成有效的建構(gòu)性學習。但本節(jié)課學生主動參與度不夠，在拼圖環(huán)節(jié)，盡管前面也試著做了些鋪墊，但大部分小組只拼出了趙爽圖，而另一個圖卻只有個別小組拼出，這說明課堂設(shè)計上沒有充分考慮學生的參與度，設(shè)計的問題對學生的引導作用不大。教材分析本節(jié)課是學生在已經(jīng)掌握了直角三角形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行學習的，通過2002年國際數(shù)學家大會的會徽圖案，引入勾股定理，進而探索直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，并應用它解決問題。學好本節(jié)不僅為下節(jié)勾股定理的逆定理打下良好基礎(chǔ)，而且為今后學習解直角三角形奠定基礎(chǔ),在實際生活中用途很大。勾股定理是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，是幾何中一個非常重要的定理，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將數(shù)與形密切地聯(lián)系起來，它有著豐富的歷史背景，在理論上占有重要的地位。課堂練習一、判斷①直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方（）②Rt△ABC中，,,則（）二、1．在Rt△ABC中，，，，①若，，則.②若，，則